23.3 方差（4大题型提分练）数学冀教版九年级上册

第二十三章 数据分析 23.3 方差（4大题型提分练） 知识点一：方差的定义 在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。 知识点二：标准差 方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 知识点三：方差与平均数的性质 若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有： 1 x1+b， x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b； ② ax1， ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a； ③ ax1+b， ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b。 题型一 求方差 1．（23-24八年级下·四川自贡·期末）某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛，5位评委给选手甲的评分如下：，，，，，则这组数据的众数和方差分别是（    ） A．93，1.6 B．90，1.6 C．93，1 D．90，1 2．（23-24九年级下·内蒙古通辽·阶段练习）若一组数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）已知一组数据是：5，6，6，6，7，则这组数据的方差是 ． 4．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若一组数据1，2，x，4，5的平均数是3，则这组数据的方差是 ． 5．（23-24八年级下·云南昆明·期末）体育课上某班同学进行了投篮测试，每人投球10次，部分同学的进球个数为：10，9，6，10，8，7，10，7，3，10 (1)分别计算这组数据的平均数、中位数、众数； (2)由于数据统计出现失误，其中一名同学实际进球9个，被记录为6个，将数据修正后，这组数据的统计量①平均数、②中位数、③众数、④方差中发生变化的是______（填序号） 题型二 利用方差求未知数据的值 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的中位数是（    ） A．6 B．8 C．8.5 D．9 2．（2023·浙江杭州·二模）分析一组数据时，圆圆列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，可得出n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一组数据，6，6，6，6，6的方差为0，则的值为 ． 4．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如果一组数据的方差，那么的值为 ． 5．（21-22八年级下·浙江金华·期末）按照疫情防控工作部署，学校核酸检测有序进行，已知检测员甲和检测员乙到某校进行核酸检测，分别记录两人检测前6名学生所用的时间，获得如下检测时间折线统计图，根据图中信息，解答下列问题： (1)要评价每位检测员检测时间平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量． (2)求检测员乙检测时间的方差． (3)现求得检测员甲检测时间的方差（单位：平方秒）根据折线统计图及上面两个小题的计算，你认为哪位检测员的检测技术比较娴熟？请简述理由． 题型三 根据方差判断稳定性 1．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：，，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）我校组织学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成功晋级，如果从这四位同学中选出一名晋级（总体水平高且状态稳定），你会推荐（    ） 甲 乙 丙 丁 平均分 93.5 93.5 92.5 92.5 方差 2.1 3.2 3.2 2.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某舞蹈团有甲、乙两个小组可以表演“天鹅湖”，两组成员身高方差分别为，，则 组的成员身高比较集中． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙、丙三名同学参加跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是 同学．（填“甲”、“乙”或“丙”） 5．（23-24八年级下·山东滨州·期末）为提高学生的数学思维能力，某中学开展“迎端午数学知识竞赛”，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，整理5名选手的竞赛成绩（满分为100分）绘制如图所示的统计图和不完整的统计表． 平均数 中位数 众数 八年（1）班 87 ______ 80 八年（2）班 ______ 85 ______    (1)请你把表格补充完整； (2)结合两班竞赛成绩的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的竞赛成绩较好； (3)计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐． 题型四 运用方差做决策 1．（2024·四川成都·二模）甲、乙、丙、丁四个旅行团的游客人数都相等，每个团游客的平均年龄都是32岁，年龄的方差分别是，，，，导游小明喜欢带游客间年龄相近的团队，在这四个团中，则他应选（    ） A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 2．