第04讲 实数-2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优

苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第04讲 实数 板块一、学习目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根和算术平方根； 2. 理解平方根、算术平方根的性质； 3. 会求解与平方根相关的方程的解； 4. 理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根； 5. 理解实数、有理数、无理数的概念，会进行实数的分类； 6. 能熟练的进行实数的混合运算； 7. 知道近似数、精确度的概念。 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：平方根 平方根 文字语言 举例 定义 如果x²=a,(a≥0)那么x叫做a的平方根。 3²=9,(-3)²=9, 3和-3都叫做9的平方根 表示方法 2的平方根记作 性质 正数的两个平方根互为相反数； 0的平方根是0 负数没有平方根 知识点2：算术平方根 1. 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2. 表示方法：记作“”。 3．算术平方根的性质：具有双重非负性①;②a. 知识点3：立方根 1.立方根：如果x³=a，那么x就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 2.立方根的表示方法： 3.立方根的性质： （1）一个正数有一个正的立方根； （2）一个负数有一个负的立方根； （3）零的立方根是零。 知识点4：实数 1.实数：是有理数与无理数的统称。 2、有理数、无理数概念： （1）有理数：整数和分数统称为有理数，即能写成分数形式的数。 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。 （2）无理数：无限不循环小数，无理数的几种常见表现形式： ①开方开不尽的数，如等； ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； ③有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号） 3.实数的分类 1、按照定义分类 2、按照正负分类 4.实数与数轴上点的关系：一一对应 即一个实数对应数轴上一个点；反之，数轴上一个点对应一个实数。这也是数形结合数学思想的出发点。 5：实数的大小比较与估计 （1）实数的大小比较的常用方法： 方法一：数轴比较法：左<右 方法二: 作差比较法 方法三: 作商比较法 设a、b是两正实数，， 方法四: 平方法 设a、b是两负实数，则。 设a、b是两正实数，则。 （2）无理数的大小估计方法: 先找到离a最近的两个平方数，例如a的前面一个平方数为m,后面一个平方数为n,即m<a<n,则 6.实数的运算 实数的运算有加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等几种运算。 有理数中的所有运算顺序和运算律在实数中都可以正常使用。 板块四 典型例题 题型1 平方根、算术平方根的概念 下列说法正确的是（   ） A．4是的算术平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的数是0 和1 题型2 利用平方根的性质解决问题 一个非负数的平方根是与，那么这个数是（    ） A．1 B．9 C．或1 D．1或9 题型3 考查立方根的概念的理解 下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 题型4 利用平方根的概念和性质求解 求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5 利用平方根解决实际问题 如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)若沿着大正方形纸片边的方向裁出一个长方形纸片，能否使裁得的长方形纸片长、宽之比为，面积为？请说明理由． 题型6 平方根的估算问题 下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：其中x是整数，且求的相反数． 题型7 实数的混合运算 计算：(1)； (2)． 题型8 与实数有关的规律性问题 观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．49的算术平方根为（    ） A． B． C．7 D．-7 2．下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 3．在实数中，无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．如果一个正方形的面积为10，那么它的边长为（　　） A．10 B． C． D． 6．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点E，若点E表示的数为2，则点A表示的数是（   ） A． B． C． D． 7．已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 8．一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 二、填空题（本大题共8小题） 9．若，则x的值为 ． 10．按下面程序计算：输入，则输出的答案是 . 11．比较大小： ．（填“、、或”） 12．如果一个正数的两个平方根为，，则 ． 13．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 14．体积为5的立方体的棱长为 ． 15．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 16．计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为 ． 三、解答题（本大题共4小题） 17．解方程： 18．计算： (1)； (2)． 19．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 20．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第04讲 实数 板块一、学习目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根和算术平方根； 2. 理解平方根、算术平方根的性质； 3. 会求解与平方根相关的方程的解； 4. 理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根； 5. 理解实数、有理数、无理数的概念，会进行实数的分类； 6. 能熟练的进行实数的混合运算； 7. 知道近似数、精确度的概念。 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：平方根 平方根 文字语言 举例 定义 如果x²=a,(a≥0)那么x叫做a的平方根。 3²=9,(-3)²=9, 3和-3都叫做9的平方根 表示方法 2的平方根记作 性质 正数的两个平方根互为相反数； 0的平方根是0 负数没有平方根 知识点2：算术平方根 1. 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2. 表示方法：记作“”。 3．算术平方根的性质：具有双重非负性①;②a. 知识点3：立方根 1.立方根：如果x³=a，那么x就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 2.立方根的表示方法： 3.立方根的性质： （1）一个正数有一个正的立方根； （2）一个负数有一个负的立方根； （3）零的立方根是零。 知识点4：实数 1.实数：是有理数与无理数的统称。 2、有理数、无理数概念： （1）有理数：整数和分数统称为有理数，即能写成分数形式的数。 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。 （2）无理数：无限不循环小数，无理数的几种常见表现形式： ①开方开不尽的数，如等； ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； ③有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号） 3.实数的分类 1、按照定义分类 2、按照正负分类 4.实数与数轴上点的关系：一一对应 即一个实数对应数轴上一个点；反之，数轴上一个点对应一个实数。这也是数形结合数学思想的出发点。 5：实数的大小比较与估计 （1）实数的大小比较的常用方法： 方法一：数轴比较法：左<右 方法二: 作差比较法 方法三: 作商比较法 设a、b是两正实数，， 方法四: 平方法 设a、b是两负实数，则。 设a、b是两正实数，则。 （2）无理数的大小估计方法: 先找到离a最近的两个平方数，例如a的前面一个平方数为m,后面一个平方数为n,即m<a<n,则 6.实数的运算 实数的运算有加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等几种运算。 有理数中的所有运算顺序和运算律在实数中都可以正常使用。 板块四 典型例题 题型1 平方根、算术平方根的概念 下列说法正确的是（   ） A．4是的算术平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的数是0 和1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根．