2.2 第2课时 真命题、假命题与定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（湘教版）

2.2 命题与证明 第2章 三角形 第2课时 真命题、假命题与定理 优翼数学教学课件（XJ）八上 问题1 下列命题的条件是什么？结论是什么？ （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果 a＞b，b＞c，那么 a = c； （3）正方形的四条边都相等. 解：（1）条件：两个角相等. 结论：它们是对顶角. （2）条件：a＞b，b＞c. 结论：a = c. （3）条件：一个四边形是正方形. 结论：它的四条边都相等. 导入新课 问题2 上述命题哪些是正确的，哪些是不正确的？你是怎么判断的？与同伴交流. 做一做：下列命题中，哪些正确，哪些错误？ （1）每一个月都有 31 天； （2）如果 a 是有理数，那么 a 是整数； （3）同位角相等； （4）同角的补角相等. 错误 错误 错误 正确 你能说说你是怎么判断的吗？ 我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题. 真命题与假命题 新课讲授 解析：命题①：内错角相等是在两直线平行且被第三条直线所截的前提下才有，所以它是错的；命题②：相等的角并不一定是对顶角；命题③和命题④均正确. 1. 下列四个命题中是真命题的有（ ） ① 内错角相等；② 相等的角是对顶角；③ 直角三角形有一个角等于 90°；④ 三边相等的三角形是等边三角形. A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 C 练一练 2. 判断下列命题为真命题的依据是什么？ （1）如果 a 是整数，那么 a 是有理数； （2）如果△ABC 是等边三角形，那么△ABC 是等腰三角形. 分别根据有理数、等腰和等边三角形的定义作出的判断. 要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明. 那么怎样判断一个命题是假命题呢？ 反例 “因为早上我发现老张从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人捌了，我知道老张家没有种玉米.所以我家玉米肯定是老张捌的.” 片段1：一天早上，李老汉来到衙门里告状说：老张刚刚在他地里偷捌（同扒）了一袋子玉米.吕县令立即派衙役将老张拘捕到县衙审讯: 吕县令问李老汉：“你怎知是老张偷了你的玉米?” 这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法. 故事分析 根据李老汉的证明，你能断定玉米是老张偷的吗？你觉得有疑点吗？ 李老汉想证明什么？ 他是怎么证明的？ 片段2：县官一时拿不定主意，就问旁边 的县丞道：“师爷，你怎么看？” 县丞说“这事要证明是老张干的，还 得弄清那袋子里装的是不是刚捌的玉米， 还要看看地里的脚印是不是老张的才行. 如果袋子里装的是刚捌的玉米，且地里的脚印是老张的，那就一定是他偷的.” 从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析. 在分析的过程中，如果发现所需要的条件都已具备，或可从已知条件中推得，那么判断就很容易了. 要判定一个命题是假命题，只需举出一个例子(反例)，它符合命题的条件，但不满足命题的结论，就可以判定这个命题为假命题. 例如，要判定命题“如果 a 是有理数，那么 a 是整数”是一个假命题，我们举出“ 0.1 是有理数，但是 0.1 不是整数”这一例子即可判定该命题是假命题. 我们通常把这种方法称为“举反例”. 交流讨论 例1 举反例说明下列命题是假命题. 典例精析 （1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； （2）若 ab = 0，则 a + b = 0. 解：（1）如：两条平行线被第三条直线所截得的一组内错角，它们不是对顶角，但这两个角相等. （2）如：当 a = 5，b = 0 时，ab = 0，但 a +b ≠ 0. 古希腊数学家欧几里得对数学知识作了系统的总结，把人们公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理. 我们把少数真命题作为基本事实. 例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等. 基本事实与定理 人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假. 基本事实 同位角相等， 两直线平行. 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行. 我们把经过证明为真的命题叫作定理. 证实其他命 题的正确性 推 理 推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 基本事实或公理 一些条件 + 定理证明的一般过程： 总结归纳 由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论. 三角形内角和定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 推 理 看一看 注意：当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 判一判1：命题“如果∠1 和∠2 是对顶角，那么∠1 = ∠2”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假. 解：原命题是真命题. 它的逆命题是“如果∠1 =∠2，那么∠1 和∠2 是对顶角.” 逆命题是假命题. 总结：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理. 判一判2：命题“内错角相等，两直线平行”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假. 解：原命题是真命题. 它的逆命题是“两直线平行，内错角相等” 逆命题是真命题. 例2 试着判断下列定理没有逆定理： （1）对顶角相等； （2）等角的补角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补. 解：（1）其逆命题是：相等的角是对顶角，这个逆命题不正确，原定理没有逆定理． （2）其逆命题是：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，这个逆命题正确，原定理有逆定理． （3）其逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，这个逆命题正确，原定理有逆定理． 判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理． 方法总结 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由. (1) 绝对值最小的数是 0； 真命题 (2) 相等的角是同位角； (3) 一个角的补角大于这个角； (4) 在同一平面内，如果直线 a⊥l，b⊥l，那么 a∥b. 假命题 假命题 真命题 当堂练习 (3) 两条直线被第三条直线所截，同位角相等. 两条相交的直线 a、b 被第三条直线 l 所截 (如图)，所得同位角不相等. -1 和 -3 的积是 -1×(-3) > 0，-1 和 -3 不是正数. 2. 举反例说明下列命题是假命题： (1) 两个锐角的和是钝角； (2) 如果数 a，b 的积 ab＞0，那么 a，b 都是正数； 直角三角形的两个锐角和不是钝角. a b l 3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题. 解：两直线平行，同位角相等. 同位角相等，两直线平行. 定理 逆定理 举反例 基本事实 少数 假命题 真命题 推论 证明 ↓ → 命题 课堂小结 $$