第13章 轴对称 学业质量评价（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版2012）

2024秋季学期 《学练优》· 八年级数学上 · RJ 第十三章学业质量评价 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案是轴对称图形的是（1301）（　A　） A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. 点 P （－2，3）关于 x 轴对称的点的坐标是（1305）（　D　） A. （2，3） B. （－2，3） C. （2，－3） D. （－2，－3） D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3. 线段 AB 的垂直平分线上有一点 P ，若 PA ＝3， 则 PB 的长为（1303）（　A　） A. 3 B. 4 C. 2 D. 无法确定 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. 如图，已知△ ABC 是等腰三角形， AB ＝ AC ， AD 是底边 BC 上的高，下面结论不一定成立的是 （1306）（　B　） A. BD ＝ CD B. BD ＝ AD C. AD 平分∠ BAC D. ∠ B ＝∠ C 第4题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 如图，在△ ABC 中，作边 AB 的垂直平分线，交 边 BC 于点 D ，连接 AD . 若∠ B ＝35°，∠ C ＝ 60°，则∠ DAC 的度数为（1303）（　A　） A. 50° B. 40° C. 35° D. 30° 第5题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东70°方向的 M 处，它以每小时40nmile的速度向正北方向航行， 2h后到达位于灯塔 P 的北偏东40°方向的 N 处，则 N 处与灯塔 P 的距离为（1309）（　D　） A. 40nmile B. 60nmile C. 70nmile D. 80nmile 第6题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7. 若等腰三角形的顶角是大于60°的锐角，则底角 度数可以是（1306）（　C　） A. 30° B. 45° C. 55° D. 65° C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方 子.如图，棋盘中心方子的位置用（－1，0）表示， 右下角方子的位置用（0，－1）表示.小莹将第4枚 圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形.她 放的位置是（1302）（　B　） A. （－2，1） B. （－1，1） C. （1，－2） D. （－1，－2） 第8题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AE 平分∠ BAC ， DE 垂直平分 AB ，连接 CE ，∠ B ＝70°.则∠ BCE 的度数为（1303）（　B　） A. 55° B. 50° C. 40° D. 35° 第9题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. 如图，∠ AOB ＝60°， C 是 BO 延长线上的一 点， OC ＝8cm，动点 P 从点 C 出发沿 CB 以3cm/s的 速度移动，动点 Q 从点 O 出发沿 OA 以2cm/s的速度 移动，如果点 P ， Q 同时出发，用 t （s）表示移动 的时间.当△ POQ 是等腰三角形时， t 的值为（1306）（　D　） A. B. 6 C. 或6 D. 或8 第10题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，四边形 ABCD 与四边形 EBCF 关于边 BC 所在的直线对称.若 EF ∥ BC ，∠ ABE ＝110°，则 ∠ E ＝ °.（1302） 125　 第11题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12. 如图， G 是直线 HA 上的点，若 HA ∥ BF ， FH ＝ FG ，∠ HFG ＝46°，则∠ HFB ＝ ⁠°. （1306） 第12题图 113　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13. 如图，在平面直角坐标系中，点 A （0，4）， 且∠ AOB ＝∠ BAO ＝45°，则点 B 的坐标 为 .（1306） 第13题图 （2，2）　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 如图，已知∠ AOB ＝60°，点 P 在边 OA 上， OP ＝16，点 M ， N 在边 OB 上， PM ＝ PN . 若 MN ＝2，则 OM 的长为 .（1306） 第14题图 7　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比 值叫做等腰三角形的“特征值”，记作 k .