1.2 数轴（题型专练）数学浙教版2024七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第1章 有理数》 1.2 数 轴 知识点一 数轴 ★1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ★2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ★3、画数轴的注意事项： (1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2) 直线一般是水平的； (3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀. 知识点二 数轴上的点与有理数的关系 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数 -a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度． 知识点三 相反数 ★1、相反数的定义： 像 2和﹣2，3和﹣3 这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义） 一般地，a 和 -a 互为相反数. ★2、相反数的几何意义： （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 (0 除外)； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等； （3）一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示 数 ﹣a 和 a，我们说这两点关于原点对称. ★3、相反数的性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数. ★4、求一个相反数的方法： （1） 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数. （2） 求一个字母或一个式子相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号. 知识点四 多重符号的化简 ★1、多重符号化简的依据：相反数的定义是多重符号化简的依据．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反数，所以﹣（﹣5）=5. ★2、多重符号的化简 化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.简称“奇负偶正”. 题型一 数轴的定义 解题技巧提炼 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. 1．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【分析】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，根据数轴的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； B、负半轴的数据标注错误，不是数轴，故本选项不符合题意； C、单位长度不等，不是数轴，故本选项不符合题意； D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了数轴的定义，掌握数轴的定义是解题的关键，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线． 2．下列图形中，数轴画正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，根据数轴的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、左边的数比右边的数大，故本选项不符合题意； B、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； C、没有原点，不是数轴，故本选项不符合题意； D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了数轴的定义，能熟记数轴的定义是解此题的关键，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线． 3．（2023秋•射洪市校级期中）下列图形中，表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据数轴的三要素对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、单位长度不一致，故本选项错误； B、负半轴的数据标注错误，故本选项错误； C、没有正方向，故本选项错误； D、数轴表示正确，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题是对数轴的考查，熟记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度以及数轴上的数的特点是解题的关键． 4．（2023秋•官渡区期中）下列图形中不是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据数轴的定义要素，数轴是一种特定几何图形，原点，正方向，长度单位三要素，这三者缺一不可，根据这三要素找出答案． 【解答】解：数轴的三要素有原点，正方向，长度单位，三者缺一不可， B选项中没有原点， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴的三要素，三者缺一不可，难度适中． 5．判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ 　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，结合图形判断即可． 【解答】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度， 图（1）没有原点，故（1）不正确； 图（2）满足数轴的定义，故（2）正确； 图（3）所画负半轴上的数字排列顺序不对，故（3）错误； 图（4）所画单位长度不一致，故（4）不正确． 故选：B． 【点评】本题考查了数轴的画法，明确数轴的三要素，并数形结合进行识别，是解题的关键． 题型二 数轴上的点与有理数的关系 解题技巧提炼 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 1．（2024•赛罕区二模）如图，数轴上点M所表示的数可能是（　　） A．1.5 B．﹣1.6 C．﹣2.6 D．﹣3.4 【分析】由数轴可知：M所表示的数在﹣3与﹣2之间． 【解答】解：设M表示的数为x， 由数轴可知：﹣3＜x＜﹣2， M可能是﹣2.6， 故选：C． 【点评】本题考查利用数轴表示数的大小，属于基础题型． 2．数﹣3在数轴上位置的描述，正确的是（　　） A．在﹣4表示的点的左边 B．在﹣2表示的点和原点之间 C．由1表示的点向左平移4个单位长度得到 D．和原点的距离是﹣3 【分析】比较﹣3和选项中的数的大小，依据右边的数总是大于左边的数即可判断． 【解答】解：A、﹣3＞﹣4，则﹣3在﹣4的右边，故A选项错误； B、﹣3＜﹣2＜0，则﹣3在﹣2的左边，故B选项错误； C、点1向左平移4个单位得到﹣3，故C选项正确； D、﹣3和原点的距离是3，故D选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了利用数轴表示有理数的大小，理解数轴上右边的数总是大于左边的数是解题的关键． 3．下列说法中正确的是（　　） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【解答】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 4．如图，点O为数轴的原点，若点A表示的数是﹣1，则点B表示的数是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．4 【分析】符号和绝对值是确定有理数的两个必要条件，在原点右侧，符号为正，到原点的距离就是绝对值． 【解答】解：点B在原点的右侧，且到原点3个单位长度，因此点B表示的数为3， 故选：C． 【点评】考查数轴表示数的意义和方法，符号和绝对值是确定有理数的两个必要条件， 5．与原点距离为5.5个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和 . 【分析】根据数轴的知道，与原点距离为5.5个单位长度的点在数轴上有左右两边各有一个，所以有两个点，它们分别是+5.5和﹣5.5．． 【解答】解：由分析知：与原点距离为5.5个单位长度的点有2个， 它们分别表示有理数+5.5和﹣5.5． 故答案为2；+5.5；﹣5.5． 【点评】本题主要考查了数轴，解题的关键是把数和点对应起来． 6．在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？ 