（正文）第11章 专题2 三角形中求角度的常见模型【1题多变】（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版2012）

2024秋季学期 《学练优》· 八年级数学上 · RJ 第十一章　三角形 专题2　三角形中求角度的常见模型【一题多变】 ◆类型一　两条高结合求角度问题 1. 教材P14例3变式 如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC ＝50°，∠ ACB ＝60°， BE ， CF 分别是 AC ， AB 上的高， H 是 BE 和 CF 的交点.求∠ ABE 的度数，并说明∠ ABE 和∠ ACF 的关系. 2 3 1 解：∵ BE 是 AC 上的高， ∴∠ AEB ＝90°. ∵∠ ABC ＝50°，∠ ACB ＝60°， ∴∠ A ＝180°－60°－50°＝70°. ∴∠ ABE ＝90°－70°＝20°. ∵ CF 是 AB 上的高，∴∠ AFC ＝90°. ∴∠ ACF ＝90°－70°＝20°.∴∠ ABE ＝∠ ACF . 解：∵ BE 是 AC 上的高， ∴∠ AEB ＝90°. ∵∠ ABC ＝50°，∠ ACB ＝60°， ∴∠ A ＝180°－60°－50°＝70°. ∴∠ ABE ＝90°－70°＝20°. ∵ CF 是 AB 上的高，∴∠ AFC ＝90°. ∴∠ ACF ＝90°－70°＝20°.∴∠ ABE ＝∠ACF . 2 3 1 结论变式 在△ ABC 中，两条高 BD ， CE 所在的直线相交于点 O . （1）当∠ BAC 为锐角时，如图①，求证：∠ BOC ＋∠ BAC ＝180°； 2 3 1 （1）证明：∵ BD ， CE 是△ ABC 的两条高， ∴∠ ADB ＝∠ CEB ＝90°.∴∠ BAC ＋∠ ABD ＝90°， ∠ BOE ＋∠ ABD ＝90°.∴∠ BAC ＝∠ BOE . ∵∠ BOC ＋∠ BOE ＝180°， ∴∠ BOC ＋∠ BAC ＝∠ BOC ＋∠ BOE ＝180°. 2 3 1 （2）当∠ BAC 为钝角时，如图②，请在图②中画 出相应的图形（用三角尺），并回答（1）中结论是 否成立，不需证明. 2 3 1 （2）解：如图②所示.（1）中结论成立.　 解析：∵ BD ， CE 是△ ABC 的两条高， ∴∠ OEB ＝∠BDC ＝90°.∴∠ BOC ＋∠ OBE ＝90°， ∠ DAB ＋∠ OBE ＝90°.∴∠ BOC ＝∠ DAB . ∵∠ DAB ＋∠ BAC ＝180°， ∴∠ BOC ＋∠ BAC ＝ ∠ DAB ＋∠ BAC ＝180°. 2 3 1 ◆类型二　角平分线和高结合求角度问题 2. 教材P29复习题T8变式 如图，在△ ABC 中， AD ， AE 分别是△ ABC 的高和角平分线，已知∠ ABC ＝α，∠ ACB ＝β（α＞β）. （1）若α＝55°，β＝35°，则∠ DAE ＝ °； 10　 2 3 1 （2）小明说：“无需给出α，β的具体度数，只需确 定α与β的差值，即可确定∠ DAE 的度数.”请通过 计算验证小明的说法是否正确. 解：∵∠ ABC ＝α，∠ ACB ＝β， ∴∠ BAC ＝180°－α－β. ∵ AE 平分∠ BAC ， ∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝ （180°－α－β）. 2 3 1 ∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADB ＝ 90°. ∴∠ BAD ＝90°－α.∴∠ DAE ＝∠ BAE －∠BAD ＝ （180°－α－β）－（90°－α）＝ （α－ β）. ∴∠ DAE 的度数与α，β的具体度数无关，只和α与β的 差值有关.∴小明的说法是正确的. 