6.限时练等腰与角平分线、线段垂直平分线的综合（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版2012）

2024秋季学期 《学练优》· 八年级数学上 · RJ 6.限时练等腰与角平分线、线段垂直平分线的综合 1. （8分）如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ ABC 的平分线 BE 交 AC 于点 D ， AF ⊥ AB 交 BE 于点 F . 若∠ BAC ＝40°，求∠ AFE 的度数. 2 3 4 1 解：∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝40°， ∴∠ ABC ＝70°. ∵ BE 平分∠ ABC ， ∴∠ ABF ＝35°. ∵ AF ⊥ AB ，∴∠ BAF ＝90°. ∴∠ AFE ＝125°.（8分） 解：∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝40°， ∴∠ ABC ＝70°. ∵ BE 平分∠ ABC ， ∴∠ ABF ＝35°. ∵ AF ⊥ AB ，∴∠ BAF ＝90°. ∴∠ AFE ＝125°.（8分） 2 3 4 1 2. （10分）如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， CA 平分∠ BCD . （1）求证：△ ACD 是等腰三角形； 2 3 4 1 （1）证明：∵ CA 平分∠ BCD ， ∴∠ ACD ＝∠ ACB . ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ DAC ＝∠ ACB . ∴∠ DAC ＝∠ ACD . ∴ AD ＝ CD . ∴△ ACD 是等腰三角 形.（5分） （1）证明：∵ CA 平分∠ BCD ， ∴∠ ACD ＝∠ ACB . ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ DAC ＝∠ ACB . ∴∠ DAC ＝∠ ACD . ∴ AD ＝ CD . ∴△ ACD 是等腰三角 形.（5分） 2 3 4 1 （2）若 AC ＝ BC ，∠ B ＝70°，求∠ D 的度数. 2 3 4 1 （2）解：∵ AC ＝ BC ，∠ B ＝ 70°， ∴∠ B ＝∠ BAC ＝70°. ∴∠ ACB ＝180°－2×70°＝ 40°. ∴∠ DAC ＝∠ DCA ＝40°. ∴∠ D ＝180°－2×40°＝100°. （10分） （2）解：∵ AC ＝ BC ，∠ B ＝ 70°， ∴∠ B ＝∠ BAC ＝70°. ∴∠ ACB ＝180°－2×70°＝ 40°. ∴∠ DAC ＝∠ DCA ＝40°. ∴∠ D ＝180°－2×40°＝100°. （10分） 2 3 4 1 3. （10分）如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AC 的 垂直平分线分别交 AB ， AC 于点 D ， E . （1）若∠ A ＝42°，求∠ DCB 的度数； 2 3 4 1 解：（1）∵ AB ＝ AC ，∠ A ＝42°， ∴∠ ACB ＝∠ ABC ＝69°. ∵ DE 垂直平分 AC ， ∴ AD ＝ CD . ∴∠ ACD ＝∠ A ＝42°. ∴∠ DCB ＝∠ ACB －∠ ACD ＝69°－ 42°＝27°.（5分） 解：（1）∵ AB ＝ AC ，∠ A ＝42°， ∴∠ ACB ＝∠ ABC ＝69°. ∵ DE 垂直平分 AC ， ∴ AD ＝ CD . ∴∠ ACD ＝∠ A ＝42°. ∴∠ DCB ＝∠ ACB －∠ ACD ＝69°－42°＝27°. （5分） 2 3 4 1 （2）若 AE ＝5，△ DCB 的周长为16，求△ ABC 的 周长. 解：（2）∵ DE 垂直平分 AC ， ∴ AC ＝2 AE ＝10. ∵△ DCB 的周长＝ CD ＋ BD ＋ BC ＝ AD ＋ BD ＋ BC ＝ AB ＋ BC ＝16， ∴△ ABC 的周长＝ AB ＋ BC ＋ AC ＝16＋10＝26. （10分） 解：（2）∵ DE 垂直平分 AC ， ∴ AC ＝2 AE ＝10. ∵△ DCB 的周长＝ CD ＋ BD ＋ BC ＝ AD ＋ BD ＋ BC ＝ AB ＋ BC ＝16， ∴△ ABC 的周长＝ AB ＋ BC ＋ AC ＝16＋10＝26. （10分） 2 3 4 1 4. （12分）如图，△ ABC 是等边三角形， BD 是中 线，延长 BC 至 E ，使 CE ＝ CD ， DF ⊥ BE ，垂足 为点 F . （1）求证： DB ＝ DE ； 2 3 4 1 （1）证明：∵△ ABC 为等边三角 形， BD 是中线， ∴∠ ACB ＝∠ ABC ＝60°， ∠ CBD ＝ ∠ ABC ＝30°. ∵ CE ＝ CD ， ∴∠ CDE ＝∠ E ＝ ∠ ACB ＝ 30°. （1）证明：∵△ ABC 为等边三角 形， BD 是中线， ∴∠ ACB ＝∠ ABC ＝60°， ∠ CBD ＝ ∠ ABC ＝30°. ∵ CE ＝ CD ， ∴∠ CDE ＝∠ E ＝ ∠ ACB ＝ 30°. ∴∠ CBD ＝∠ E ＝30°. ∴ DB ＝ DE . （6分） ∴∠ CBD ＝∠ E ＝30°. ∴ DB ＝ DE . （6分） 2 3 4 1 （2）若 CF ＝4，求 AB 的长. 2 3 4 1 （2）解：∵ DF ⊥ BE ， ∴∠ DFC ＝90°，∠ FDC ＝ 90°－∠ ACB ＝30°. ∵ CF ＝4， ∴ DC ＝2 CF ＝8. ∵△ ABC 为等边三角形， BD 是 中线， （2）解：∵ DF ⊥ BE ， ∴∠ DFC ＝90°，∠ FDC ＝90°－∠ ACB ＝30°. ∵ CF ＝4， ∴ DC ＝2 CF ＝8. ∵△ ABC 为等边三角形， BD 是 中线， ∴ AB ＝ AC ＝2 DC ＝16.（12分） ∴ AB ＝ AC ＝2 DC ＝16.（12分） 2 3 4 1 $$