根据平方根与算术平方根的定义对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、2是的算术平方根，故本选项错误，不符合题意； B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意； C、9的平方根是，故本选项正确，符合题意； D、平方根等于它本身的数只有0，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型2 利用平方根的性质解决问题 一个非负数的平方根是与，那么这个数是（    ） A．1 B．9 C．或1 D．1或9 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的性质，根据一个非负数的两个平方根互为相反数，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， ∴这个数为， 故选：B． 题型3 考查立方根的概念的理解 下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的定义及求法逐项判断即可确定正确的选项，解题的关键是掌握立方根的定义的运用，理解：一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 【详解】、的立方根是，原选项错误，不符合题意； 、有立方根为，原选项错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是和，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 题型4 利用平方根的概念和性质求解 求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先系数化1，再开平方根，即可作答． （2）开平方根，然后再移项运算，即可作答． （3）先系数化1，再开平方根，即可作答． （4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得或； （3）解： 解得 （4）解： 解得或． 题型5 利用平方根解决实际问题 如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)若沿着大正方形纸片边的方向裁出一个长方形纸片，能否使裁得的长方形纸片长、宽之比为，面积为？请说明理由． 【答案】(1)边长是 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，（1）根据题意求得大正方形的面积为，即可求解； （2）设截出的长方形的长为，宽为，根据正方形的面积列式计算即可． 【详解】（1）解：∵两个正方形面积之和为：， ∴拼成的大正方形的面积为， 则大正方形的边长是； （2）解：不能，理由如下： 设截出的长方形的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴， ∴不能截得长宽之比为，且面积为的长方形纸片． 题型6 平方根的估算问题 下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，其中x是整数，且可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的小数部分为． （2）解：∵，即， ∴的小数部分为，即； ∵，即， ∴的整数部分为3，即； ∴． （3）解：∵ ∴ ∵其中x是整数，且 ∴，， ∴的相反数． 题型7 实数的混合运算 计算：(1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根以及绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8 与实数有关的规律性问题 观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．49的算术平方根为（    ） A． B． C．7 D．-7 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．根据题意计算即可． 【详解】解：， 故选C． 2．下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，理解和掌握算术平方根的定义和计算是解题的关键．求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3．在实数中，无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：， 在实数中，无理数有共4个， 故选：B． 4．估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系． 根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案． 【详解】解：由，得， 即， 故选：D． 5．如果一个正方形的面积为10，那么它的边长为（　　） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用．根据正方形的边长等于面积的算术平方根计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴正方形的边长为， 故选：C． 6．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点E，若点E表示的数为2，则点A表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【详解】解：∵面积为3的正方形， ∴， 由作图可知：， ∴点表示的数是； 故选D． 7．已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得，得到，进而得到，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故选：． 8．一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数就叫作的算术平方根；立方根的定义，若一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根；据此解答即可． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是8， ∴这个数是， ∴的立方根是， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题） 9．若，则x的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握若一个数的平方等于，则这个数称为的平方根是解题的关键． 利用平方根的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 解得：或． 故答案为：1或． 10．按下面程序计算：输入，则输出的答案是 . 【答案】 【分析】本题考查了立方根，平方根的运算，根据程序流程图进行运算即可，读懂程序流程图并列出代数式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故答案为：． 11．比较大小： ．（填“、、或”） 【答案】 【分析】本题考查了比较无理数的大小，将两数平方后比较大小，可得答案． 【详解】解：，，， ． 故答案为：． 12．如果一个正数的两个平方根为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，根据正数的两个平方根有两个，互为相反数，据此即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故答案为：． 13．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查立方根的概念和性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 【详解】立方根是它本身的数有个，分别是或或 故答案为：或或 14．体积为5的立方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的应用，根据立方体的体积公式，再求立方根可得答案． 【详解】因为立方体的体积是5， 所以棱长为． 故答案为：． 15．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出的值，再根据立方根求出的值，然后代入求值即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ， 解得， ， ， 的算术平方根为． 故答案为：12． 16．计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键．根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可． 【详解】解：； ； ； ，…， ∴， ∴ ． 故答案为：36． 三、解答题（本大题共4小题） 17．解方程： 【答案】， 【分析】此题考查了用平方根的意义解方程，方程变形为，根据平方根的意义得到，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， 则， ∴， 解得， 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键．要明确的是，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 20．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$