（23-24八年级下·河南许昌·期末）某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选50棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是（    ） 甲 乙 丙 丁 20 20 19 18 1.7 1.6 1.6 1.7 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（23-24八年级下·陕西延安·期末）某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，他们的平均成绩及方差如下表所示： 甲 乙 丙 平均成绩/环 9.8 9.8 9.7 方差 0.05 0.03 0.03 射击队想要选择一名成绩优秀，且稳定性较好的队员，那么被选中的运动员应该是 ． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）2024年全国两会在北京胜利召开，为了增强学生的爱国主义情怀，学习两会精神，杜甫中学举办了以“学习两会精神，争做时代先锋”为主题的演讲比赛．如图是某班甲乙两名同学在五次选拔比赛中的成绩情况，你认为应选 （填“甲”或“乙”）代表班级去参加演讲比赛． 5．（2024·陕西·模拟预测）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，西瓜种植户小岚经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此小岚收集了家西瓜种植户对这两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息： a．配送速度得分（满分分）： 甲：9，，7，8，8，8，8，9，9， 乙：7，7，8，8，8，9，9，9，， b．服务质量得分（满分10分）统计图：   c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 中位数 甲 7 n 乙 m 7 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)在甲、乙两家快递公司中，若某公司服务质量得分的个数据的波动越小，则认为种植户对该公司的服务质量的评价越一致，据此推断：甲、乙两家公司中，种植户对______的服务质量的评价更一致；（填“甲”或“乙”） (3)根据以上数据，小岚应该选择哪一家快递公司？请说明理由．（写出一条理由即可） 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）响应国家体育总局提出的“全民战疫居家健身”，学校组织了趣味横生的线上活动．某校组织置“一分钟跳绳”活动，根据10名学生上报的跳绳成绩，将数据整理制成如下统计表： 一分钟跳绳个数 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（    ） A．平均数是144 B．众数是141 C．中位数是144.5 D．方差是5.4 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（    ） A．为了解我国初中学生的心理健康情况，选择全面调查 B．在一组数据7，6，6，6，5，5，8中，平均数是6 C．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据较稳定 D．一般来讲，鞋店要关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（    ） A．小庆选出四个数字的方差等于 B．小铁选出四个数字的方差等于 C．小娜选出四个数字的平均数等于 D．小萌选出四个数字的极差等于 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，，则射击成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）我国每年的农历五月初五是端午节，它与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日，今年端午节前夕，某校举行以“弘扬传统文化  传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛，经过五轮次的角逐，甲、乙两名同学脱颖而出，五轮次得分如下： 同学 第轮 第轮 第轮 第轮 第轮 甲 乙 有下列说法：①从甲、乙得分的平均分看，他们的成绩没有差别；②从甲、乙得分的众数看，乙的成绩比甲好；③从甲、乙得分的中位数看，乙的成绩比甲好；④从甲、乙成绩的稳定性看，甲的成绩比乙好．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 6．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）用方差公式计算一组数据的方差：，则的值为 ． 7．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如果样本方差是：，那么 ． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如表所示： 甲 乙 丙 丁 9.6 9.6 9.4 9.4 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ． 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，，则这位同学发挥最稳定的是 ． 10．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则 ．（填“”或“”） 11．（23-24八年级下·河南安阳·期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 乙组 b 7 c 甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10； 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． (1)以上成绩统计分析表中____，____，____； (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是____组的学生； (3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择二个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）甲、乙两名射击运动员在某次训练中5次射击成绩（单位：环）统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 8 7 a 9 8 乙 9 8 9 10 b 若数据a是甲成绩的平均数，数据b是乙成绩的中位数，根据表中数据，解答下列问题． (1)写出a和b的值． (2)根据这两人的成绩，在如图的统计图中画出表示两人成绩的折线． (3)分别计算甲、乙两人射击成绩的方差． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）某班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同条件下，分别对两名同学进行了8次一分钟跳绳测试，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： (1)表中______；______． (2)求出乙得分的方差． (3)根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 甲 175 a b 93.75 乙 175 175 180 14．（2024·浙江·模拟预测）若以50千克为基准，超过基准的千克数记为正数，不足基准的千克数记为负数．称量6筐水果的重量，甲组为实际称量数据，乙组为记录数据，如下表所示（单位：千克）： 组别       序号 1 2 3 4 5 6 甲 48 52 47 49 53 54 乙 2 3 4 (1)将乙组数据画成折线图． (2)①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的关系式． ②甲，乙两组数据的方差分别为，，比较，的大小关系，并说明理由． 15．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）暑假期间，某地区要举行八年级数学竞赛活动，本次竞赛活动设单项奖和团体奖，单项奖从所有参赛选手中由高分到低分设5名金奖、10名银奖、15名铜奖，团体奖取参赛单位参赛选手的平均分由高分到低分设3名金奖、5名银奖、10名铜奖．为了更好的参与本次竞赛活动，某校决定以班级为单位从八年级甲班和乙班中选取一个班级部分学生代表学校参加此次竞赛活动．为此，经过一段时间的培训，学校分别对两个班级学生进行了考试选拔，分别从两个班级参加本次考试的学生中，由高分到低分选取了相同数量的学生成绩进行分析比较，决定选派一个班级的这部分学生代表学校参加此次竞赛活动．     信息一：甲班本次考试成绩统计图 信息二：乙班本次考试情况统计 平均分 中位数 众数 最高分 87 89.5 94 98 信息三： 2.65 61.9 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次测试一个班级抽取了 名学生的成绩进行统计，甲班选取学生成绩的中位数是   ，补全条形统计图； (2)本次统计中甲班学生本次测试的平均成绩为多少分？ (3)通过本次测试成绩，该校选派哪个班级的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动？说明选派的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 数据分析 23.3 方差（4大题型提分练） 知识点一：方差的定义 在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。 知识点二：标准差 方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 知识点三：方差与平均数的性质 若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有： 1 x1+b， x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b； ② ax1， ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a； ③ ax1+b， ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b。 题型一 求方差 1．（23-24八年级下·四川自贡·期末）某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛，5位评委给选手甲的评分如下：，，，，，则这组数据的众数和方差分别是（    ） A．93，1.6 B．90，1.6 C．93，1 D．90，1 【答案】B 【分析】本题考查了求众数与方差，根据众数的定义，方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：出现3次，出现次数最多，则众数为， 平均数为 ∴方差为 故选：B． 2．（23-24九年级下·内蒙古通辽·阶段练习）若一组数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方差的定义，根据方差的定义即可求解，正确理解当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，的方差为， ∴，，，，的波动幅度不变， ∴数据，，，，的方差是， 故选：． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）已知一组数据是：5，6，6，6，7，则这组数据的方差是 ． 【答案】0.4 【分析】本题考查平均数、方差，先计算这组数据的平均数，再利用方差公式计算即可． 【详解】解：由题意得，这组数据的平均数为， ∴， 故答案为：0.4． 4．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若一组数据1，2，x，4，5的平均数是3，则这组数据的方差是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平均数与方差的定义.先由数据的平均数公式求得x，再根据方差的公式计算即可. 【详解】解：∵数据1，2，x，4，5的平均数是3， ∴， 解得：， ∴ ； 故答案为：2. 5．（23-24八年级下·云南昆明·期末）体育课上某班同学进行了投篮测试，每人投球10次，部分同学的进球个数为：10，9，6，10，8，7，10，7，3，10 (1)分别计算这组数据的平均数、中位数、众数； (2)由于数据统计出现失误，其中一名同学实际进球9个，被记录为6个，将数据修正后，这组数据的统计量①平均数、②中位数、③众数、④方差中发生变化的是______（填序号） 【答案】(1)平均数为8，中位数为，众数为10； (2)①②④ 【分析】本题考查统计量的选择，解题的关键是区分平均数、中位数、众数和方差的概念与意义进行解答． （1）根据平均数、众数与中位数的定义分别求出即可解答； （2）求出原数据的方差和新数据的平均数、众数，中位数和方差，进而求解即可． 【详解】（1）将数据从小到大排列为：3，6，7，7，8，9，10，10，10，10 ∴平均数为， 中间的两个数为8和9 ∴中位数为， ∵10出现的次数最多， ∴众数为10； （2）原数据的方差为， ∵一名同学实际进球9个，被记录为6个， ∴将数据从小到大排列为：3，6，6，7，7，8，10，10，10，10 ∴平均数为， 中间的两个数为7和8 ∴中位数为， ∵10出现的次数最多， ∴众数为10， ∴方差为 ∴发生变化的是①平均数，②中位数，④方差． 题型二 利用方差求未知数据的值 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的中位数是（    ） A．6 B．8 C．8.5 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了方差，中位数．根据题意得：这组数据从小到大排列为7，7，8，9，9，9，然后根据中位数的定义求解作答即可． 【详解】解：根据题意得：这组数据从小到大排列为7，7，8，9，9，9， 位于正中间的两个数为8，9， 即中位数为． 故选：C 2．（2023·浙江杭州·二模）分析一组数据时，圆圆列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，可得出n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式． 根据方差的定义求解即可得出答案． 【详解】解：由公式知，这组数据为1、2、3、4， 所以， 故选：D． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一组数据，6，6，6，6，6的方差为0，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查方差的有关计算，熟练掌握方差计算公式是解题关键，若一组数据、……，为平均数，那么该组数据的方差为：．先求出该组数据的平均数，再利用方差公式计算求解即可． 【详解】解：∵，6，6，6，6，6的平均数为， ∴这组数据的方差为：， 整理，得：， 解得， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如果一组数据的方差，那么的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查对方差计算公式的理解．根据方差的公式可以得到这组数据及平均数，从而算出的值． 【详解】解：∵一组数据的方差， ∴这组数据共5个，为7，9，9，m，n，平均数为8， ∴， ∴． 故答案为：15 5．（21-22八年级下·浙江金华·期末）按照疫情防控工作部署，学校核酸检测有序进行，已知检测员甲和检测员乙到某校进行核酸检测，分别记录两人检测前6名学生所用的时间，获得如下检测时间折线统计图，根据图中信息，解答下列问题： (1)要评价每位检测员检测时间平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量． (2)求检测员乙检测时间的方差． (3)现求得检测员甲检测时间的方差（单位：平方秒）根据折线统计图及上面两个小题的计算，你认为哪位检测员的检测技术比较娴熟？请简述理由． 【答案】(1)平均值，， (2) (3)检测员乙的检测技术较娴熟，见解析 【分析】（1）根据题意，要评价每位检测员检测时间平均水平，选择平均数，根据折线统计图求得甲、乙的数据，进而求得平均数即可求解； （2）根据方差公式进行计算即可求解； （3）比较甲乙的方差大小即可求解． 【详解】（1）解：∵要评价每位检测员检测时间平均水平， ∴选择平均数， 根据统计图可知，甲：7，6，6，9，10，10， 平均数为， 乙：7，8，7，10，7，9， ， （2）； （3）检测员乙的检测技术较娴熟，理由如下， ，，，， ， 检测员乙的检测技术较娴熟． 【点睛】本题考查了折线统计图，选择合适的统计量，求平均数，求方差，掌握以上知识是解题的关键． 题型三 根据方差判断稳定性 1．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：，，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：，，，， ∴其中丁的方差最小， ∴成绩最稳定的是丁， 故选：D． 2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）我校组织学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成功晋级，如果从这四位同学中选出一名晋级（总体水平高且状态稳定），你会推荐（    ） 甲 乙 丙 丁 平均分 93.5 93.5 92.5 92.5 方差 2.1 3.2 3.2 2.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的同学晋级，从而得出答案． 【详解】解：在这四位同学中，甲、乙的平均分一样，大于丙、丁 但甲的方差小，成绩比较稳定， 由此可知，可推荐甲， 故选A． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某舞蹈团有甲、乙两个小组可以表演“天鹅湖”，两组成员身高方差分别为，，则 组的成员身高比较集中． 【答案】乙 【分析】根据方差的意义可作出判断． 