精品解析：山东省日照市东港区北京路中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

初二年级数学学科期末学情检测试题 （满分120分 时间120分钟） 一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 一次函数y=-2x+3的图像所经过的象限是（ ）. A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、三、四 D. 一、二、四 4. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝7：2，则∠C＝（　　） A. 20° B. 40° C. 140° D. 160° 6. 为考察甲、乙、丙、丁四个学生的学习情况，对这四名同学的四次测试成绩进行统计的平均数与方差为：，，， ，则成绩又高又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8. 已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. C. 直线过点 D. 与坐标轴围成的三角形面积为2 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 10. 已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，过原点作垂直于直线交于点，过点作垂直于轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点过点作垂直于轴于点……依此规律作下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴于，两点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴于点，交于点，连接．则下列说法中正确的有（ ）个 ①点的坐标为 ② ③点的坐标为） ④的周长为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4个小题，每小题3分，共12分，请将答案写在答题卡相应位置上． 13. 若，则______． 14. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为________． 15. 如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点，若，则________． 16. 如图，正方形ABCD的边长为6．E，F分别是射线AB，AD上的点（不与点A重合），且，M为EF的中点．P为线段AD上一点，，连接PM．当为直角三角形时，则AE的长为______． 三、解答题：本题共6个小题，．满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）用适当方法解方程： 18. 某中学为全面普及消防知识，提高学生消防安全意识，特邀市消防中队在全校开展了消防知识和技能培训活动．培训结束后，在七、八年级开展了一次消防安全知识竞赛，竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取20名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.7 9 a 1.01 八年级 8.7 b 9 1.175 （1）根据以上信息可以求出：___________，___________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七年级有800人、八年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 19. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或. （1）已知、，试求A、B两点间的距离______. 已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1，试求M、N两点的距离为______； （2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗?说明理由． （3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求出点P的坐标及的最短长度． 20. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 （1）求甲、乙两种货车各用了多少辆； （2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆． ①写出w与t之间的函数解析式； ②当t为何值时，w最小？最小值是多少？ 22. 如图，在平行四边形中，．点P在上由点B向点C出发，速度为每秒；点Q在边上，同时由点D向点A运动，速度为每秒．当点P运动到点C时，点P，Q同时停止运动．连接，设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （2）设四边形的面积为y，求y与t之间的函数关系式． （3）当t为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？求出此时的度数． （4）连接，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学学科期末学情检测试题 （满分120分 时间120分钟） 一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可． 【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的意义列式解答即可 【详解】被开方数大于等于0，因此可得2x+6≥0，可解不等式得x≥-3，因此可在数轴上表示为C. 故选C 【点睛】本题主要考查了二次根式的意义，不等式的解集.关键在于掌握二次根式的意义. 3. 一次函数y=-2x+3的图像所经过的象限是（ ）. A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、三、四 D. 一、二、四 【答案】D 【解析】 【详解】∵一次函数y=-2x+3中，k=-2＜0，b=3＞0， ∴一次函数y=-2x+3的图象经过第一、二、四象限． 故选D． 【点睛】运用了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限”是解题的关键． 4. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是斜边的中点， ． 5. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝7：2，则∠C＝（　　） A. 20° B. 40° C. 140° D. 160° 【答案】C 【解析】 【分析】由在▱ABCD中，∠A：∠B=7：2，根据平行四边形的对角相等，邻角互补，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠A＝∠C， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A：∠B＝7：2， ∴∠C＝∠A＝×180°＝140°． 故选C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等，邻角互补定理的应用是解此题的关键． 6. 为考察甲、乙、丙、丁四个学生的学习情况，对这四名同学的四次测试成绩进行统计的平均数与方差为：，，， ，则成绩又高又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴乙，丁的平均成绩较高，甲，丁的成绩较稳定， ∴成绩又高又稳定的是丁， 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系． 8. 已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. C. 直线过点 D. 与坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出一次函数解析式为，再根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， ∴A、y随x增大而减小，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，所以直线过点，故本选项正确，符合题意； D、当时，， ∴直线与轴交于点，与轴交于点， ∴与坐标轴围成的三角形面积为，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论m与0的关系，当m≠0时，得到判别式与系数的关系． 【详解】①m=0时，方程为x=0，不符合已知条件； ②m≠0时,方程有两个不相等的实根等价于△>0， 即, 解得，且； 故选C. 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握判别式与系数的关系． 10. 已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点的坐标，从而得出的长度，运用勾股定理求出的长度，然后根据折叠的性质可知，，则，，运用勾股定理列方程得出的长度，即点的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可． 【详解】解：当时，，即， 当时，，即， 所以，即， 设，则，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， 又， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出的坐标是解本题的关键． 11. 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，过原点作垂直于直线交于点，过点作垂直于轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点过点作垂直于轴于点……依此规律作下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质求得的长，同理求得的长，再求得的长，…，找到规律，根据这个规律可以求解． 【详解】∵直线与两坐标轴的交点为：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴为的中点， ∵轴， ∴， 同理：为的中点， ∴， ， … ∴， ∴的纵坐标为：，横坐标为：，即， ∴点的坐标是 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定和性质，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴于，两点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴于点，交于点，连接．则下列说法中正确的有（ ）个 ①点的坐标为 ② ③点的坐标为） ④的周长为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出的解析式，可得点E的坐标，可得出，则，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将利用全等转换为即可求出的周长． 【详解】解：∵一次函数的图象交x轴、y轴与A、B两点， ∴当，则，故， 当，则，故， ∴， 在中，， 故的长为13； 过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为，①错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵轴， ∴， ∴C的坐标为，③正确； 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴，E点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，②错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，④错误． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键． 二、填空题：本题共4个小题，每小题3分，共12分，请将答案写在答题卡相应位置上． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象，写出直线l2在直线l1上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线l1：y1=k1x+b与直线l2：y2=k2x的交点的横坐标为-1， ∴当x＜-1时，y2＞y1， ∴关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜-1． 故答案为x＜-1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB=30°，再判断出△ABO是等边三角形，根据等边三角形的性质求出OB=AB，再求出OB=BE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE=75°，再根据∠AOE=∠AOB+∠BOE计算即可得解． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE=45°， ∴∠AEB=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB=BE， ∵∠CAE=15°， ∴∠ACE=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°， ∴∠BAO=90°-30°=60°， ∵矩形中OA=OB， ∴△ABO是等边三角形， ∴OB=AB，∠ABO=∠AOB=60°， ∴OB=BE， ∵∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°， ∴∠BOE=（180°-30°）=75°， ∴∠AOE=∠AOB+∠BOE， =60°+75°， =135°． 故答案为135°． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 16. 如图，正方形ABCD的边长为6．E，F分别是射线AB，AD上的点（不与点A重合），且，M为EF的中点．P为线段AD上一点，，连接PM．当为直角三角形时，则AE的长为______． 【答案】或10 【解析】 【分析】分当∠PMF=90°，当∠MPF=90°两种情况讨论，根据正方形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图1所示，当∠PMF=90°时， 四边形是正方形， ，， ， ∴△CBE≌△CDF， ∴BE=DF， ∵EM=MF，PM⊥EF， ∴PE=PF， 设AE=x，则BE=DF=6-x， ∵PA=1， ∴PE=PF=5+6-x=11-x， 在Rt△PAE中，∵PE2=AE2+PA2， ∴（11-x）2=x2+12， ∴x=， ∴AE=． 如图2所示，当∠MPF=90°．连接， ∵∠A=∠MPF=90°， ∴MP∥AE， ∵ME=MF， ∴PA=PF=1， ∴DF=BE=4， ∴AE=AB+BE=10， 综上所述，AE的值为或10． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，分类讨论是解题的关键． 三、解答题：本题共6个小题，．满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）用适当方法解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）化简二次根式、负整数次幂、零次幂，再进行加减运算； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴，, 解得，． 18. 某中学为全面普及消防知识，提高学生消防安全意识，特邀市消防中队在全校开展了消防知识和技能培训活动．培训结束后，在七、八年级开展了一次消防安全知识竞赛，竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取20名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.7 9 a 1.01 八年级 8.7 b 9 1.175 （1）根据以上信息可以求出：___________，___________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七年级有800人、八年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），； 补充统计图如下： （2） 解：七年级更好， 理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，说明七年级一半以上人不低于9分， 七年级方差小于八年级方差，说明七年级的波动较小， 所以七年级成绩更好． （3）估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人． 【解析】 【分析】（1）由七年级C组的人数最多，结合众数的定义可得答案；将20名学生的竞赛成绩从大到小排列，第10个数据在B组，第11个数据在C组，再结合中位数的定义可得答案，再补全统计图即可； （2）分别从平均数，中位数与方差的角度出发分析即可； （3）由优秀率乘以总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：由七年级竞赛成绩统计图可得， 七年级C组的人数为：（人）， ∴七年级B组的人数最多， ∴七年级的众数为； 由八年级竞赛成绩统计图可得， 将20名学生的竞赛成绩从大到小排列，第10个数据在B组，第11个数据在C组， ∴中位数， 图略； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人． 【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，中位数与众数，方差的含义，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键． 19. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或. （1）已知、，试求A、B两点间的距离______. 已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1，试求M、N两点的距离为______； （2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗?说明理由． （3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求出点P的坐标及的最短长度． 【答案】（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为. 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料中A和B的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M、N在平行于y轴的直线上，根据M和N的纵坐标利用公式即可求出MN的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE，DF，EF的长，即可判定此三角形的形状； （3）作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时最短，最短距离为，P的坐标即为直线与x轴的交点. 【详解】解：（1）∵、 ∴ 故A、B两点间的距离为：13. ∵M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1 ∴ 故M、N两点的距离为5. （2）∵、、 ∴ ∴DE=DF， ∴△DEF为等腰直角三角形 （3） 作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时DP+PF最短 设直线的解析式为y=kx+b 将D（1,6），（4，-2）代入得： 解得 ∴直线的解析式为： 令y=0，解得，即P的坐标为（） ∵PF= ∴PD+PF=PD+== 故当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为. 【点睛】本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键. 20. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 21. 某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 （1）求甲、乙两种货车各用了多少辆； （2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆． ①写出w与t之间的函数解析式； ②当t为何值时，w最小？最小值是多少？ 【答案】（1）甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆 （2）①；②t＝4时，w最小＝22 700元 【解析】 【分析】（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解； （2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式； ②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可． 【小问1详解】 （1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得 16x＋12（24－x）＝328． 解得x＝10． ∴24－x＝24－10＝14． 答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆． 【小问2详解】 ①． ② ∵50>0， ∴w随t的减小而减小． ∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形中，．点P在上由点B向点C出发，速度为每秒；点Q在边上，同时由点D向点A运动，速度为每秒．当点P运动到点C时，点P，Q同时停止运动．连接，设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （2）设四边形的面积为y，求y与t之间的函数关系式． （3）当t为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？求出此时的度数． （4）连接，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）， （4）或或，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可； （2）先构造直角三角形，求出，再用梯形的面积公式即可得出结论； （3）利用面积关系求出t，即可求出，进而判断出，即可得出结论； （4）分三种情况，利用等腰三角形的性质，两腰相等建立方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵在平行四边形中，，， 由运动知，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即：时，四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点A作于E，如图， 在中，， ∴， 由运动知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∵， ∴， 由（2）知，， ∵四边形的面积是四边形的面积的四分之三， ∴， ∴； 如图， 当时，点P和点C重合，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：①当时，， 即； ②当时，如图， ∵， 过P作PM垂直于AB，垂足为点M， ∴，， 解得：， ∴， ∴ ③当时，同（2）的方法得，， ∴， ∴， 所以，当或或时，为等腰三角形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是利用建立方程，解（2）的关键是求出梯形的高，解（3）的关键是求出t，解（4）的关键是分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $