（正文）第13章 专题7 与等腰三角形有关的辅助线的作法【单元整合】（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版2012）

2024秋季学期 《学练优》· 八年级数学上 · RJ 第十三章　轴对称 专题7　与等腰三角形有关的辅助线的作法 【单元整合】 ◆方法一　巧构“三线合一” 一、等腰＋中点→连中线 1. 如图，在△ ABC 中， CA ＝ CB ， D 是 AB 的中 点，∠ CED ＝∠ CFD ＝90°， CE ＝ CF ，求证： ∠ ADF ＝∠ BDE . 2 3 4 5 6 7 8 1 证明：如图，连接 CD . 在Rt△ FCD 和Rt△ ECD 中， ∴Rt△ FCD ≌Rt△ ECD （HL）. ∴∠ CDF ＝∠ CDE . ∵ CA ＝ CB ， D 是 AB 的中点，∴ CD ⊥ AB . ∴∠ CDA ＝∠ CDB ＝90°. ∴∠ CDA －∠ FDC ＝∠ CDB －∠ CDE ， 即∠ ADF ＝∠ BDE . 2 3 4 5 6 7 8 1 2. 在△ ABC 中， CA ＝ CB ，∠ ACB ＝90°， O 为 AB 的中点， D ， E 分别在直线 AC ， BC 上， OD ⊥ OE . （1）如图①，点 D ， E 分别在边 AC ， BC 上时， 求证： OD ＝ OE ； 2 3 4 5 6 7 8 1 证明：（1）如图①，连接 OC . 证明：（1）如图①，连接 OC . ∵ CA ＝ CB ，∠ ACB ＝90°， O 为 AB 的中点， ∴∠ A ＝∠ B ＝45°，∠ BCO ＝∠ ACO ＝ ∠ ACB ＝45°，∠ AOC ＝90°. ∴ AO ＝ CO ， ∠ AOD ＋∠ DOC ＝90°. 2 3 4 5 6 7 8 1 ∵ DO ⊥ OE ，∴∠ DOC ＋∠ COE ＝90°. ∴∠ AOD ＝∠ COE . 易证△ AOD ≌△ COE（ASA）. ∴ OD ＝ OE . 2 3 4 5 6 7 8 1 （2）如图②，点 D ， E 分别在 AC ， CB 的延长线 上时，求证： OD ＝ OE . 证明：（2）如图②，连接 OC . 同（1）可得∠ OCA ＝∠ OBC ＝45°， OC ＝ OB ，∠ COB ＝90°. ∴∠ OCD ＝∠ OBE ＝135°， ∠ COD ＋∠ DOB ＝90°. 2 3 4 5 6 7 8 1 ∵ OD ⊥ OE ，∴∠ DOB ＋∠ BOE ＝90°. ∴∠ COD ＝∠ BOE . 易证△ DOC ≌△ EOB（ASA）. ∴ OD ＝ OE . 2 3 4 5 6 7 8 1 二、等腰→作底边上的高 3. （2023－2024·大庆期中改编）如图，点 D ， E 在 △ ABC 的边 BC 上， BD ＝ CE . 若 AD ＝ AE ，求证： AB ＝ AC . 2 3 4 5 6 7 8 1 证明：如图，过点 A 作 AF ⊥ BC 于 F ， 证明：如图，过点 A 作 AF ⊥ BC 于 F ， ∵ AD ＝ AE ， ∴ DF ＝ EF . ∵ BD ＝ CE ，∴ BD ＋ DF ＝ CE ＋ EF . ∴ BF ＝ CF . ∴ AB ＝ AC . 2 3 4 5 6 7 8 1 三、角平分线＋垂直→延长构等腰 4. 如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝45°， AB ＝ BC ， AD 平分∠ BAC ， AD ⊥ CD ，垂足为 D ， AD 与 BC 交于点 E . 求证： AE ＝2 CD . 证明：如图，延长 AB ， CD 交于点 G . ∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ CAD ＝∠ GAD . 2 3 4 5 6 7 8 1 ∵ AD ⊥ CD ，∴ CD ＝ GD ， 即 CG ＝2 CD . ∵∠ BAC ＝45°， AB ＝ BC ， ∴∠ BCA ＝∠ BAC ＝45°.∴∠ ABC ＝90°. ∴∠ CBG ＝90°.∴∠ G ＋∠ BCG ＝90°. ∵∠ G ＋∠ BAE ＝90°，∴∠ BAE ＝∠ BCG . ∵ AD ⊥ CD ，∴ CD ＝ GD ， 即 CG ＝2 CD . ∵∠ BAC ＝45°， AB ＝ BC ， ∴∠ BCA ＝∠ BAC ＝45°.∴∠ ABC ＝90°. ∴∠ CBG ＝90°.∴∠ G ＋∠ BCG ＝90°. ∵∠ G ＋∠ BAE ＝90°，∴∠ BAE ＝∠ BCG . 2 3 4 5 6 7 8 1 在△ ABE 和△ CBG 中， ∴△ ABE ≌△ CBG （ASA）. ∴ AE ＝ CG ＝2 CD . 2 3 4 5 6 7 8 1 5. （2023·肥城期中）如图，△ ABC 中，∠ ABC ＝ 2∠ C ， BE 平分∠ ABC 交 AC 于 E ， AD ⊥ BE 于 D . 求证： AC ＝2 BD . 证明：如图，延长 BD 至 N ，使 DN ＝ BD ，连接 AN . 证明：如图，延长 BD 至 N ，使 DN ＝ BD ，连接AN . ∵ AD ⊥ BE ， ∴ AD 垂直平分 BN . ∴ AB ＝ AN . 2 3 4 5 6 7 8 1 又∵∠ ABC ＝2∠ C ， BE 平分∠ ABC ， ∴∠ N ＝∠ ABN ＝∠ NBC ＝∠ C . ∴ AN ∥ BC . ∴∠ C ＝∠ NAC . ∴∠ NAC ＝∠ N . ∴ AE ＝ EN . ∵∠ EBC ＝∠ C ，∴ BE ＝ EC . ∴ AC ＝ BN ＝2BD . 2 3 4 5 6 7 8 1 ◆方法二　截长补短→等腰 6. 如图， AD ⊥ BC 于 D ，且 DC ＝ AB ＋ BD . 若 ∠ C ＝26°，求∠ BAC 的度数. 思路一：在 DC 上截取 DE ＝ BD ，连接 AE . 2 3 4 5 6 7 8 1 解：如图，∵ DC ＝ AB ＋ BD ， BD ＝ DE ， 解：如图，∵ DC ＝ AB ＋ BD ， BD ＝ DE ， ∴ AB ＝ CE . ∵ AD ⊥ BE ， BD ＝ DE ， ∴ AB ＝ AE . ∴∠ B ＝∠ AED ， AE ＝ CE . ∴∠ EAC ＝∠ C ＝26°. ∴∠ AED ＝∠ EAC ＋∠ C ＝52°. ∴∠ B ＝52°.∴∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C ＝ 180°－52°－26°＝102°. 2 3 4 5 6 7 8 1 思路二：延长 DB 到 F ，使得 BF ＝ AB ，连接 AF . 解：如图，∵ BF ＝ AB ， DC ＝ BD ＋ AB ， 解：如图，∵ BF ＝ AB ， DC ＝ BD ＋ AB ， ∴ DF ＝ CD . ∵ AD ⊥ BC ，∴ AF ＝ AC . ∴∠ BAF ＝∠ F ＝∠ C ＝26°. ∴∠ BAC ＝180°－∠ C －∠ F －∠ BAF ＝ 180°－26°－26°－26°＝102°. 2 3 4 5 6 7 8 1 ◆方法三　作腰或底边的平行线 7. 经典题　如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 在 AB 边上，点 E 在 AC 边的延长线上，且 BD ＝ CE ， DE 交 BC 于点 F . 求证： DF ＝ EF . 证明：证法一：如图，过点 D 作 DM ∥ AC 交 BC 于点 M . ∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ ACB . 2 3 4 5 6 7 8 1 ∵ DM ∥ AC ，∴∠ DMB ＝∠ ACB . ∴∠ DMB ＝∠ B . ∴ DB ＝ DM . 又∵ BD ＝ CE ，∴ DM ＝ CE . ∵ DM ∥ CE ，∴∠ MDF ＝∠ CEF ，∠ DMF ＝∠ ECF . ∴△ DMF ≌△ ECF （ASA）.∴ DF ＝ EF . ∵ DM ∥ AC ，∴∠ DMB ＝∠ ACB . ∴∠ DMB ＝∠B . ∴ DB ＝ DM . 又∵ BD ＝ CE ，∴ DM ＝ CE . ∵ DM ∥ CE ， ∴∠ MDF ＝∠ CEF ，∠ DMF ＝∠ECF . ∴△ DMF ≌△ ECF （ASA）.∴ DF ＝ EF . 2 3 4 5 6 7 8 1 证法二：过点 E 作 EN ∥ AB 交 BC 的延长线于点N ， 证△ DBF ≌△ ENF 可得 DF ＝ EF . 证法三：过点 D 作 DG ⊥ BC 于点 G ，过点 E 作 EM⊥ BC 于点 M ，证△ BDG ≌△ CEM ，△ DGF ≌△EMF 可得 DF ＝ EF . （任选一种证法即可） 2 3 4 5 6 7 8 1 8. 如图，在△ ABC 中， CA ＝ CB ， D 在 AC 的延长 线上， E 在 BC 上，且 CD ＝ CE . 求证： DE ⊥ AB . （用两种方法证明） 证明：方法一：如图，过点 D 作 DM ∥ AB 交 BC 的 延长线于点 M . ∵ CA ＝ CB ，∴∠ A ＝∠ B . ∵ CD ＝ CE ， ∴∠ CDE ＝∠ CED . 2 3 4 5 6 7 8 1 ∵ DM ∥ AB ，∴∠ CMD ＝∠ B ＝∠ A ＝∠ MDA . ∵∠ MDC ＋∠ CDE ＋∠ DEC ＋∠ DMC ＝180°， ∴2∠ MDC ＋2∠ CDE ＝180°.∴∠ MDC ＋∠ CDE ＝90°. ∴∠ MDE ＝90°.∴ DE ⊥ MD . ∵ DM ∥ AB ，∴ DE ⊥ AB . ∵ DM ∥ AB ，∴∠ CMD ＝∠ B ＝∠ A ＝∠ MDA . ∵∠ MDC ＋∠ CDE ＋∠ DEC ＋∠ DMC ＝180°， ∴2∠ MDC ＋2∠ CDE ＝180°. ∴∠ MDC ＋∠ CDE＝90°. ∴∠ MDE ＝90°.∴ DE ⊥ MD . ∵ DM ∥ AB ，∴ DE ⊥ AB . 2 3 4 5 6 7 8 1 方法二：过点 C 作 CN ∥ AB 交 DE 于点 N ， ∴∠ DCN ＝∠ A ，∠ NCE ＝∠ B . ∵ CA ＝ CB ，∴∠ A ＝∠ B . ∴∠ DCN ＝∠ NCE . 又∵ CD ＝ CE ，∴ CN ⊥ DE . ∵ CN ∥ AB ，∴ DE ⊥ AB . （方法不唯一） 2 3 4 5 6 7 8 1 $$