此题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，， ∴ ∴乙组的成员身高比较集中． 故答案为：乙． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙、丙三名同学参加跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是 同学．（填“甲”、“乙”或“丙”） 【答案】甲 【分析】本题考查根据方差与稳定性，熟练掌握方差越小越稳定是解题的关键． 根据方差越小，成绩越稳定，由此可解． 【详解】甲、乙、丙、成绩的平均数相同，且， ， ∴成绩最稳定的同学是甲， 故答案为：甲． 5．（23-24八年级下·山东滨州·期末）为提高学生的数学思维能力，某中学开展“迎端午数学知识竞赛”，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，整理5名选手的竞赛成绩（满分为100分）绘制如图所示的统计图和不完整的统计表． 平均数 中位数 众数 八年（1）班 87 ______ 80 八年（2）班 ______ 85 ______    (1)请你把表格补充完整； (2)结合两班竞赛成绩的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的竞赛成绩较好； (3)计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐． 【答案】(1)85分；89分；85分 (2)则八年级（2）班竞赛成绩较好 (3)八（2）班的成绩较为整齐 【分析】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义； （1）根据平均数、中位数和众数的定义进行解答即可得出答案； （2）从平均数、中位数和众数三个方面进行分析，即可得出答案； （3）根据方差的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：八（1）班5名选手的成绩分别是80分，85分，90分，80分，100分，把这些数从小大排列为80，80，85，90，100，则八（1）班成绩的中位数是：85分； 八（2）班成绩的平均数是（分） 85分出现了2次，出现的次数最多，则众数是85分； （2）∵八（1）班的平均成绩是87分，八（2）班的平均成绩是89分，（2）班高于（1）班，两班的中位数都是85分，八（1）班的众数是80分，八（2）班的众数是85分，（2）班高于（1）班，则八年级（2）班竞赛成绩较好； （3）八（1）班的方差是： 八（2）班的方差是： ∵八（1）班的方差大于八（2）班的方差， ∴八（2）班的成绩较为整齐． 题型四 运用方差做决策 1．（2024·四川成都·二模）甲、乙、丙、丁四个旅行团的游客人数都相等，每个团游客的平均年龄都是32岁，年龄的方差分别是，，，，导游小明喜欢带游客间年龄相近的团队，在这四个团中，则他应选（    ） A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 【答案】C 【分析】本题考查的统计相关知识．方差越大则数据的离中程度就越大，方差越小离中程度就越小，数据越稳定，据此直接比较方差的大小即可 【详解】解：方差越大则数据的离中程度就越大，故方差越小离中程度就越小，数据越稳定， ∵， ∴他应选丙团， 故选：C. 2．（23-24八年级下·河南许昌·期末）某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选50棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是（    ） 甲 乙 丙 丁 20 20 19 18 1.7 1.6 1.6 1.7 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】先比较平均数得到甲品种的火龙果树和乙品种的火龙果树产量较好，然后比较方差得到乙品种的火龙果树的状态稳定，从而求解．本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义． 【详解】解：∵ ∴甲品种的火龙果树、乙品种的火龙果树的产量的平均数大， 甲品种的火龙果树和乙品种的火龙果树产量较好， ∵ ∴乙品种的火龙果树产量的方差比丙品种的火龙果树产量的方差小， ∴乙品种的火龙果树的产量比较稳定， 故选：B 3．（23-24八年级下·陕西延安·期末）某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，他们的平均成绩及方差如下表所示： 甲 乙 丙 平均成绩/环 9.8 9.8 9.7 方差 0.05 0.03 0.03 射击队想要选择一名成绩优秀，且稳定性较好的队员，那么被选中的运动员应该是 ． 【答案】乙 【分析】根据甲、乙、丙三人中甲和乙的平均数最大且相等，甲、乙两人中乙的方差最小，说明乙的成绩最稳定即可求解．本题考查方差的意义、平均数的意义，熟练掌握方差越大，表明这组数据偏离平均数越大即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键． 【详解】解：， ∴甲、乙、丙三人中甲和乙的平均数最大且相等， ∵ ∴甲、乙两人中乙的方差最小， 乙的成绩最稳定， 综合平均数和方差两个方面说明乙成绩既高又稳定， 最合适的人选是乙， 故答案为：乙． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）2024年全国两会在北京胜利召开，为了增强学生的爱国主义情怀，学习两会精神，杜甫中学举办了以“学习两会精神，争做时代先锋”为主题的演讲比赛．如图是某班甲乙两名同学在五次选拔比赛中的成绩情况，你认为应选 （填“甲”或“乙”）代表班级去参加演讲比赛． 【答案】乙 【分析】本题考查折线统计图的应用，从平均数、波动程度两个方面进行判断． 【详解】解：由图可知，乙同学5场比赛的平均成绩为（分）， 甲同学5场比赛的平均成绩为（分）， 且由图可知乙同学成绩的波动幅度小于甲同学， 应选乙代表班级去参加演讲比赛． 故答案为：乙． 5．（2024·陕西·模拟预测）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，西瓜种植户小岚经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此小岚收集了家西瓜种植户对这两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息： a．配送速度得分（满分分）： 甲：9，，7，8，8，8，8，9，9， 乙：7，7，8，8，8，9，9，9，， b．服务质量得分（满分10分）统计图：   c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 中位数 甲 7 n 乙 m 7 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)在甲、乙两家快递公司中，若某公司服务质量得分的个数据的波动越小，则认为种植户对该公司的服务质量的评价越一致，据此推断：甲、乙两家公司中，种植户对______的服务质量的评价更一致；（填“甲”或“乙”） (3)根据以上数据，小岚应该选择哪一家快递公司？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】(1)，7； (2)甲； (3)应选择甲公司，从配送速度角度，甲公司的配送速度得分的平均数大于乙公司，所以选择甲公司． 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差， （1）根据所给甲配送速度得分和平均分的计算公式，进行计算即可得；将甲服务质量得分排序，即可得 （2）分别计算出甲、乙公司的方差，进行比较，即可得； （3）从配送速度角度即可得； 掌握平均数，中位数，方差是解题的关键． 【详解】（1）解：乙配送速度得分平均数： ， 甲的服务质量得分： 5，6，6，7，7，7，8，8，8，8 即甲的中位数为7， 故答案为：，7； （2）解：甲公司服务质量得分方差： 乙公司服务质量得分方差： ∵， ∴甲公司的波动小， 即甲、乙两家公司中，种植户对甲的服务质量的评价更一致， 故答案为：甲． （3）应选择甲公司． 解：理由：从配送速度角度，甲公司的配送速度得分的平均数大于乙公司，所以选择甲公司． 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）响应国家体育总局提出的“全民战疫居家健身”，学校组织了趣味横生的线上活动．某校组织置“一分钟跳绳”活动，根据10名学生上报的跳绳成绩，将数据整理制成如下统计表： 一分钟跳绳个数 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（    ） A．平均数是144 B．众数是141 C．中位数是144.5 D．方差是5.4 【答案】B 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的定义分别计算出结果，然后判断即可． 【详解】解：根据题目给出的数据，可得： 平均数为：，故A选项错误； 众数是：141，故B选项正确； 中位数是：，故C选项错误； 方差是：，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的定义和计算，熟悉相关定义是解题的关键． 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（    ） A．为了解我国初中学生的心理健康情况，选择全面调查 B．在一组数据7，6，6，6，5，5，8中，平均数是6 C．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据较稳定 D．一般来讲，鞋店要关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数 【答案】D 【分析】本题考查数据分析有关的知识，关键是审清题意，并熟知调查的方式，平均数、中位数、众数和方差的意义和区别． 【详解】解：A．为了解我国初中学生的心理健康情况，应选择抽样调查，故A选项不符合题意； B．一组数据7，6，6，6，5，5，8中，平均数是，故B选项不符合题意； C．方差越小越稳定，，甲组数据更稳定，故C选项不符合题意； D．一般来讲，鞋店要关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数，故D选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（    ） A．小庆选出四个数字的方差等于 B．小铁选出四个数字的方差等于 C．小娜选出四个数字的平均数等于 D．小萌选出四个数字的极差等于 【答案】A 【分析】本题考查了方差，平均数，极差的定义，掌握相关的知识是解题的关键．根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、假设选出的数据没有，则选出的数据为，，，时，方差最大，此时，方差为；当数据为，，，时，，，故该选项符合题意； B、当该同学选出的四个数字为，，，时，，，故该选项不符合题意； C、当该同学选出的四个数字为，，，时，，故该选项不符合题意； D、当选出的数据为，，，或，，，时，极差也是，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，，则射击成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：， 射击成绩最稳定的是丙， 故选：C． 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）我国每年的农历五月初五是端午节，它与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日，今年端午节前夕，某校举行以“弘扬传统文化  传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛，经过五轮次的角逐，甲、乙两名同学脱颖而出，五轮次得分如下： 同学 第轮 第轮 第轮 第轮 第轮 甲 乙 有下列说法：①从甲、乙得分的平均分看，他们的成绩没有差别；②从甲、乙得分的众数看，乙的成绩比甲好；③从甲、乙得分的中位数看，乙的成绩比甲好；④从甲、乙成绩的稳定性看，甲的成绩比乙好．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查众数、中位数、平均数以及方差，分别求出它们的平均数、众数、中位数和方差即可作出判断．解题的关键是牢记相关的概念及公式． 【详解】解：∵甲组的平均数为：， 乙组的平均数为：， ∴从甲、乙得分的平均分看，他们两人的成绩没有差别，故说法①正确； ∵甲组的众数为，乙组的众数为，， ∴从甲、乙得分的众数看，乙的成绩比甲好，故说法②正确； 将甲的五轮次得分从小到大排列：，，，， 将乙的五轮次得分从小到大排列：，，，， ∴甲组的中位数为，乙组的中位数为， ∴从甲、乙得分的中位数看，乙的成绩比甲好，故说法③正确； ∵，， 又∵， ∴从甲、乙成绩的稳定性看，甲的成绩比乙好，故说法④正确． ∴正确的是①②③④． 故选：D． 6．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）用方差公式计算一组数据的方差：，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查方差，算术平均数，由题意知，这组数据分别为5、7、9、m、n，且平均数为6，再根据算术平均数的定义可得答案． 【详解】解：由题意知，这组数据分别为5、7、9、m、n，且平均数为6， ， ， 故答案为：9． 7．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如果样本方差是：，那么 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了方差，掌握方差的定义以及公式中各个字母所表示的意义是解题的关键． 先根据方差公式中所有字母所代表的意义，其中n是样本容量，x是样本中的平均数进行解答即可． 【详解】解：∵在公式中，样本容量是n，平均数是x， ∴在中，这个样本的平均数为3，样本容量是10． ∴． 故答案为：30． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如表所示： 甲 乙 丙 丁 9.6 9.6 9.4 9.4 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ． 【答案】乙/乙运动员 【分析】本题考查了利用平均数和方差进行决策，熟练掌握平均数和方差的意义是解题关键．先根据成绩的平均数可得应该选择甲运动员或乙运动员，再根据方差的意义即可得出答案． 【详解】解：由成绩的平均数可知，应该选择甲运动员或乙运动员， 因为乙运动员成绩的方差小于甲运动员的， 所以乙运动员的成绩波动小，更稳定， 所以应该选择乙运动员， 故答案为：乙运动员． 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，，则这位同学发挥最稳定的是 ． 【答案】乙 【分析】本题考查的是方差的性质，熟练掌握方差的性质是解题的关键；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．比较甲，乙，丙三人的方差大小，根据方差的性质解答即可． 【详解】解： 这位同学发挥最稳定的是乙 故答案为：乙 10．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了方差的意义，方差是衡量一组数据的波动情况，掌握数据波动程度越大，方差越大成为解题的关键． 根据甲、乙两单位“综合满意度”评分的折线图的波动情况即可判断方差大小． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的数据波动比乙的数据波动大，即． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·河南安阳·期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 乙组 b 7 c 甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10； 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． (1)以上成绩统计分析表中____，____，____； (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是____组的学生； (3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择二个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】(1)6，7，7； (2)甲； (3)选乙组参加决赛，理由见解析． 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据中位数的意义即可解答； （3）根据平均数与方差的意义即可解答． 【详解】（1）解：∵甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． ∴中间两个数的平均数是，则中位数； ∵乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． ， 乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数． （2）解：小明可能是甲组的学生，理由如下： 因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上， （3）解：选乙组参加决赛．理由如下： ， 甲、乙两组学生平均数相同，而， 乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【点睛】本题主要考查了平均数，中位数，众数，方差的意义等知识点．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）甲、乙两名射击运动员在某次训练中5次射击成绩（单位：环）统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 8 7 a 9 8 乙 9 8 9 10 b 若数据a是甲成绩的平均数，数据b是乙成绩的中位数，根据表中数据，解答下列问题． (1)写出a和b的值． (2)根据这两人的成绩，在如图的统计图中画出表示两人成绩的折线． (3)分别计算甲、乙两人射击成绩的方差． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了求平均数，中位数和方差，方差的意义，熟练掌握平均数和方差的公式是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）根据这两人的成绩，在如图的统计图中画出表示两人成绩的折线即可； （3）根据方差公式进行计算即可 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得，； 由图得 根据中位数定义得， （2）解：如图： （3）解：甲射击成绩的平均数为：8 甲的方差为：; 乙的平均数为 乙的方差为： 13．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）某班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同条件下，分别对两名同学进行了8次一分钟跳绳测试，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： (1)表中______；______． (2)求出乙得分的方差． (3)根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 甲 175 a b 93.75 乙 175 175 180 【答案】(1)， (2)乙的方差为 (3)应选甲参赛较好（答案不唯一），理由见解析 【分析】（1）先把甲的成绩按照从小达到排列，再根据中位数与众数的含义求解即可； （2）直接利用方差公式进行计算即可得到答案； （3）可以从平均数，中位数与众数的角度进行分析，从而可得答案． 【详解】（1）解：甲的成绩从小到大排列为：，，，，，，，， 甲的中位数， 出现了次，出现的次数最多， 众数是． （2）解：乙的方差为： （3）应选甲参赛较好答案不唯一， 理由：从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些． ∴应选甲参赛； 【点睛】本题考查的是平均数，中位数，众数，方差的含义与计算，利用平均数，中位数，众数，方差作判断，理解以上统计量的含义是解本题的关键． 14．（2024·浙江·模拟预测）若以50千克为基准，超过基准的千克数记为正数，不足基准的千克数记为负数．称量6筐水果的重量，甲组为实际称量数据，乙组为记录数据，如下表所示（单位：千克）： 组别       序号 1 2 3 4 5 6 甲 48 52 47 49 53 54 乙 2 3 4 (1)将乙组数据画成折线图． (2)①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的关系式． ②甲，乙两组数据的方差分别为，，比较，的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②．理由见解析 【分析】本题考查了折线统计图、平均数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意画出折线统计图即可； （2）①根据题意结合平均数的定义即可得出答案；②根据方差的定义分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：画出折线统计图如图所示： ； （2）解：①由题意得：． ②．理由如下： ， 代入，得到 ， ． 15．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）暑假期间，某地区要举行八年级数学竞赛活动，本次竞赛活动设单项奖和团体奖，单项奖从所有参赛选手中由高分到低分设5名金奖、10名银奖、15名铜奖，团体奖取参赛单位参赛选手的平均分由高分到低分设3名金奖、5名银奖、10名铜奖．为了更好的参与本次竞赛活动，某校决定以班级为单位从八年级甲班和乙班中选取一个班级部分学生代表学校参加此次竞赛活动．为此，经过一段时间的培训，学校分别对两个班级学生进行了考试选拔，分别从两个班级参加本次考试的学生中，由高分到低分选取了相同数量的学生成绩进行分析比较，决定选派一个班级的这部分学生代表学校参加此次竞赛活动．     信息一：甲班本次考试成绩统计图 信息二：乙班本次考试情况统计 平均分 中位数 众数 最高分 87 89.5 94 98 信息三： 2.65 61.9 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次测试一个班级抽取了 名学生的成绩进行统计，甲班选取学生成绩的中位数是   ，补全条形统计图； (2)本次统计中甲班学生本次测试的平均成绩为多少分？ (3)通过本次测试成绩，该校选派哪个班级的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动？说明选派的理由． 【答案】(1)10，88分，补全条形统计图见解答； (2)88.5分 (3)见解析 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、众数和方差，解答本题的关键是明确统计图的特点、方差和中位数的含义，利用数形结合的思想解答． （1）根据扇形统计图和条形统计图，可知90分以下（不含90分）的人数及百分比，进而可得一个班级抽取人数，进而可得甲班90分的人数，即可补全统计图，根据中位数定义即可求得，甲班选取学生成绩的中位数； （2）根据平均数的定义即可求解； （3）根据平均数，中位数，方差等进行判断即可． 【详解】（1）本次测试一个班级抽取人数为：人， 则甲班90分的人数为人， 补全条形统计图如下： 甲班选取学生成绩中，第5，6名同学的成绩均为88分，则中位数为分， 故答案为：10，88分； （2）甲班学生本次测试的平均成绩为分， 答：本次统计中甲班学生本次测试的平均成绩为88.5分； （3）选派甲班，因为甲班平均分高，方差小成绩均衡，可以争取团体奖； 选派乙班，因为乙班中位数大，有高分学生，可以争取单项奖（答案不唯一）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$