精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

大庆中学2023——2024学年度下学期期末考试 高二数学期末考试题 考试时间：120分钟 满分：150分 说明： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上. 2.将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ） A. 35 B. 34 C. 31 D. 30 4. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（ ） A. 常数项为240 B. 含的项的二项式系数为15 C. 各项的二项式系数和为64 D. 第四项为60 6. 曲线y＝ln(2x－1)上点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 2 7. 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为AD1，B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ） ①存在P，Q的某一位置，使AB∥PQ； ②△BPQ的面积为定值； ③当PA＞0时，直线PB1与直线AQ一定异面； ④无论P，Q运动到何位置，均有BC⊥PQ. A. ①②④ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下几种说法正确的是（ ） A. 对于相关系数，越接近1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小 B. 若随机变量满足，则 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，射击中靶的概率为，若，则 10. 如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形为正方形，则下列结论不正确的是（ ） A. 该八面体的体积为 B. 到平面的距离为 C. 该八面体的外接球的表面积为 D. 与所成角为 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 函数有三个零点 C. 过可以作两条直线与图像相切 D. 若函数在区间上有最大值，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则c值为______． 13. 已知数列满足：，且，，则此数列前20项的和为______． 14. 受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为，现从这三个市中任意选取一个人.则这个人感杂支原体肺炎病毒的概率为_______________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在1，2，3，……，8这8个自然数中，任取3个数字． （1）求这3个数中恰有1个偶数的概率； （2）设为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量的概率分布列及方差． 16. 已知函数，是函数的一个极值点. （1）求的值； （2）求的单调区间. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为的正方形，四边形为菱形，，平面平面. （1）求三棱锥体积； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 18. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益（单位：元） 165 142 148 125 150 （1）求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 附： （2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.甲､乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为. ①在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率； ②已知甲､乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲､乙两名学生所获得奖学金总金额的分布列及数学期望. 19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如. （1）求； （2）求的通项公式； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大庆中学2023——2024学年度下学期期末考试 高二数学期末考试题 考试时间：120分钟 满分：150分 说明： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上. 2.将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数定义域，解一元二次不等式化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】， 所以， 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ）． A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性和必要性判断即可. 【详解】当时，；当时，或，所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ） A. 35 B. 34 C. 31 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可. 【详解】从这七个点任意选取三个点有个， 其中共线的四点中有个不能构成三角形， 所以不同的三角形个数有31个， 故选：C. 4. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可直接利用等差数列通项公式和前和公式联立方程组求解即可得出答案. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为和,则由题意可得,联立解得. 故选:B. 【点睛】本题着重考查了等差数列通项公式和前和公式的运算应用,属于基础题. 5. 在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（ ） A. 常数项为240 B. 含的项的二项式系数为15 C. 各项的二项式系数和为64 D. 第四项为60 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式逐个选项分析即可. 【详解】由题可知二项展开式的通项为. 对A，当，即时取得常数项，故A正确； 对B，当，即时取得的项，其二项式系数为，故B正确； 对C，二项式系数和为，故C正确； 对D，第四项为，故D错误. 故选：D 6. 曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】当直线2x－y＋3＝0的平行线与曲线相切时，切点到直线的距离即为所求. 【详解】将直线2x－y＋3＝0平移至与曲线y＝ln(2x－1)相切时， 切点到直线2x－y＋3＝0的距离为最短距离， 设与直线2x－y＋3＝0平行的直线方程为， 设切点，， 解得到直线2x－y＋3＝0的距离为， 所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为. 故选：A. 【点睛】本题考查几何法求点到直线的最短距离以及导数几何意义的应用，考查数形结合思想，属于中档题. 7. 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为AD1，B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ） ①存在P，Q的某一位置，使AB∥PQ； ②△BPQ的面积为定值； ③当PA＞0时，直线PB1与直线AQ一定异面； ④无论P，Q运动到何位置，均有BC⊥PQ. A. ①②④ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，利用特殊点判断①的正误；判断的面积为变化，判断②，利用异面直线以及直线与平面垂直关系判断③④即可． 【详解】解：①当，分别为棱，的中点时满足，正确． ②令正方体的棱长为1，取特殊位置的面积为变化，在处时，的面积为，在中点时，的面积为，面积不是定值，故错误． ③，当时，假设直线与是共面直线，则与共面，矛盾，所以直线与是异面直线，故③正确； ④，当与重合或与重合时，易证.当不与、重合时，设点在平面ABCD内的射影为M，点Q在平面ABCD内的射影为N，连接PM，QN，MN，PQ，由知，，故，又，，所以平面，平面，所以，故④正确； 故选：D． 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，，所以，得， 所以， 记，所以， 所以，且， 所以 ，当且仅当即等号成立， 此时 ， . 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下几种说法正确的是（ ） A. 对于相关系数，越接近1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小 B. 若随机变量满足，则 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，射击中靶的概率为，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由相关系数性质可得A；由方差性质计算可得B；由独立性检验定义可得C；由二项分布的期望与方差公式可得D. 【详解】对A：在回归分析中，相关系数的绝对值越接近于1，相关程度就越大，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：观测值越大，有关系把握程度越大，故C正确； 对D：由，则有，， 故，即，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形为正方形，则下列结论不正确的是（ ） A. 该八面体的体积为 B. 到平面的距离为 C. 该八面体的外接球的表面积为 D. 与所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，将八面体分为两个相同的正四棱锥，由锥体的体积公式求解即可； 对于B选项，取中点，找出平面，过作交延长线于，易证平面，所以为到平面的距离； 对于C选项，根据八面体的性质，确定其外接球的球心为中间正方形对角线的交点，则外接球半径，由球的表面积公式求解即可; 对于D选项，易得，则或其补角即为与所成角. 【详解】如图， 对于A，连接交于点，连接，易得过点，且平面， 又，则， 则该八面体的体积为A错误； 对于B，取中点，连接，易得， 易知， 因平面，所以平面， 过作交延长线于， 因为平面，所以， 又平面，故平面， 所以为到平面的距离， 由，则， 即到平面的距离为B错误； 对于C，因为， 则点即为该八面体的外接球的球心，则外接球半径， 所以外接球的表面积为C错误； 对于D，易得，则或其补角即为与所成角， 又，则与所成角为D正确. 故选：ABC. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 函数有三个零点 C. 过可以作两条直线与图像相切 D. 若函数在区间上有最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对称中心是，结合题中“拐点”的定义，求出和的值，再通过求导画出函数的图象，结合图象，判断各选项即可. 【详解】对于A中，由，可得，则， 因为点是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知， 且，解得，所以A正确； 对于B中，由，可知，则， 令，可得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，则函数图象如图所示， 由图象可知，函数只有一个零点，所以B错误； 对于C中，因为，所以点恰好在的图象上， 画出函数的切线，如图所示， 由图象可知过点可作函数的两条切线，所以C正确； 对于D中，若在区间上有最大值，由上图可知，最大值只能是， 所以且，解得，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则c的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件及正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量，所以直线为正态曲线的对称轴， 而，由正态分布的对称性可知， ，解得. 所以c的值为. 故答案为：. 13. 已知数列满足：，且，，则此数列的前20项的和为______． 【答案】1133 【解析】 【分析】根据递推关系，可以得到奇数项和偶数项分别成等差和等比数列，进而分组求和即可. 【详解】当时，由可知，的奇数项成等差数列，且公差为2，首项为；当时，可知的偶数项成等比数列，且公比为2，首项为， 故前20项和为. 故答案为:1133 14. 受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为，现从这三个市中任意选取一个人.则这个人感杂支原体肺炎病毒的概率为_______________. 【答案】0.054 【解析】 【分析】记事件选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件此人来自甲市,记事件此人来自乙市,记事件此人来自丙市，求出,,,,,,根据全概率公式可得答案 【详解】记事件选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件此人来自甲市, 记事件此人来自乙市,记事件此人来自丙市，,且彼此互斥, 依题意，,,, ,,, 由全概率公式得 ， 所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054. 故答案为：0.054 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在1，2，3，……，8这8个自然数中，任取3个数字． （1）求这3个数中恰有1个偶数的概率； （2）设为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量的概率分布列及方差． 【答案】（1） （2）分布列见解析，方差为 【解析】 【分析】（1）利用组合知识求出概率；（2）求出的可能取值及相应的概率，求出分布列和方差. 【小问1详解】 这3个数中恰有1个偶数，则剩余2个数为奇数， 设这3个数中恰有1个偶数为事件A， 则， 【小问2详解】 的可能取值为0,1,2,3, ， ， ， ， 所以随机变量的概率分布列为： X 0 1 2 3 P 期望为， 方差为 16. 已知函数，是函数的一个极值点. （1）求的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1）；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为. 【解析】 【分析】 (1)求，由求出的值并经验即可； (2)利用导数法直接求解即可. 【详解】解：（1）， 依题意得，，即，经检验符合题意. （2）由（1）得， ， 令得，，， 列表： 3 － 0 ＋ 0 － ↘ ↗ ↘ 所以的单调递减区间为和，增区间为. 【点睛】易错点睛：本题考查已知函数极值点求参数，该问题应该注意的事项：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性；求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则；如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，不能用“”连接，只能用“，”或“和”字隔开. 17. 在如图所示几何体中，四边形是边长为的正方形，四边形为菱形，，平面平面. （1）求三棱锥的体积； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，证得面，利用等体积转化利用体积公式求解三棱锥的体积． （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建泣空间直角坐标系.分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 设，如图1，连接. 因为四边形为菱形且， 所以为等边三角形，则. 四边形是边长为的正方形，所以. 又面，故面 ，面. 又，则， . 【小问2详解】 因为平面平面，且面面面， 在正方形中，，所以面. 面，则，又由（1）知. 如图2，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建泣空间直角坐标系. 可得. 设面BAF的法向量为，， ，令 设两的法向量为，， 令. 故. 所以，平面和平面夹角的余弦值为. 18. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益（单位：元） 165 142 148 125 150 （1）求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 附： （2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.甲､乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为. ①在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率； ②已知甲､乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲､乙两名学生所获得奖学金总金额的分布列及数学期望. 【答案】（1），186元. （2）①；②分布列见解析，600元 【解析】 【分析】（1）由题干所给数据及公式求出，，即可得到回归直线方程，再令计算可得； （2）①根据条件概率公式计算可得；②依题意的取值可能为，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望. 【小问1详解】 依题意可得， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. 【小问2详解】 ①设事件为“学生甲获得奖学金”，事件为“学生甲获得一等奖学金”， 则，， 所以， 即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为. ②依题意的取值可能为， 所以， ， ， 即的分布列为 0 300 500 600 800 1000 则的数学期望 （元）. 19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如. （1）求； （2）求的通项公式； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可； （2）设出第次构造后得到的数列求出，则得到第次构造后得到的数列求出，可得与关系，再利用构造法求通项即可； （3）利用放缩法求等比数列和可得答案. 【小问1详解】 因为第二次得到数列，所以第三次得到数列 所以； 小问2详解】 设第次构造后得的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为 ， 则 ， ，可得，， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，即； 【小问3详解】 由（2）得， 所以当时，， 当时，所以 ， 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$