2 3 1 图形变式 （1）在图①中，∠ B ＝ x ，∠ C ＝ y （ x ＞ y ），若 把“ AD 是△ ABC 的高”改为“ F 是线段 AE 上一 点， FD ⊥ BC 于 D ”，其他条件不变，试用 x ， y 表示∠ DFE ＝ ； （直接写结果） （ x － y ）　 2 3 1 （2）在图②中，若把（1）中的“ F 是线段 AE 上一 点”改为“ F 是 AE 延长线上一点”，其他条件不 变，试用 x ， y 表示∠ DFE ＝ .（直 接写结果） （ x － y ）　 2 3 1 ◆类型三　与三角形角平分线相关的求角度问题 3. 教材P17习题T9变式 如图，在△ ABC 中， BP 平分 ∠ ABC ， CP 平分∠ ACB ，求证：∠ P ＝90°＋ ∠ A . 证明：∵∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°， ∴∠ABC ＋∠ ACB ＝180°－∠ A . ∵ BP 平分∠ ABC ， CP 平分∠ ACB ， ∴∠ PBC ＝ ∠ ABC ， 2 3 1 ∠ PCB ＝ ∠ ACB . ∴∠ P ＝180°－（∠ PCB ＋∠ PBC ）＝180°－ （∠ ACB ＋∠ ABC ）＝180°－ （180°－∠ A ） ＝90°＋ ∠ A . 2 3 1 【变式1】如图，在△ ABC 中， BP 平分∠ DBC ， CP 平分∠ BCE ，猜想∠ P 和∠ A 有何数量关系，并 证明你的结论. 解：∠ P ＝90°－ ∠ A . 证明如下： ∵ BP ， CP 为△ ABC 两外角∠ DBC ， ∠ ECB 的平分线， ∴∠ BCP ＝ （∠ A ＋∠ ABC ）， ∠ PBC ＝ （∠ A ＋∠ ACB ）. 2 3 1 由三角形内角和定理得∠ P ＝180°－∠ BCP －∠ PBC ＝180°－ [∠ A ＋（∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ACB ）]＝180°－ （∠ A ＋180°）， 即∠ P ＝90°－ ∠ A . 由三角形内角和定理得∠ P ＝180°－∠ BCP －∠PBC ＝180°－ [∠ A ＋（∠ A ＋∠ ABC ＋∠ACB ）]＝ 180°－ （∠ A ＋180°）， 即∠ P ＝90°－ ∠ A . 2 3 1 【变式2】如图，在△ ABC 中， BP 平分∠ ABC ， CP 平分∠ ACD ，猜想∠ P 和∠ A 有何数量关系，并 证明你的结论. 解：∠ P ＝ ∠ A . 证明如下： ∵ BP ， CP 分别为∠ ABC ，∠ ACD 的平分线， ∴∠ PBC ＝ ∠ ABC ，∠ PCD ＝ ∠ ACD . 2 3 1 根据三角形的外角性质，得∠ ACD ＝∠ A ＋∠ABC ， ∠ PCD ＝∠ PBC ＋∠ P ， ∴∠ A ＋∠ ABC ＝2（∠ PBC ＋∠ P ）＝2∠ PBC ＋ 2∠ P . ∴∠ A ＝2∠ P ，即∠ P ＝ ∠ A . 2 3 1 【变式3】如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ， BE 平分∠ ABC 交 AD 于点 E . 若∠ BED ＝45°，则∠ C 的度数为 ⁠. 变式3题图 90°　 2 3 1 【变式4】如图，在△ ABC 中， BO ， CO 分别平分 ∠ ABC ，∠ ACB ，且 BO ， CO 交于点 O ， CE 为外 角∠ ACD 的平分线，交 BO 的延长线于点 E . 已知 ∠ E ＝25°，则∠ BOC 的度数为 ⁠. 115°　 变式4题图 2 3 1 【变式5】如图，点 O 是△ ABC 的内角平分线的交 点，点 I 是△ ABC 的两个外角平分线的交点，则 ∠ O ＋∠ I ＝ ⁠°. 180　 变式5题图 2 3 1 $$