若 k ＝ ，则该等腰三角形的顶角的度数为 ⁠. （1306） 45°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝13， S△ ABC ＝ 60， AD 是△ ABC 的中线， F 是 AD 上的动点， E 是 AC 边上的动点，则 CF ＋ EF 的最小值为 ⁠. （1302） 　 第16题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题（共72分） 17. （6分）如图，∠ ACB ＝90°， AC ＝ AD ， DE ⊥ AB . 求证： CE ＝ DE . （1306） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 证明：∵ DE ⊥ AB ， ∴∠ ADE ＝90°. ∵∠ ACB ＝90°， ∴∠ ADE ＝∠ ACB . ∵ AC ＝ AD ， ∴∠ ACD ＝∠ ADC . ∴∠ ECD ＝∠ EDC . ∴ CE ＝ DE . （6分） 证明：∵ DE ⊥ AB ， ∴∠ ADE ＝90°. ∵∠ ACB ＝90°， ∴∠ ADE ＝∠ ACB . ∵ AC ＝ AD ， ∴∠ ACD ＝∠ ADC . ∴∠ ECD ＝∠ EDC . ∴ CE ＝ DE . （6分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. （8分）如图，已知 OC 是∠ AOB 的平分线，将 直尺 DEMN 的 EM 边与 OB 边重合，顶点 D 落在 OA 边上， DN 边与 OC 交于点 P . （1306） （1）猜想△ DOP 是 三角形；（3分） 等腰　 （3分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）证明你的猜想，写出解答过程. 证明：∵ OC 平分∠ AOB ， ∴∠ DOP ＝∠ BOP . ∵ DN ∥ EM ， ∴∠ DPO ＝∠ BOP . ∴∠ DOP ＝∠ DPO . ∴ OD ＝ PD . ∴△ DOP 是等腰三角形.（8分） 证明：∵ OC 平分∠ AOB ， ∴∠ DOP ＝∠ BOP . ∵ DN ∥ EM ， ∴∠ DPO ＝∠ BOP . ∴∠ DOP ＝∠ DPO . ∴ OD ＝ PD . ∴△ DOP 是等腰三角形.（8分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. （8分）△ ABC 在网格坐标系中的位置如图所 示，请完成下列问题：（1305） （1）请直接写出 A ， B ， C 三点的坐标； 解：（1）由图可知 A （－2，3）， B （－3，1）， C （1，－2）.（3分） 解：（1）由图可知 A （－2，3）， B （－3，1）， C （1，－2）.（3分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）请画出△ ABC 关于 y 轴对称的△A'B'C'（其中 A'，B'，C'分别是 A ， B ， C 的对应点，不写画 法）； 解：（2）△A'B'C'如图所示.（5分） 解：（2）△A'B'C'如图所示.（5分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）直接写出A'，B'，C'三点的坐标. 解：（3）由图可知A'（2，3）， B'（3，1），C'（－1，－2）.（8分） 解：（3）由图可知A'（2，3）， B'（3，1），C'（－1，－2）.（8分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. （9分）将一把遮阳伞的伞柄垂直于地面，其示 意图如图.当伞收紧时，点 P 与点 A 重合；当伞慢慢 撑开时，动点 P 由 A 向 B 移动；当点 P 到达点 B 时， 伞张得最开.已知伞在撑开的过程中，总有 PM ＝ PN ， CM ＝ CN . （1303，1306） （1）求证： PC 垂直平分 MN ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1）证明：∵ PM ＝ PN ， CM ＝ CN ， ∴点 P ， C 在线段 MN 的垂直 平分线上. ∴ PC 垂直平分 MN . （5分） （1）证明：∵ PM ＝ PN ， CM ＝ CN ， ∴点 P ， C 在线段 MN 的垂直 平分线上. ∴ PC 垂直平分 MN . （5分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）解： AP 的长为60cm. （9分） （2）解： AP 的长为60cm. （9分） （2）若 CN ＝ PN ＝60cm，当∠ CPN ＝60°时，直 接写出 AP 的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. （9分）如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BE ⊥ AC 于点 E ， D 为 AB 上一点，△ BDE 是正三角形. （1306） （1）求∠ C 的度数； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：（1）∵△ BDE 是正三角形， ∴∠ DBE ＝60°. ∵ BE ⊥ AC ，∴∠ BEA ＝90°. ∴∠ A ＝90°－60°＝30°. ∵ AB ＝ AC ， ∴∠ C ＝∠ ABC ＝ ＝75°. （4分） 解：（1）∵△ BDE 是正三角形， ∴∠ DBE ＝60°. ∵ BE ⊥ AC ，∴∠ BEA ＝90°. ∴∠ A ＝90°－60°＝30°. ∵ AB ＝ AC ， ∴∠ C ＝∠ ABC ＝ ＝75°. （4分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）若 DE ＝3cm，求 AB 的长. 解：（2）由（1）知∠ A ＝30°，∠ BEA ＝90°， ∴ AB ＝2 BE . 又△ BDE 为正三角形，∴ BE ＝ DE ＝3cm. ∴ AB ＝2×3＝6（cm）.（9分） 解：（2）由（1）知∠ A ＝30°，∠ BEA ＝90°， ∴ AB ＝2 BE . 又△ BDE 为正三角形，∴ BE ＝ DE ＝3cm. ∴ AB ＝2×3＝6（cm）.（9分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. （10分）如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC ， EF 垂直平分 AC ，交 AC 于点 F ，交 BC 于点 E ，且 BD ＝ DE ，连接 AE . （1303，1306） （1）若∠ BAE ＝40°，求∠ C 的度数； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：（1）∵ AD ⊥ BE ， BD ＝ DE ， EF 垂直平分 AC ， ∴ AB ＝ AE ＝ EC . ∴∠ AED ＝∠ B ，∠ C ＝∠ CAE . ∵∠ BAE ＝40°， ∴∠ AED ＝ ＝70°. （4分） 解：（1）∵ AD ⊥ BE ， BD ＝ DE ， EF 垂直平分 AC ， ∴ AB ＝ AE ＝ EC . ∴∠ AED ＝∠ B ，∠ C ＝∠ CAE . ∵∠ BAE ＝40°， ∴∠ AED ＝ ＝70°. （4分） ∴∠ C ＝ ∠ AED ＝35°.（5分） ∴∠ C ＝ ∠ AED ＝35°.（5分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）若△ ABC 的周长为14cm， AC ＝6cm，求 DC 的长. 解：（2）∵△ ABC 的周长为14cm， AC ＝6cm， ∴ AB ＋ BE ＋ EC ＝8cm，即2 DE ＋2 EC ＝8cm. ∴ DC ＝ DE ＋ EC ＝4cm.（10分） 解：（2）∵△ ABC 的周长为14cm， AC ＝6cm， ∴ AB ＋ BE ＋ EC ＝8cm，即2 DE ＋2 EC ＝8cm. ∴ DC ＝ DE ＋ EC ＝4cm.（10分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. （10分）如图，已知△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上，设∠ BAD ＝α， ∠ CDE ＝β. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1）如果∠ B ＝60°，α＝20°，β＝10°，那么 △ ADE 是什么特殊三角形？请说明理由.（1306） （2）猜想α与β之间有什么关系时，能使得 AD ＝ AE ，并进行证明.（1308） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：（1）△ ADE 是等腰三角形.理由如下： ∵ AB ＝ AC ，∠ B ＝60°， ∴△ ABC 是等边三角形. ∴∠ C ＝∠ BAC ＝60°. ∵∠ BAD ＝20°， ∴∠ DAE ＝∠ BAC －∠ BAD ＝40°. ∵∠ AED ＝∠ C ＋∠ CDE ＝70°， ∴∠ ADE ＝180°－∠ DAE －∠ AED ＝70°. 解：（1）△ ADE 是等腰三角形.理由如下： ∵ AB ＝ AC ，∠ B ＝60°， ∴△ ABC 是等边三角形. ∴∠ C ＝∠ BAC ＝60°. ∵∠ BAD ＝20°， ∴∠ DAE ＝∠ BAC －∠ BAD ＝40°. ∵∠ AED ＝∠ C ＋∠ CDE ＝70°， ∴∠ ADE ＝180°－∠ DAE －∠ AED ＝70°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴∠ ADE ＝∠ AED ＝70°.∴ AD ＝ AE . ∴△ ADE 是等腰三角形.（5分） ∴∠ ADE ＝∠ AED ＝70°.∴ AD ＝ AE . ∴△ ADE 是等腰三角形.（5分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）当α＝2β时，能使得 AD ＝ AE . 证明如下： ∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C . ∵∠ ADC ＝∠ B ＋∠ BAD ， ∴∠ ADE ＋∠ CDE ＝∠ B ＋∠ BAD . ∴∠ ADE ＋β＝∠ B ＋α. ∵α＝2β，∴∠ ADE ＝∠ B ＋β. ∵∠ AED ＝∠ C ＋∠ CDE ＝∠ C ＋β， ∴∠ ADE ＝∠ AED . ∴ AD ＝ AE . （10分） （2）当α＝2β时，能使得 AD ＝ AE . 证明如下： ∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C . ∵∠ ADC ＝∠ B ＋∠ BAD ， ∴∠ ADE ＋∠ CDE ＝∠ B ＋∠ BAD . ∴∠ ADE ＋β＝∠ B ＋α. ∵α＝2β，∴∠ ADE ＝∠ B ＋β. ∵∠ AED ＝∠ C ＋∠ CDE ＝∠ C ＋β， ∴∠ ADE ＝∠ AED . ∴ AD ＝ AE . （10分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. （12分）在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴的正 半轴上，点 B 在第一象限， OB ＝ AB ，∠ BOP ＝150°.