【分析】根据数轴即可得到各点表示的数． 【解答】解：A、B、C、D、E各点分别表示﹣3，﹣1.5，0，0.5，3． 【点评】本题考查了数轴，体现了数形结合的数学思想，掌握数轴上的点所表示的数是解题的关键． 7．（2023秋•平桥区月考）给出下面五个数，﹣1，0，2.5，4．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 【分析】根据已知数据画出合适的数轴，将所给数据表示出来即可． 【解答】解：如图： 【点评】本题考查数轴的应用——表示有理数，属于基础题． 8．（2023秋•馆陶县期末）如图，数轴上的点A，B，C分别表示﹣3，﹣1.5，4．请回答下列问题． （1）在数轴上描出A，B，C三个点． （2）若把数轴的原点取在点B处，其余都不变，写出点A表示的数． 【分析】（1）在数轴上描出三个点的位置即可； （2）原点取在B处，相当于将原数加上1.5，从而计算即可． 【解答】解：（1）如图， （2）点A表示的数为﹣3+1.5＝﹣1.5， 【点评】本题考查了数轴的知识，有理数的加减运算，利用数形结合思想解答是解题的关键． 题型三 利用数轴求两点之间的距离 解题技巧提炼 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. 1．（2023秋•坡头区期末）数轴上，点A对应的数是1，点B对应的数是7，则线段AB的长度为 　 　． 【分析】根据数轴上两点的距离等于它们表示的数差的绝对值求解即可． 【解答】解：∵点A对应的数是1，点B对应的数是7， ∴线段AB的长度为7﹣1＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查数轴上两点的距离，掌握数轴上两点的距离等于它们表示的数差的绝对值是解题的关键． 2．在数轴上表示数﹣1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【分析】由数轴上表示数﹣1和2021的点到原点的距离分别为1个单位长度和2021个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为2022． 【解答】解：点A在原点的左侧，到原点的距离是1个单位长度，点B在原点的右侧，到原点的距离是2021个单位长度，B两点之间的距离为1+2021=2022， 故选：D． 【点评】本题考查数轴上两点间距离；会求数轴上两点间的距离是解题的关键． 3．在数轴上表示3的点与表示﹣4的点之间的距离是（　　） A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣4 【分析】由数轴上表示数3和﹣4的点到原点的距离分别为3个单位长度和4个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为7． 【解答】解：点A在原点的右侧，到原点的距离是3个单位长度，点B在原点的左侧，到原点的距离是4个单位长度，B两点之间的距离为3+4=7， 故选：A． 【点评】本题考查数轴上两点间距离；会求数轴上两点间的距离是解题的关键． 4．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： （1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A：　 　；B：　 　；C：　 　． （2）A、B两点间的距离是 　 　，A、C两点间的距离是 　 　． （3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【分析】（1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于AC＝10，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【解答】解：（1）根据图示，知A、B、C这三个点表示的数各是﹣6、1、4， 故答案为﹣6、1、4； （2）根据图示知AB的距离是7；AC的距离是10， 故答案为：7；10； （3）∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， 此时将点B向左移动2个单位即可． 【点评】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． 题型四 利用数轴上两点之间的距离求点表示的数 解题技巧提炼 1、由于点的位置不确定，要借助数轴进行分类讨论，分在已知点的左侧和右侧两种情况. 2、确定符号和距离，确定距离时要表示所对应的点距原点几个单位长度. 1．（2023秋•宁河区期末）数轴上与表示﹣3的点的距离是5的点表示的数是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．2或﹣8 【分析】分两种情况，在﹣3的右边和左边，分别计算即可． 【解答】解：由题意得，﹣3+5＝2或﹣3﹣5＝﹣8， 即数轴上与表示﹣3的点的距离是5的点表示的数是2或﹣8， 故选：D． 【点评】本题考查了数轴，能求出符合条件的所有情况是解题的关键． 2．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.6cm”对应数轴上的数为（　　） A．﹣1.4 B．﹣1.6 C．﹣2.6 D．1.6 【分析】利用点在数轴上的位置，以及两点之间的距离分析即． 【解答】解：设刻度尺上“5.6cm”对应数轴上的数的点在原点的左边，距离原点有5.6﹣3＝2.6的单位长度，所以这个数是﹣2.6． 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握在数轴上右边点表示的数减去左边点表示的数等于这两点间的距离是解题关键． 3．（2024•福州三模）如图是单位长度为1的数轴，点A，B是数轴上的点，若点A表示的数是﹣3，则点B表示的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【解答】解：∵点A表示的数是﹣3，点B距离点A4个单位， ∴点B表示的数是﹣3+4＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 4．（2023秋•定陶区期末）在数轴上与表示﹣2的点距离等于3的点所表示的数是（　　） A．1 B．﹣1或5 C．﹣5 D．﹣5或1 【分析】根据题意分该点在﹣2的左侧以及右侧两种情况进一步求解即可． 【解答】解：当该点在﹣2左侧时，该点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5； 当该点在﹣2右侧时，该点表示的数为：﹣2+3＝1； 综上所述，该点表示的数为﹣5或1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了数轴，熟练掌握相关概念是解题关键． 5．在数轴上，在原点的左边，距原点6个单位长度的点表示的数为　 　． 【分析】根据数轴的特点可以解答本题． 【解答】解：在数轴上，在原点的左边，距原点6个单位长度的点表示的数为﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，数轴从原点向左为负，从原点向右为正． 6．（2023秋•和平区期末）已知数轴上A、B两点间的距离为3，点A表示的数为1，则点B表示的数为 　 　． 【分析】分点B在A的左侧和右侧两种情况讨论即可． 【解答】解：若点B在A的左侧， 则1﹣3＝﹣2，即点B表示的数为﹣2， 若点B在A的右侧， 则1+3＝4，即点B表示的数为4， 故答案为：﹣2或4． 【点评】本题主要考查与数轴有关的计算，关键是要牢记数轴的定义及数轴的三要素． 7．（2024•阎良区校级二模）如图，在数轴上点A表示的数是2，点B被墨水遮住了，已知AB＝4，则点B表示的数为 　 　． 【分析】由数轴可知，点B在点A的左侧，根据题意并结合两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：由数轴可知，点B在点A的左侧， ∵点A表示的数是2，AB＝4， ∴点B表示的数为：2﹣4＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 8．数轴上+5表示的点位于原点　 　边距原点　 个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示　 　，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是　 　． 【分析】根据数轴的特点及距离的定义解答即可． 【解答】解：数轴上+5表示的点位于原点 右边距原点 5个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示﹣4，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是+6． 故答案为：右，5，﹣4，+6． 【点评】本题考查了数轴的知识，比较简单，解答此题的关键是熟知以下知识：（1）数轴上原点右边的数都大于0，左边的数都小于0；（2）数轴上各点到原点的距离是这个数的绝对值． 9．画出数轴，并解答下列问题： （1）在数轴上表示下列各数：5，3.5，﹣2，﹣1； （2）在数轴上标出表示﹣1的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数． 【分析】（1）画出数轴，在数轴上表示各数即可求解； （2）先在数轴上标出表示﹣1的点A，再写出将点A平移4个单位长度后得到的数是3或﹣5即可求解． 【解答】解：（1）如图所示， （2）如图所示：将点A平移4个单位长度后得到的数是3或﹣5． 【点评】此题主要考查了数轴，关键是正确在数轴上表示各数的点的位置． 题型五 利用数轴解决实际问题 解题技巧提炼 数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系. 1．（2024•裕华区校级二模）如图，数轴上点A表示向东走了8m，则点B表示（　　） A．向东走8m B．向南走8m C．向西走8m D．向北走8m 【分析】由题给数轴可知，A、B分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，则A、B表示相反意义的量． 【解答】解：由题给数轴可知，A、B分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，A表示向东走了8m，则点B表示向西走了8m， 故选：C． 【点评】本题主要考查了表示相反意义的量，题目难度不大，掌握数轴的概念是解答该题的关键． 2．（2023秋•安乡县期末）数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发向右爬了2个单位长度到了原点，则点A所表示的数是 　 　． 【分析】根据题意知蚂蚁位于原点左侧2个单位的位置，据此可得． 【解答】解：根据题意知蚂蚁位于原点左侧2个单位的位置，即A所表示的数为﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上的点表示的数是解本题的关键． 3．（2023春•崇川区校级月考）如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 　　. 【分析】由数轴的概念，圆周长公式，即可计算． 【解答】解：∵圆的周长为2πr＝2π， ∴半径为单位1圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是﹣2π． 故答案为：﹣2π． 【点评】本题考查数轴的概念，圆周长公式，关键是掌握数轴的三要素． 4．快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶3km到达A小区，继续向西行驶1km到达B小区，然后向东骑行8km到达C小区最后回到物流公司． （1）以物流公司为原点，向东方向为正方向，用1cm表示1km，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． （2）C小区离A小区有多远？ （3）求快递员一共骑行的路程． 【分析】（1）根据数轴表示数的意义和距离可在用数轴表示出来， （2）A小区所表示的数为﹣3，C小区所表示的数为4，即可求出AC的距离， （3）所有行驶路程的和即可求出路程． 【解答】解：（1）在数轴上表示出A、B、C三个小区的位置如图所示： （2）根据题意可知：4＋3＝7， 答：C小区离A小区7千米； （3）3+1+8+4＝16（千米）， 答：快递员一共骑行了16千米． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，数轴，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键． 5．（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数　 表示的点重合； （2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　 　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【分析】（1）根据1表示的点与﹣1表示的点重合读出对称中心即可得； （2）由表示﹣2的点与表示4的点重合，可确定对称点是表示1的点，则： ①表示5的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为4.5，据此求解． 【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合， ∴对称中心是原点， ∴﹣2表示的点与2表示的点重合， （2）①∵若﹣2表示的点与4表示的点重合， ∴对称中心是1表示的点， ∴5表示的点与数﹣3表示的点重合； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为9÷2＝4.5， ∵对称点是表示1的点， ∴A、B两点表示的数分别是﹣3.5，5.5， 故答案为：2；﹣3． 【点评】本题主要考查数轴，此题根据重合点确定对称点是解题的关键． 题型六 与数轴相关的探究题 解题技巧提炼 根据线段的端点与数轴上的整数点是否重合分情况讨论,求较大范围内的整数点个数时，可类比较小范围内的情况. 1．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有　 个． 【分析】某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为10厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数可能正好是11个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是10个． 【解答】解：依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖10+1＝11个数； ②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故答案为：11或10． 【点评】本题主要考查了数轴的实际应用，学生一时想不出来，可以动手亲自画一画，但要注意画时，找个短线段即可． 2．已知动点A在数轴上从原点开始运动，第一次向左移动1厘米，第二次向右移动2厘米，第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，…，移动第2022次到达点B，则点B在点A的（　　） A．左侧1010厘米 B．右侧1010厘米 C．左侧1011厘米 D．右侧1011厘米 【分析】根据题意可知两次都是向右移动1厘米，再由2022÷2=1011，即可求解． 【解答】解：∵第一次向左移动1厘米，第二次向右移动2厘米， ∴这两次向右移动1厘米， ∵第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米， ∴这两次向右移动1厘米， ∴两次都是向右移动1厘米， ∵2022÷2=1011， ∴点B在点A的右侧1011厘米， 故选：D． 【点评】本题考查数字的变化规律，根据点的运动情况，探索出点A的运动规律是两次都是向右移动1厘米是解题的关键． 3．一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示的数为（　　） A. -2022 B．2022 C．-1011 D．1011 【分析】由题意可知第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…，由此规律可求解． 【解答】解：∵第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…， ∴第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…， ∵2022÷2=1011， ∴它跳第2022次落下时，向左1011个单位， 故选：C． 【点评】本题考查数字的变化规律，通过所给条件，发现跳动的规律是解题的关键． 4．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【分析】根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【解答】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按A，B，C的顺序 排列： A.2020÷3=673…1，所以此时点A正好落在数轴上； B.2021÷3=673…2，所以此时点B正好落在数轴上； C.2022÷3=674，所以此时点C正好落在数轴上； D.2023÷3=674…1，所以此时点A正好落在数轴上． 故选：B． 【点评】本题主要考查数轴，找规律，找到圆的滚动规律是解题的关键． 5．定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB． （1）某数轴的单位长度是1cm，求盖住的整点的个数； （2）若将数轴的单位长度改为2cm，求盖住的整点的个数． 