2.2 第3课时 命题的证明（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（湘教版）

2.2 命题与证明 第2章 三角形 第3课时 命题的证明 优翼数学教学课件（XJ）八上 问题：在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度(∠1，∠2，∠3)，那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 1 2 3 实质就是求这个三角形的外角和. 导入新课 活动1：采用剪拼的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度. 猜测：三角形的三个外角之和等于 360°. 证明的一般步骤 新课讲授 活动2：采用度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度. 猜测：三角形的三个外角之和等于 360°. 3 1 2 ∠3 ≈ 138.2° ∠1 ≈ 105.6° ∠2 ≈ 118.5° 从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于 360°，但是由于存在误差，剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近 360°，但不能很准确地都得到 360°. 思考：怎么证明“三角形的外角和为 360°”呢？ 已知：如图，∠BAF，∠CBD 和∠ACE 分别是△ABC 的三个外角. 求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°. 证明猜想 证明：如图， ∵∠BAF =∠2 +∠3， ∴∠BAF +∠CBD +∠ACE = 2(∠1 +∠2 +∠3). ∠CBD =∠1 +∠3， ∠ACE =∠1 +∠2， ∵∠1 +∠2 +∠3 = 180° (三角形内角和定理)， ∴∠BAF +∠CBD +∠ACE = 2×180° = 360°. 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步 第二步 第三步 画出图形 写出已知、求证 写出证明的过程 根据题意 根据命题的条件和结论，结合图形 通过分析，找出证明的途径 总结归纳 例1 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，点 D 在线段 BA 的延长线上，射线 AE 平分∠DAC. 求证：AE∥BC. 证明：∵∠DAC =∠B +∠C (三角形外角性质)， ∠B =∠C (已知)， ∴ ∠DAC = 2∠B (等式的性质). 又∵AE 平分∠DAC (已知)， ∴∠DAC = 2∠DAE (角平分线的定义) ∴∠DAE =∠B (等量代换). ∴ AE∥BC (同位角相等，两直线平行). 典例精析 注：符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”. 例2 已知：∠A，∠B，∠C 是△ABC 的内角. 求证：∠A，∠B，∠C 中至少有一个角大于或等于 60°. 解析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个” “有两个” “有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明. 反证法 证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于 60°， 即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°， 则∠A +∠B +∠C＜180°. 这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾， 所以假设不正确. 因此，∠A ，∠B，∠C 中至少有一个角大于或等于 60°. 像这样，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法. 反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”. 总结归纳 应用反证法的情形： (1) 直接证明困难； (2) 需分成很多类进行讨论； (3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的一类命题； (4) 结论为“唯一”类命题. 用反证法证明时，导出矛盾的几种可能： （1）与原命题的条件矛盾； （3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （2）与假设矛盾; （4）与客观事实矛盾. 命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 (　　) A．两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 练一练 C 【解析】“最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C. 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有 n 个 小于 至多有 n 个 对所有 x 成立 对任何 x 不成立 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少有两个 至多有(n - 1)个 至少有(n + 1)个 存在某个x 不成立 存在某个 x 成立 不等于 某个 填一填 1. 在括号内填上理由. 已知：如图，∠A +∠B = 180°. 求证：∠C +∠D = 180°. 证明：∵∠A +∠B = 180° (已知)， ∴ AD∥BC ( ). ∴ ∠C +∠D = 180° ( ). 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 当堂练习 2. 应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用 (　　) ①结论相反判断，即假设　②原命题的结论 ③公理、定理、定义等　　④原命题的条件 A．①④　　　　　　　　 B．①②③ C．①③④ D．②③ C 3. 已知：如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，∠1 =∠2. 求证：∠2 =∠3，∠3 +∠4 = 180°. 证明： ∵ ∠1 =∠2， ∴∠2 =∠3（两直线平行，内错角相等）， ∠3 +∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）. 4. 已知：如图，AB 与 CD 相交于点 E. 求证：∠A +∠C =∠B +∠D. 证明：∵ AB 与 CD 相交于点 E， ∴∠AEC =∠BED (对顶角相等). 又 ∵∠A +∠C +∠AEC =∠B +∠D +∠BED = 180° （三角形内角和定理）， ∴∠A +∠C =∠B +∠D. 5. 求证：△ABC 中不能有两个钝角． 证明：假设△ABC 中有两个钝角， 不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°， 则∠A＋∠B＋∠C＞180°. 这与三角形的内角和定理相矛盾， 所以假设不成立，因此原命题正确， 即△ABC 中不能有两个钝角． 命题的证明 直接证明 反证法 反设结论 推理 导出矛盾 (画图)写出已知、求证 写出证明过程 证得结论 课堂小结 $$