（1306，1308） （1）如图①，求证：△ OAB 是等边三角形； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1）证明：∵∠ BOP ＝150°，∠ AOP ＝90°， ∴∠ AOB ＝60°. ∵ OB ＝ AB ， ∴△ OAB 是等边三角形.（3分） （1）证明：∵∠ BOP ＝150°，∠ AOP ＝90°， ∴∠ AOB ＝60°. ∵ OB ＝ AB ， ∴△ OAB 是等边三角形.（3分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1）证明：∵∠ BOP ＝150°，∠ AOP ＝90°， ∴∠ AOB ＝60°. ∵ OB ＝ AB ， ∴△ OAB 是等边三角形.（3分） （2）如图①，若点 M 为 y 轴正半轴上一动点，以 BM 为边作等边三角形 BMN ，连接 NA 并延长交 x 轴于点 P ，求证： AP ＝2 AO ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）证明：由（1）知△ OAB 是等边三角形， ∴∠ ABO ＝60°. ∵△ BMN 是等边三角形， ∴ BM ＝ BN ，∠ MBN ＝∠ ABO ＝60°. ∴∠ MBO ＝∠ NBA . ∵ AB ＝ OB ， ∴△ MBO ≌△ NBA （SAS）. ∴∠ OMB ＝∠ ANB . （2）证明：由（1）知△ OAB 是等边三角形， ∴∠ ABO ＝60°. ∵△ BMN 是等边三角形， ∴ BM ＝ BN ，∠ MBN ＝∠ ABO ＝60°. ∴∠ MBO ＝∠ NBA . ∵ AB ＝ OB ， ∴△ MBO ≌△ NBA （SAS）. ∴∠ OMB ＝∠ ANB . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 易知∠ MAN ＝∠ MBN ＝60°. ∴∠ OAP ＝∠ MAN ＝60°. ∵∠ AOP ＝90°， ∴∠ APO ＝30°. ∴ AP ＝2 AO . （7分） 易知∠ MAN ＝∠ MBN ＝60°. ∴∠ OAP ＝∠ MAN ＝60°. ∵∠ AOP ＝90°， ∴∠ APO ＝30°. ∴ AP ＝2 AO . （7分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）如图②，若 BC ⊥ BO ， BC ＝ BO ，点 D 为 CO 的中点，连接 AC ， DB 交于点 E ，请问 AE ， BE 与 CE 之间有何数量关系？证明你的结论. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）解： AE ＝ BE ＋ CE . 证明如下：如图②，在 AC 上截取 AG ＝ EC ， 连接 BG . 可得 AG ＋ EG ＝ CE ＋ EG ，即 AE ＝ CG . （3）解： AE ＝ BE ＋ CE . 证明如下：如图②，在 AC 上截取 AG ＝ EC ， 连接 BG . 可得 AG ＋ EG ＝ CE ＋ EG ，即 AE ＝ CG . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∵ BC ⊥ BO ，∴∠ OBC ＝90°. ∵ D 为 CO 的中点， BC ＝ BO ， ∴ BD 平分∠ OBC ，即∠ CBD ＝∠ OBD ＝45°. ∵∠ ABO ＝60°， ∴∠ ABD ＝105°，∠ ABC ＝150°. ∵ AB ＝ OB ＝ BC ， ∴∠ BAC ＝∠ BCA ＝15°. ∴∠ AEB ＝15°＋45°＝60°. 在△ ABE 和△ CBG 中， ∴△ ABE ≌△ CBG （SAS）. ∴ BG ＝ BE . ∴△ BEG 为等边三角形. ∴ BE ＝ EG . ∴ AE ＝ AG ＋ EG ＝ CE ＋ BE . （12分） ∵ BC ⊥ BO ，∴∠ OBC ＝90°. ∵ D 为 CO 的中点， BC ＝ BO ， ∴ BD 平分∠ OBC ，即∠ CBD ＝∠ OBD ＝45°. ∵∠ ABO ＝60°， ∴∠ ABD ＝105°，∠ ABC ＝150°. ∵ AB ＝ OB ＝ BC ， ∴∠ BAC ＝∠ BCA ＝15°. ∴∠ AEB ＝15°＋45°＝60°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∵ BC ⊥ BO ，∴∠ OBC ＝90°. ∵ D 为 CO 的中点， BC ＝ BO ， ∴ BD 平分∠ OBC ，即∠ CBD ＝∠ OBD ＝45°. ∵∠ ABO ＝60°， ∴∠ ABD ＝105°，∠ ABC ＝150°. ∵ AB ＝ OB ＝ BC ， ∴∠ BAC ＝∠ BCA ＝15°. ∴∠ AEB ＝15°＋45°＝60°. 在△ ABE 和△ CBG 中， ∴△ ABE ≌△ CBG （SAS）. ∴ BG ＝ BE . ∴△ BEG 为等边三角形. ∴ BE ＝ EG . ∴ AE ＝ AG ＋ EG ＝ CE ＋ BE . （12分） 在△ ABE 和△ CBG 中， ∴△ ABE ≌△ CBG （SAS）. ∴ BG ＝ BE . ∴△ BEG 为等边三角形. ∴ BE ＝ EG . ∴ AE ＝ AG ＋ EG ＝ CE ＋ BE . （12分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $$