精品解析： 河南省郑州经济技术开发区外国语学校2023-2024学年八年级下学期数学期末试题

2023−2024学年第二学期学情调研题卷 八年级数学 亲爱的同学： 欢迎参加考试！本试卷分试题卷和答题卡两部分．调研时间100分钟，共23题．请首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可. 【详解】选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意．故选B． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟知旋转图形的性质是解决问题的关键． 2. 甲种酸奶保鲜适宜的温度是，乙种纯奶保鲜适宜的温度是，将这两种奶放在一起同时保鲜，适宜的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的实际应用．解题的关键是找到两个范围的公共部分． 确定两种酸奶保鲜适宜的温度的公共部分，即可得出结果． 【详解】解：∵甲种酸奶保鲜适宜的温度是，乙种纯奶保鲜适宜的温度是， ∴这两种奶放在一起同时保鲜，适宜的温度是， 故选C． 3. 如图，在四边形中，，为上一点，且，，，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作交于，，可得，，进而，根据勾股定理可得的长． 【详解】解：过作交于， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选B． 4. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查因式分解-提公因式法，首先提取公因式进而利用公式法分解因式得出即可． 【详解】A. ，此选项正确； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. 无法分解因式，故此选项错误； 故选A． 5. 如图：在中，，平分，交于点D，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键．设，由条件结合等腰三角形的性质可证明，在中由三角形内角和定理列出方程可求得x，可求得． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，即， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 6. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可． 本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A选项错误； B、当时，， 故B选项是错误； C、∵ ， ∴， 故C选项错误； D、∵， ∴， 故D选项正确； 故选：D． 7. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线性质知，，的周长． 【详解】解：∵垂直平分 ∴， ∴的周长 故选：D． 8. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图−作已知角的角平分线、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．作于，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质定理得到，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：作于H， 由作图步骤得平分， ∵，， ∴，又， ∴， 故选：A． 9. 如图，在平行四边形中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，，，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，可得；过作，交于，交于，证明是等腰三角形，进而得到，再利用勾股定理计算出的长，进而可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 、的平分线、分别与相交于点、， ， ， ． 过作，交于，交于，如图所示： ， ， 平分， ， ∵， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明，是解决问题的关键． 10. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 已知点和点关于坐标原点对称，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为进行解答即可． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ，， ， 故答案为：1． 13. 命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是：______ 【答案】如果两个有理数的平方相等，则它们相等 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的题设是“如果两个有理数相等”，结论是“它们的平方相等”， 故其逆命题是“如果两个有理数的平方相等，则它们相等”． 【点睛】解答本题的关键是熟知两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 14. 计算的结果是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，利用分式加减运算法则结合因式分解求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 如图，在等腰中，，，点，分别在轴，轴上，且轴，将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质以及图形的平移，过点A作，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求得和的长度，可得平移的距离，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴当点与点重合时，点A向左移动个单位， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）化简： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查分式的化简及分式的乘除以及解分式方程的计算，注意分式方程要检验. （1）分式的除法计算，先将分子分母中能进行因式分解的先进行因式分解，然后再计算； （2）将分式方程去分母化为整式方程求解，注意结果要检验． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 检验：当时，， 是方程的增根， ∴原方程无解． 17. 认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： （1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； （2）请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 【答案】（1）是轴对称图形；是中心对称图形； （2） 满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查轴对称和中心对称图形的定义． （1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【小问1详解】 （1）特征1：都是轴对称图形； 特征2：都是中心对称图形； 故答案为：是轴对称图形；是中心对称图形； 【小问2详解】 略 18. 如图，是的一个外角，，. （1）尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是平行四边形. 【答案】（1） 解：如图，为所作； （2） 证明：， ， 平分， ， ， 即， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先利用得到，再根据角平分线的定义得到，则利用三角形外角性质可判断，所以，然后利用可判断四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图基本作图、等腰三角形的性质和平行四边形的判定，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 19. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）为证明上述定理，需先写出已知，求证，如下： 已知：如图，是的中位线． 求证：________，________． （请你补充完整） （2）请写出证明过程： 【答案】（1）， （2） 证明：延长至F，使，连接， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴且． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的证明，掌握全等三角形的性质和判定以及平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）结合图形把命题的结论作为求证的内容即可； （2）延长至F，使，连接，通过证明和证明四边形是平行四边形，即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半． 【小问1详解】 解：根据题目“三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半”，可知求证：，， 故答案为：， 【小问2详解】 略． 20. 一工厂生产某种产品，每生产一件这种产品需甲种原料、乙种原料．已知甲种原料每千克的价格比乙种原料每千克的价格少8元． （1）为使每件产品的成本价不超过23元，那么购入的乙种原料每千克的价格最高不超过多少元？ （2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多18元．现用1000元通过批发价购买该产品的件数与用1600元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？ 【答案】（1）不超过10元 （2）30元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设乙种原料每千克的价格为x元，则甲种原料每千克的价格为元，根据使每件产品的成本价不超过23元列出不等式求解即可； （2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为元，根据“用1000元通过批发价购买该产品的件数与用1600元通过零售价购买该产品的件数相同，”正确列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设乙种原料每千克的价格为x元，则甲种原料每千克的价格为元， 根据题意得：， 解得：． 答：购入乙种原料每千克的价格最高不超过10元． 【小问2详解】 解：设这种产品每件的批发价为元，则零售价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合实际． 答：这种产品每件的批发价为30元． 21. 某学校计划采购了一批专用篮球和中超比赛专用足球．已知购买2个篮球和3个足球需要600元，购买3个篮球和1个足球需要550元． （1）求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元？ （2）学校购买篮球和足球的总数量是100个，且购买的总费用不能超过12000元；若要求购买篮球的数量多于35个，通过计算说明共有哪几种购买篮球的方案． 【答案】（1）购买一个篮球150元，购买一个足球100元； （2）共有5种购买方案，方案一：购买篮球36个，购买足球64个；方案二：购买篮球37个，购买足球63个；方案三：购买篮球38个，购买足球62个；方案四：购买篮球39个，购买足球61个；方案五：购买篮球40个，购买足球60个． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组． （1）根据“购买2个篮球和3个足球需要600元，购买3个篮球和1个足球需要550元”可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式组，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个篮球元，购买一个足球元， 由题意可得：， 解得， 答：购买一个篮球150元，购买一个足球100元； 【小问2详解】 设购买篮球个，则购买足球个， 由题意可得：， 解得， 为整数， ，37，38，39或40， 共有5种购买方案， 方案一：购买篮球36个，购买足球64个； 方案二：购买篮球37个，购买足球63个； 方案三：购买篮球38个，购买足球62个； 方案四：购买篮球39个，购买足球61个； 方案五：购买篮球40个，购买足球60个． 22. 如图1，是的角平分线，，试探究线段，，之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：________）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则________ 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为________． （1）请你补全小明的解题思路． （2）小明又想尝试其它方法：延长到点，使，连接．请你帮助小明，完成解答过程． 【答案】（1），， （2） 证明：延长到点，使，连接．如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意作辅助线，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，证得，得到，等量代换即可证明． 【小问1详解】 解：①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为； 【小问2详解】 略 23. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数称为“智慧数”． 小明对智慧数进行了探究： ，3是智慧数；，5是智慧数； ，7是智慧数；，9是智慧数； …… 小明猜测除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明的证明方法如下： 设是正整数， 所以，除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明继续对对智慧数进行了探究： ，8是智慧数；，12是智慧数； ，16是智慧数；，20是智慧数； …… （1）请你帮助小明完成上述探究： ①猜测：________． ②请你对猜测进行证明； （2）请写出不超过2024的最大的智慧数为________；它能表示为________和________这两个正整数的平方差． 【答案】（1）①除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； ②证明：设，且k为整数， ∵，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． （2）2024；505；507 【解析】 【分析】本题考查平方差公式进行因式分解，读懂材料是解题的关键． （1）①猜测：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；②设，且k为整数，根据平方差公式进行因式分解即可证明； （2）根据（1）中结论可得最大的智慧数，再结合结论可得这两个正整数分别为多少． 【小问1详解】 解：（1）①猜测：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； ②略 【小问2详解】 ∵除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；除1外，所有的奇数都是智慧数； ∴不超过2024的最大的智慧数为2024； ， ∴，； ∴这两个数分别为505和507． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023−2024学年第二学期学情调研题卷 八年级数学 亲爱的同学： 欢迎参加考试！本试卷分试题卷和答题卡两部分．调研时间100分钟，共23题．请首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A. B. C. D. 2. 甲种酸奶保鲜适宜的温度是，乙种纯奶保鲜适宜的温度是，将这两种奶放在一起同时保鲜，适宜的温度是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，，为上一点，且，，，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图：在中，，平分，交于点D，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 9. 如图，在平行四边形中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，，，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 10. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 不等式的解集是________． 12. 已知点和点关于坐标原点对称，则的值为________． 13. 命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是：______ 14. 计算的结果是_________． 15. 如图，在等腰中，，，点，分别在轴，轴上，且轴，将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）化简： （2）解方程： 17. 认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： （1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； （2）请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 18. 如图，是的一个外角，，. （1）尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是平行四边形. 19. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）为证明上述定理，需先写出已知，求证，如下： 已知：如图，是的中位线． 求证：________，________． （请你补充完整） （2）请写出证明过程： 20. 一工厂生产某种产品，每生产一件这种产品需甲种原料、乙种原料．已知甲种原料每千克的价格比乙种原料每千克的价格少8元． （1）为使每件产品的成本价不超过23元，那么购入的乙种原料每千克的价格最高不超过多少元？ （2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多18元．现用1000元通过批发价购买该产品的件数与用1600元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？ 21. 某学校计划采购了一批专用篮球和中超比赛专用足球．已知购买2个篮球和3个足球需要600元，购买3个篮球和1个足球需要550元． （1）求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元？ （2）学校购买篮球和足球的总数量是100个，且购买的总费用不能超过12000元；若要求购买篮球的数量多于35个，通过计算说明共有哪几种购买篮球的方案． 22. 如图1，是的角平分线，，试探究线段，，之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：________）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则________ 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为________． （1）请你补全小明的解题思路． （2）小明又想尝试其它方法：延长到点，使，连接．请你帮助小明，完成解答过程． 23. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数称为“智慧数”． 小明对智慧数进行了探究： ，3是智慧数；，5是智慧数； ，7是智慧数；，9是智慧数； …… 小明猜测除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明的证明方法如下： 设是正整数， 所以，除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明继续对对智慧数进行了探究： ，8是智慧数；，12是智慧数； ，16是智慧数；，20是智慧数； …… （1）请你帮助小明完成上述探究： ①猜测：________． ②请你对猜测进行证明； （2）请写出不超过2024的最大的智慧数为________；它能表示为________和________这两个正整数的平方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $