精品解析：湖南省株洲市天元区白鹤学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

白鹤学校2024年上学期期末水平测试 七年级数学试题卷 时量∶120分钟；满分∶120分 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 代数式 中，属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 甲，乙，丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 三个都一样 6. 如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分前开，密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ） A B. C. D. 7. 如图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（ ） A 108米 B. 106米 C. 104米 D. 102米 10. 在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　） A. 45 B. 63 C. 54 D. 不确定 二、填空题（本小题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 人体最小的血细胞血小板平均直径约为米，用科学记数法表示为______米． 12. 若分式的值为零，则x的值等于_________． 13. 已知，则_______． 14. 若，则的值为______． 15. 如图，直线，直线，，则__________． 16. 若的展开式中不含和项，则，的值为_______． 17. 折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则_____°． 18. 如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确有______（填写序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分） 19. （1）解方程组∶ （2）计算∶ 20. 分解因式∶ （1） （2） 21. 先化简，再找一个你喜欢的数值代入进行计算： 22. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在”的捐款活动，七年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示． （1）本次抽查的学生人数是 ，并补全条形统计图； （2）请求出本次捐款金额的众数和中位数； （3）若这所学校七年级学生为1300名，捐款总金额约有多少元？ 23. 已知如图，，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若于点D，若平分，，求的度数． 24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 25. 阅读材料∶ 新定义：任意两数α、b，按规定 得到一个新数c，称所得新数c为数a、b的“快乐返校学习数”． （1）若，，求a，b的“快乐返校学习数”c； （2）若，且，求a，b的“快乐返校学习数”c； （3）若，，且a，b的“快乐返校学习数”c为正整数，求整数n的值是多少？ 26. 已知直线，点A在直线上，点B、C平面内两点，于点C． （1）如图1，当点B在直线上，点C在直线上方时，交于点D，求证∶； （2）如图2，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线与之间，过点B作交直线于点D，请猜测与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点C在直线上，且在点A左侧，点B在直线下方时，过点B作交直线于点D，作的平分线交直线于点E，当时，求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 白鹤学校2024年上学期期末水平测试 七年级数学试题卷 时量∶120分钟；满分∶120分 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可． 【详解】A.斐波那契螺旋线不是轴对称图形，故选项不符合题意； B.笛卡尔心形线是轴对称图形，故选项符合题意； C.彭烈斯三角不是轴对称图形，故选项不符合题意； D.赵爽弦图不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵无法计算，错误，故A不合题意． ∵，无法计算，错误， ∴B不合题意． ∵， ∴C不合题意． ∵， ∴D合题意． 故选：D． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是分解因式，故本选项不符合题意； B、是因式分解，故本选项符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、因式分解不彻底，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 代数式 中，属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键．仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关． 【详解】根据题意，是分式的是，共有3个， 故选B． 5. 甲，乙，丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 三个都一样 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性．根据方差越小，成绩越稳定即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴成绩最稳定的是乙， 故选：B． 6. 如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分前开，密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可． 【详解】解：该平行四边形的面积为； 故选C． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键． 7. 如图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线性质，注意掌握数形结合是解答此题的关键．首先过点作，由，可得，利用平行线的性质，即可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：过点作， ， ，， ， 故选：D 8. 如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据大长方形的对边相等，列出关于、的二元一次方程组即可，本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据长方形对边相等的性质，列出等量关系式． 【详解】解：根据图题意得：， 故选：． 9. 如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（ ） A. 108米 B. 106米 C. 104米 D. 102米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可． 【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析， 横向距离等于，纵向距离等于， 长米，宽米， 故从出口A到出口B所走的路线长为：（米）， 故选C． 10. 在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　） A. 45 B. 63 C. 54 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m）， ∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m）， ∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m）， ∴n﹣2＝9，m＝， ∴n＝11，m＝63． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键． 二、填空题（本小题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 人体最小的血细胞血小板平均直径约为米，用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】∵， 故答案为：． 12. 若分式的值为零，则x的值等于_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，掌握以上知识是解题的关键． 根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：1． 13. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法进行计算即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 14. 若，则的值为______． 【答案】13 【解析】 【分析】先利用绝对值和平方的值非负的性质，得到x+y和xy的值，然后将转化为：，代入值可求得 【详解】∵ ∴x+y－5=0，xy－6=0 ∴x+y=5，xy=6 == 故答案为：13 【点睛】本题考查非负性的应用和完全平方式的变形，这两个考点属于典型题型，需要熟练解题技巧 15. 如图，直线，直线，，则__________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 16. 若的展开式中不含和项，则，的值为_______． 【答案】3, 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，解方程组，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键．根据题意，得，结合展开式中不含和项，得，解方程组即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含和项， ∴， 解得． 故答案为：3, ． 17. 折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则_____°． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，平角的定义解答即可．本题考查了折叠的性质和平行线的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得， 故； 由长方形纸片， ∴， ∴， 故答案为：70． 18. 如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有______（填写序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据平行线的性质、角平分线定义和垂直的定义求出，然后对各个结论进行判断即可．本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∴， ∴平分，， 故①④正确； ∵， ∴， 故②正确； 无法证明， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分） 19. （1）解方程组∶ （2）计算∶ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，注意运算顺序，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键． （1）应用加减消元法，求出方程组的解即可； （2）首先计算零指数幂、乘方，然后计算加减，求出算式的值即可． 【详解】解：（1）， ②①，可得， 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的解是． （2） 20. 分解因式∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握并灵活选择因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）利用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ． 21. 先化简，再找一个你喜欢的数值代入进行计算： 【答案】,当x=0时，原式=. 【解析】 【分析】直接将分式的分子与分母分解因式，进而利用分式的乘除运算法则计算得出答案． 详解】原式=， 当x=0时， 原式=． 【点睛】本题考查了分式的乘除，正确分解因式是解题的关键． 22. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在”的捐款活动，七年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示． （1）本次抽查的学生人数是 ，并补全条形统计图； （2）请求出本次捐款金额的众数和中位数； （3）若这所学校七年级学生为1300名，捐款总金额约有多少元？ 【答案】（1）50 （2）15，15 （3）17420元 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的，根据频率可求出答案； （2）根据众数、中位数的定义进行计算即可； （3）求出样本平均数，估计总体平均数，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人， “捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下： 故答案为：50； 【小问2详解】 学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元， 将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元； 【小问3详解】 样本平均数为（元人）， 所以全校七年级学生1300名，捐款总金额为（元， 答：全校七年级学生为1300名，捐款总金额为17420元． 23. 已知如图，，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若于点D，若平分，，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得，结合，得到，即可得到； （2）根据，得，结合平分，得到，结合，得到． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，直角三角形的特征量，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元 （2）①；②有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆；方案一利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据题意，得，化简得，即可求解； ②根据题意，得，两种车都买，故m，n都是正整数，得到，解得，且m是偶数，得到方案；设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 根据题意，得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． 【小问2详解】 ①设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 根据题意，得， 化简得， 得到． 故； ②根据题意，得，由两种车都买，故m，n都是正整数， 得到，解得，且m是偶数， 具体如下： ，，， 故有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆； 设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大，故方案一，利润最大，最大利润为元． 25. 阅读材料∶ 新定义：任意两数α、b，按规定 得到一个新数c，称所得新数c为数a、b的“快乐返校学习数”． （1）若，，求a，b的“快乐返校学习数”c； （2）若，且，求a，b的“快乐返校学习数”c； （3）若，，且a，b的“快乐返校学习数”c为正整数，求整数n的值是多少？ 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，明确题意，利用题中的新定义是解题的关键． （1）把，代入式子求出答案； （2）把代入化简求解即可； （3）根据题意和题目中的定义，求出答案即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：， 两边同时除以， 得， ， ， ， ， 故a，b的“快乐返校学习数”是； 小问3详解】 解：把，代入， c为正整数，为整数， 或， 故整数的值为或． 26. 已知直线，点A在直线上，点B、C为平面内两点，于点C． （1）如图1，当点B在直线上，点C在直线上方时，交于点D，求证∶； （2）如图2，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线与之间，过点B作交直线于点D，请猜测与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点C在直线上，且在点A左侧，点B在直线下方时，过点B作交直线于点D，作的平分线交直线于点E，当时，求出的度数． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查垂线的定义，平行的性质，三角形的内角和定理，做出合适的辅助线是解题的关键． （1）先证明，结合，，即可证明结论； （2）过点作，得到，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得结论； （3）过点作，设，由求出，进一步解答即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作， ， ， ， ， 平分， ， 设， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$