【分析】（1）以线段AB的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用AB÷2，得出AB相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【解答】解：（1）∵数轴的单位长度是1cm，AB＝2020cm， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段AB共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段AB盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）AB÷2＝1010（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段AB共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段AB盖住的整点的个数为1011或1010个． 【点评】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． 题型七 相反数的定义 解题技巧提炼 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a 和 -a 互为相反数. 1．（2024春•上思县月考）﹣2024的相反数是（　　） A． B． C．2024 D．﹣2024 【分析】根据相反数的定义即可求得答案． 【解答】解：﹣2024的相反数为2024， 故选：C． 【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2022•常州）2022的相反数是（　　） A．2022 B．﹣2022 C． D． 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【解答】解：2022的相反数是﹣2022， 故选：B． 【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键． 3．下列说法正确的是（　　） A．带“+”的和带“﹣”的数互为相反数 B．和一个点距离相等的两个点表示的数一定互为相反数 C．数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 D．一个数的前边添上“﹣”所得的数是这个数的相反数 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．由概念进行判断即可． 【解答】解：只有符号不同的两个数不是相反数，比如+2和﹣5，故A不符合题意； 和一个点距离相等的两个点表示的数不一定互为相反数，比如2和3的距离与4和3的距离相等，但是2和4不是相反数，故B不符合题意； 数轴上原点两旁的两个点表示的数不一定互为相反数，比如﹣1和4，故C不符合题意； 一个数的前边添上“﹣”所得的数是这个数的相反数，这是相反数的定义，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，相反数的定义是解题的关键． 4．（2023秋•林州市期中）下列互为相反数的是（　　） A．﹣（﹣2）与2 B．与﹣0.33 C．﹣|﹣5|与5 D．﹣（+3）与+（﹣3） 【分析】利用相反数的定义判定． 【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2与2不是相反数，故本选项错误； B、与﹣0.33不是相反数，故本选项错误； C、﹣|﹣5|＝﹣5与5是相反数，故本选项正确； D、﹣（+3）＝﹣3与+（﹣3）＝﹣3不是相反数，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相反数，解题的关键是利用相反数的定义判定． 5．（2023秋•兴隆台区期末）2的相反数是＝　 　． 【分析】根据相反数的定义进行解题即可． 【解答】解：2的相反数是． 故答案为：． 【点评】本题考查相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 6．（2023秋•甘肃期末）﹣（）的相反数是 　 　． 【分析】先化简﹣（），再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数即可求解． 【解答】解：﹣（）， 的相反数是， ∴﹣（）的相反数是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 题型八 利用相反数的概念求值 解题技巧提炼 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数. 1．（2024•汉阳区校级模拟）如果a的相反数是2024，那么a的值为（　　） A．2024 B．±2024 C． D．﹣2024 【分析】根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可得出答案． 【解答】解：∵a的相反数是2024， ∴a的值为﹣2024， 故选：D． 【点评】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2．（2023秋•裕华区校级月考）当﹣a＝﹣7时，﹣a的相反数是（　　） A．7 B．﹣7 C．±7 D．不能确定 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【解答】解：当﹣a＝﹣7时，﹣7的相反数是7． ﹣a的相反数是7． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 3．（2023秋•长岭县期末）若m是﹣6的相反数，则m的值是 　 　． 【分析】直接利用相反数的定义得出m的值即可． 【解答】解：∵m是﹣6的相反数， ∴m＝6． 故答案为：6． 【点评】此题考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键． 4．（2023•镇江二模）若a与互为相反数，则a的值为 　 　． 【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案． 【解答】解：若a与互为相反数，则a的值为， 故答案为：． 【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键． 5．若a＝﹣a，则a＝　 　． 【分析】相反数等于本身的数只有0，依此即可求解． 【解答】解：∵a＝﹣a， ∴a＝0． 故答案为：0． 【点评】考查了相反数等于本身的数的了解． 6．已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则3a+2b+c的值是　　． 【分析】根据正整数、相反数的概念求出a，b，c的值，代入3a+2b+c即可得到结果． 【解答】解：因为a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，所以a＝5； 因为最小的正整数是1，且 b 比最小的正整数大 4，所以 b＝5； 因为相反数等于它本身的数是0，所以 c＝0， 所以 3a+2b+c＝3×5+2×5+0＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键． 7．（2023秋•惠民县校级月考）已知+（）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z相反数是z，求x+y+z的相反数． 【分析】根据相反数的概念求出x，y，z的值，代入x+y+z即可得到结果． 【解答】解：∵+（）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z相反数是z， ∴x，y＝3，z＝0， ∴x+y+z3+0， ∴x+y+z的相反数是． 【点评】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键． 8．（1）如果一个数是﹣10，它的相反数是a，那么a﹣10的相反数是多少？ （2）已知﹣[﹣（+x）]＝8，求x的相反数． 【分析】（1）根据相反数的意义求出a的值，a﹣10的值，再求a﹣10的相反数； （2）化简﹣[﹣（+x）]，即可得出答案． 【解答】解：（1）a＝﹣（﹣10）＝10， 则a﹣10＝10﹣10＝0， 因为0的相反数是0， 所以a﹣10 的相反数是0． （2）因为﹣[﹣（+x）]＝x，且﹣[﹣（+x）]＝8， 所以 x＝8， 又因为8的相反数是﹣8， 所以x的相反数是﹣8． 【点评】本题考查相反数的意义，理解和掌握相反数的意义和表示方法是解决问题的前提，解题时注意是哪个数的相反数． 题型九 多重符号的化简 解题技巧提炼 多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 1．下列表示﹣5的“相反数”的是（　　） A．﹣（﹣5） B．﹣（+5） C．﹣[﹣（﹣5）] D．﹣[+（+5）] 【分析】利用有理数的符号化简，相反数的定义判断即可． 【解答】解：A、﹣（﹣5）＝5，是﹣5的相反数，所以此选项正确； B、﹣（+5）＝﹣5，不是﹣5的相反数，所以此选项错误； C、﹣[﹣（﹣5）]＝﹣5，不是﹣5的相反数，所以此选项错误； D、﹣[+（+5）]＝﹣5，不是﹣5的相反数，所以此选项错误 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的符号化简，相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键． 2．（2023秋•城关区校级期中）化简的结果的相反数为（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．2022 【分析】根据相反数的定义进行化简即可． 【解答】解：原式＝1，∴其相反数为﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了相反数，正确用式子表示出：“一个数的相反数”是解题的关键． 3．（2023•五华区校级模拟）﹣（﹣2024）的相反数是 　 　． 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 【解答】解：﹣（﹣2024）＝﹣2024． 故答案为：﹣2024． 【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键． 4．（2023秋•双河市期中）若﹣x＝2，则﹣[﹣（﹣x）]＝　 　． 【分析】直接利用已知数据代入进而得出答案． 【解答】解：∵﹣x＝2， ∴﹣[﹣（﹣x）]＝﹣（﹣2）＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键． 5．（2023秋•洪洞县期中）化简符号：﹣{+[﹣（﹣2023）]}＝　 　． 【分析】根据相反数的定义进行计算即可． 【解答】解：原式＝﹣[﹣（﹣2023）]＝﹣2023， 故答案为：﹣2023． 【点评】本题考查的是相反数，理解相反数的定义是解题的关键． 6．（2023春•南岗区校级月考）化简： （1）﹣（﹣68）； （2）﹣（+0.75）； （3）； （4）﹣[+（﹣3.6）]． 【分析】（1）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值； （2）先去括号，然后根据负号的个数为奇数个，即可化简求值； （3）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值； （4）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值． 【解答】解：（1）﹣（﹣68）＝68； （2）﹣（+0.75）＝﹣0.75； （3）； （4）﹣[+（﹣3.6）]＝3.6． 【点评】本题考查了多重符号化简，解题关键是掌握若一个数前有多重符号，则由该数前面的符号中“﹣”的个数来决定，即奇数个“﹣”符号则该数为负数，偶数个“﹣”符号，则该数为正数． 7．（2023秋•巨野县校级月考）化简下列各式的符号： （1）﹣（+4）； （2）+（）； （3）﹣[﹣（）]； （4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}． 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？ 【分析】根据已知数据结合去括号法则化简各数，进而得出结果的符号与原式中的“﹣”号的个数关系． 【解答】解：（1）﹣（+4）＝﹣4； （2）+（）； （3）﹣[﹣（）]； （4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}＝π． 最后结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数． 【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确发现数字变化规律是解题关键． 题型十 在数轴上表示出相反数 解题技巧提炼 在数轴上表示出某数的相反数的方法是先求出某数的相反数，然后再在数轴上表示出即可解答. 1．已知a、b在数轴上的位置如图，在数轴上标出a的相反数﹣a，b的相反数﹣b的位置． 【分析】根据相反数的定义在数轴上表示出﹣a、﹣b即可． 【解答】解：如图所示． 【点评】本题考查了相反数的定义以及数轴，是基础题． 2．分别写出5，4，﹣3的相反数，在如图所示的数轴上表示出各数及它们的相反数，并说明表示各对数的点在数轴上的位置特点． 【分析】用黑点把已知数和它的相反数的位置标示出来，并在数轴上方对应点位置写上所表示的数，根据相反数的几何意义，可求得各数的相反数． 【解答】解：5，4，﹣3的相反数分别是﹣5，﹣4，3． 在数轴上表示如图所示： 表示各对数的点在数轴上的位置特点是分别在原点左右，且到原点的距离相等． 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆． 3．写出下列各数的相反数，并在数轴上把这些相反数表示出来： +2，﹣3，0，﹣（﹣1），﹣3，﹣（+4）． 【分析】根据相反数的意义，分别求出结果即可，再在数轴上将这些相反数表示出来． 【解答】解：+2的相反数是﹣2， ﹣3的相反数是3， 0的相反数为0， ﹣（﹣1）的相反数是﹣1， ﹣3的相反数是3， ﹣（+4）的相反数是4， 在数轴上表示如下： 【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解相反数和数轴表示数的方法是解决问题的关键． 4．分别写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出各数及它们的相反数． 1.5，0，﹣2，1，﹣（） 【分析】先根据相反数的定义分别得到各数的相反数，再在数轴上找出对应的点． 【解答】解：1.5的相反数是﹣1.5，0的相反数是0，﹣2的相反数是2，1的相反数是﹣1，﹣（）的相反数是． 在数轴上表示如图． 5．已知有理数a，﹣3，b在数轴上对应的点的位置如图，在数轴上画出a，﹣3，b的相反数对应的点． 【分析】根据相反数的定义在数轴上画出a，﹣3，b的相反数对应的点即可． 【解答】解：a，﹣3，b的相反数对应的点﹣a，3，﹣b如图， ． 【点评】本题考查相反数，正确理解相反数的定义是解题的关键． 6．（2023秋•韩城市期末）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为﹣4、1，B、D两点间的距离是3． （1）在图中标出点B，C的位置，并写出点B对应的数； （2）若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是7，求点E所对应的数． 【分析】（1）根据A、D所对应的数，C为原点，确定C；结合B、D两点间的距离是3，且B在D左侧，确定B，依据数轴写出点B对应的数即可； （2）利用两点间的距离公式，分点E在点B的右侧时或点E在点B的左侧，两种情况讨论． 【解答】解：（1）如图： 点B对应的数是﹣2． （2）因为B、E两点间的距离是7， 当点E在点B的右侧时，E表示的数为：﹣2+7＝5 当点E在点B的左侧时，E表示的数为：﹣2﹣7＝﹣9， 即E表示的数是5或﹣9． 【点评】本题考查了是数轴上点及两点间的距离公式；解题的关键是掌握距离等于两个数的差的绝对值或直接用右边的数减去左边的数． 题型十一 相反数与两点之间的距离的应用 解题技巧提炼 如果一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点间的距离是a个单位长度,那么这两个点到原点的距离就等于a÷2，再根据点的位置确定对应的数. 1．如图，点A是数轴上一点，点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是（　　） A． B．1.5 C．0 D．1 【分析】根据数轴和点A，B表示的数互为相反数，得出点B在1与2之间，然后选B． 【解答】解：由图可知， 点A在﹣1与﹣2之间， ∴点B在1与2之间， 故选：B． 【点评】本题考查数轴和相反数，明确相反数的概念是关键． 2．如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M，P，N，Q．若P到N的距离小于P到M的距离，且点M，N表示的有理数互为相反数，则图中的点表示正数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据互为相反数的两数距原点的距离相等，先在数轴上确定原点，再判断正数的个数． 【解答】解：由M、N互为相反数，可确定原点O的位置如图所示． 由数轴知，图中表示正数的点有3个，是P，N，Q． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数的几何意义和正数的定义．根据相反数的几何意义确定原点的位置是解决本题的关键． 3．若数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是16，则这两个数是　 　． 【分析】根据互为相反数的两个数的绝对值相等求解即可． 【解答】解：16÷2＝8， 则这两个数是+8和﹣8． 故答案为：+8，﹣8． 【点评】本题考查了相反数的定义，数轴的知识，熟记互为相反数的两个数的绝对值相等是解题的关键． 4．如图，数轴上A、B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则A点表示的数是 　 ． 【分析】理解数轴和相反数的定义 【解答】解：因为A、B两点交的距离为4，并且互为相反数，所以，A点表示的数是﹣2，故答案为：﹣2． 【点评】本题考查相反数在数轴上的位置关系．一般通过数轴很容易解决． 5．已知数轴上点A、B表示的数互为相反数．并且A、B两个点之间的距离为8．求点A、B表示的数．（A在B的左边） 【分析】根据数轴表示数的方法和相反数的定义求解． 【解答】解：因为数轴上点A、B表示的数互为相反数．并且A、B两个点之间的距离为8，所以点A表示的数为﹣4，点B表示的数为4． 【点评】本题考查了相反数：a的相反数为﹣a．也考查了数轴． 6．（2023秋•新化县校级期中）用尺子画出数轴并回答． （1）把下列各数表示在数轴上：； （2）上述数中互为相反数的一组数是 　 　，它们之间有 　　个单位长度，它们关于 　 　对称． 【分析】（1）先画出数轴，注意数轴的三要素，再根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数； （2）根据相反数的定义，只有符号相反的两个数互为相反数；互为相反数的两个数到原点的距离相等，再利用数轴上两点之间的距离，读出两数之间的距离． 【解答】解：（1）如图所示， （2）结合数轴，根据相反数的定义可知，数﹣2与数2.5互为相反数；两点之间的距离为5；它们关于原点对称． 故答案为：﹣2与2.5；5；原点． 【点评】本题考查了在数轴上表示数的方法，数轴的特征，相反数的定义等知识，此为基础知识，要熟练掌握． 7．如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点； （3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可． 【解答】解：（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C； （3）如图所示： 故答案为：B；C． 【点评】此题主要考查了相反数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，要求学生首先正确理解题意，才能利用数形结合的思想解题． 题型十二 相反数与点的移动 解题技巧提炼 互为相反数的两个数在数轴上的对应点应位于原点两侧，且到原点的距离相等。点在数轴上的移动要明确移动的方向和移动的距离. 1．数轴上的点A表示的数是a，点A在数轴上向右平移了8个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则a是（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【分析】根据题意表示出B点对应的数，再利用互为相反数的性质分析得出答案． 【解答】解：由题意可得：B点对应的数是：a+8， ∵点A和点B表示的数恰好互为相反数， ∴a+a+8＝0， 解得：a＝﹣4． 故选：D． 【点评】此题主要考查了数轴以及相反数，正确表示出B点对应的数是解题关键． 2．如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（　　） A．0.5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】设A表示的数是a，根据题意得出方程a﹣3+7＝﹣a，求出即可． 【解答】解：设A表示的数是a， 则根据题意得：a﹣3+7＝﹣a， a＝﹣2， 即A点对应的数是﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查了相反数的应用，注意：a的相反数是﹣a． 3．一个数在数轴上所对应的点向左移动2024个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是　 　． 【分析】由题意得移动前后两个点到原点的距离相等，都为1012，且移动前的点在原点右侧，故这个数是1012． 【解答】解：根据题意可得，移动前后两个点到原点的距离相等，都为1012，且移动前的点在原点右侧，故这个数是1012． 故答案为：1012． 【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解相反数的意义和表示数的方法是正确解答的前提． 4．已知A为数轴上的一点，将A先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，得到点B，若A、B两点对应的数恰好互为相反数，求A点对应的数． 【分析】设A表示的数是a，根据题意得出方程a+7﹣4＝﹣a，求出即可． 【解答】解：设A表示的数是a， 则根据题意得：a+7﹣4＝﹣a， a＝﹣1.5， 即a点对应的数是﹣1.5． 【点评】本题考查了相反数的应用，注意：a的相反数是﹣a． 5．在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数． 【分析】根据题意可以得到点C表示的数，由点B，C表示互为相反数的两个数，可以得到点B表示的数，本题得以解决． 【解答】解：∵点A表示数8，点C和点A之间的距离为3， ∴点C表示的数是8﹣3＝5或8+3＝11， ∵点B，C表示互为相反数的两个数， ∴点B表示的数是﹣5或﹣11， 由上可得，点B，C所表示的数是﹣5和5或﹣11和11． 【点评】本题考查相反数、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 6．（2023秋•郾城区校级月考）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 【分析】（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出﹣a，﹣b； （2）先得到b表示的点到原点的距离为10，然后根据数轴表示数的方法得到b表示的数； （3）先得到﹣b表示的点到原点的距离为10，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a表示的点到原点的距离为5，然后根据数轴表示数的方法得到a表示的数． 【解答】解：（1）如图，； （2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为10， 所以b表示的数是﹣10； （3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度， 所以a表示的点到原点的距离为5， 所以a表示的数是5． 【点评】本题考查了相反数：a的相反数为﹣a．也考查了数轴． 7．（2024春•长宁区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 　 　秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 　 　； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）分别利用在相遇之前距离为10和在相遇之后距离为10，求出即可． 【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得： 2x+3x＝8﹣（﹣12）， 解得：x＝4， ﹣12+2×4＝﹣4． 答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4； （2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t， 若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10＝20， 解得：t＝2． 若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10＝20， 解得：t＝6． 综上所述：t的值为2或6． 故答案为：4；﹣4． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，利用分类讨论得出是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第1章 有理数》 1.2 数 轴 知识点一 数轴 ★1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ★2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ★3、画数轴的注意事项： (1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2) 直线一般是水平的； (3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀. 知识点二 数轴上的点与有理数的关系 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数 -a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度． 知识点三 相反数 ★1、相反数的定义： 像 2和﹣2，3和﹣3 这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义） 一般地，a 和 -a 互为相反数. ★2、相反数的几何意义： （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 (0 除外)； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等； （3）一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示 数 ﹣a 和 a，我们说这两点关于原点对称. ★3、相反数的性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数. ★4、求一个相反数的方法： （1） 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数. （2） 求一个字母或一个式子相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号. 知识点四 多重符号的化简 ★1、多重符号化简的依据：相反数的定义是多重符号化简的依据．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反数，所以﹣（﹣5）=5. ★2、多重符号的化简 化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.简称“奇负偶正”. 题型一 数轴的定义 解题技巧提炼 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. 1．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中，数轴画正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•射洪市校级期中）下列图形中，表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•官渡区期中）下列图形中不是数轴的是（　　） A． B． C． D． 5．判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ 　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 数轴上的点与有理数的关系 解题技巧提炼 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 1．（2024•赛罕区二模）如图，数轴上点M所表示的数可能是（　　） A．1.5 B．﹣1.6 C．﹣2.6 D．﹣3.4 2．数﹣3在数轴上位置的描述，正确的是（　　） A．在﹣4表示的点的左边 B．在﹣2表示的点和原点之间 C．由1表示的点向左平移4个单位长度得到 D．和原点的距离是﹣3 3．下列说法中正确的是（　　） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 4．如图，点O为数轴的原点，若点A表示的数是﹣1，则点B表示的数是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．4 5．与原点距离为5.5个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和 . 6．在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？ 7．（2023秋•平桥区月考）给出下面五个数，﹣1，0，2.5，4．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 8．（2023秋•馆陶县期末）如图，数轴上的点A，B，C分别表示﹣3，﹣1.5，4．请回答下列问题． （1）在数轴上描出A，B，C三个点． （2）若把数轴的原点取在点B处，其余都不变，写出点A表示的数． 题型三 利用数轴求两点之间的距离 解题技巧提炼 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. 1．（2023秋•坡头区期末）数轴上，点A对应的数是1，点B对应的数是7，则线段AB的长度为 　 　． 2．在数轴上表示数﹣1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 3．在数轴上表示3的点与表示﹣4的点之间的距离是（　　） A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣4 4．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： （1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A：　 　；B：　 　；C：　 　． （2）A、B两点间的距离是 　 　，A、C两点间的距离是 　 　． （3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 题型四 利用数轴上两点之间的距离求点表示的数 解题技巧提炼 1、由于点的位置不确定，要借助数轴进行分类讨论，分在已知点的左侧和右侧两种情况. 2、确定符号和距离，确定距离时要表示所对应的点距原点几个单位长度. 1．（2023秋•宁河区期末）数轴上与表示﹣3的点的距离是5的点表示的数是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．2或﹣8 2．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.6cm”对应数轴上的数为（　　） A．﹣1.4 B．﹣1.6 C．﹣2.6 D．1.6 3．（2024•福州三模）如图是单位长度为1的数轴，点A，B是数轴上的点，若点A表示的数是﹣3，则点B表示的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4．（2023秋•定陶区期末）在数轴上与表示﹣2的点距离等于3的点所表示的数是（　　） A．1 B．﹣1或5 C．﹣5 D．﹣5或1 5．在数轴上，在原点的左边，距原点6个单位长度的点表示的数为　 　． 6．（2023秋•和平区期末）已知数轴上A、B两点间的距离为3，点A表示的数为1，则点B表示的数为 　 　． 7．（2024•阎良区校级二模）如图，在数轴上点A表示的数是2，点B被墨水遮住了，已知AB＝4，则点B表示的数为 　 　． 8．数轴上+5表示的点位于原点　 　边距原点　 个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示　 　，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是　 　． 9．画出数轴，并解答下列问题： （1）在数轴上表示下列各数：5，3.5，﹣2，﹣1； （2）在数轴上标出表示﹣1的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数． 题型五 利用数轴解决实际问题 解题技巧提炼 数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系. 1．（2024•裕华区校级二模）如图，数轴上点A表示向东走了8m，则点B表示（　　） A．向东走8m B．向南走8m C．向西走8m D．向北走8m 2．（2023秋•安乡县期末）数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发向右爬了2个单位长度到了原点，则点A所表示的数是 　 　． 3．（2023春•崇川区校级月考）如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 　　. 4．快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶3km到达A小区，继续向西行驶1km到达B小区，然后向东骑行8km到达C小区最后回到物流公司． （1）以物流公司为原点，向东方向为正方向，用1cm表示1km，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． （2）C小区离A小区有多远？ （3）求快递员一共骑行的路程． 5．（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数　 表示的点重合； （2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　 　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 题型六 与数轴相关的探究题 解题技巧提炼 根据线段的端点与数轴上的整数点是否重合分情况讨论,求较大范围内的整数点个数时，可类比较小范围内的情况. 1．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有　 个． 2．已知动点A在数轴上从原点开始运动，第一次向左移动1厘米，第二次向右移动2厘米，第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，…，移动第2022次到达点B，则点B在点A的（　　） A．左侧1010厘米 B．右侧1010厘米 C．左侧1011厘米 D．右侧1011厘米 3．一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示的数为（　　） A. -2022 B．2022 C．-1011 D．1011 4．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 5．定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB． （1）某数轴的单位长度是1cm，求盖住的整点的个数； （2）若将数轴的单位长度改为2cm，求盖住的整点的个数． 题型七 相反数的定义 解题技巧提炼 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a 和 -a 互为相反数. 1．（2024春•上思县月考）﹣2024的相反数是（　　） A． B． C．2024 D．﹣2024 2．（2022•常州）2022的相反数是（　　） A．2022 B．﹣2022 C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．带“+”的和带“﹣”的数互为相反数 B．和一个点距离相等的两个点表示的数一定互为相反数 C．数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 D．一个数的前边添上“﹣”所得的数是这个数的相反数 4．（2023秋•林州市期中）下列互为相反数的是（　　） A．﹣（﹣2）与2 B．与﹣0.33 C．﹣|﹣5|与5 D．﹣（+3）与+（﹣3） 5．（2023秋•兴隆台区期末）2的相反数是＝　 　． 6．（2023秋•甘肃期末）﹣（）的相反数是 　 　． 题型八 利用相反数的概念求值 解题技巧提炼 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数. 1．（2024•汉阳区校级模拟）如果a的相反数是2024，那么a的值为（　　） A．2024 B．±2024 C． D．﹣2024 2．（2023秋•裕华区校级月考）当﹣a＝﹣7时，﹣a的相反数是（　　） A．7 B．﹣7 C．±7 D．不能确定 3．（2023秋•长岭县期末）若m是﹣6的相反数，则m的值是 　 　． 4．（2023•镇江二模）若a与互为相反数，则a的值为 　 　． 5．若a＝﹣a，则a＝　 　． 6．已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则3a+2b+c的值是　　． 7．（2023秋•惠民县校级月考）已知+（）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z相反数是z，求x+y+z的相反数． 8．（1）如果一个数是﹣10，它的相反数是a，那么a﹣10的相反数是多少？ （2）已知﹣[﹣（+x）]＝8，求x的相反数． 题型九 多重符号的化简 解题技巧提炼 多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 1．下列表示﹣5的“相反数”的是（　　） A．﹣（﹣5） B．﹣（+5） C．﹣[﹣（﹣5）] D．﹣[+（+5）] 2．（2023秋•城关区校级期中）化简的结果的相反数为（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．2022 3．（2023•五华区校级模拟）﹣（﹣2024）的相反数是 　 　． 4．（2023秋•双河市期中）若﹣x＝2，则﹣[﹣（﹣x）]＝　 　． 5．（2023秋•洪洞县期中）化简符号：﹣{+[﹣（﹣2023）]}＝　 　． 6．（2023春•南岗区校级月考）化简： （1）﹣（﹣68）； （2）﹣（+0.75）； （3）； （4）﹣[+（﹣3.6）]． 7．（2023秋•巨野县校级月考）化简下列各式的符号： （1）﹣（+4）； （2）+（）； （3）﹣[﹣（）]； （4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}． 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？ 题型十 在数轴上表示出相反数 解题技巧提炼 在数轴上表示出某数的相反数的方法是先求出某数的相反数，然后再在数轴上表示出即可解答. 1．已知a、b在数轴上的位置如图，在数轴上标出a的相反数﹣a，b的相反数﹣b的位置． 2．分别写出5，4，﹣3的相反数，在如图所示的数轴上表示出各数及它们的相反数，并说明表示各对数的点在数轴上的位置特点． 3．写出下列各数的相反数，并在数轴上把这些相反数表示出来： +2，﹣3，0，﹣（﹣1），﹣3，﹣（+4）． 4．分别写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出各数及它们的相反数． 1.5，0，﹣2，1，﹣（） 5．已知有理数a，﹣3，b在数轴上对应的点的位置如图，在数轴上画出a，﹣3，b的相反数对应的点． 6．（2023秋•韩城市期末）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为﹣4、1，B、D两点间的距离是3． （1）在图中标出点B，C的位置，并写出点B对应的数； （2）若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是7，求点E所对应的数． 题型十一 相反数与两点之间的距离的应用 解题技巧提炼 如果一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点间的距离是a个单位长度,那么这两个点到原点的距离就等于a÷2，再根据点的位置确定对应的数. 1．如图，点A是数轴上一点，点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是（　　） A． B．1.5 C．0 D．1 2．如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M，P，N，Q．若P到N的距离小于P到M的距离，且点M，N表示的有理数互为相反数，则图中的点表示正数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．若数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是16，则这两个数是　 　． 4．如图，数轴上A、B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则A点表示的数是 　 ． 5．已知数轴上点A、B表示的数互为相反数．并且A、B两个点之间的距离为8．求点A、B表示的数．（A在B的左边） 6．（2023秋•新化县校级期中）用尺子画出数轴并回答． （1）把下列各数表示在数轴上：； （2）上述数中互为相反数的一组数是 　 　，它们之间有 　　个单位长度，它们关于 　 　对称． 7．如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 题型十二 相反数与点的移动 解题技巧提炼 互为相反数的两个数在数轴上的对应点应位于原点两侧，且到原点的距离相等。点在数轴上的移动要明确移动的方向和移动的距离. 1．数轴上的点A表示的数是a，点A在数轴上向右平移了8个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则a是（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 2．如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（　　） A．0.5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 3．一个数在数轴上所对应的点向左移动2024个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是　 　． 4．已知A为数轴上的一点，将A先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，得到点B，若A、B两点对应的数恰好互为相反数，求A点对应的数． 5．在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数． 6．（2023秋•郾城区校级月考）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 7．（2024春•长宁区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 　 　秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 　 　； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$