精品解析：江苏省扬州市邗江区邗江区实验学校蒋王分校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期七年级期末数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1．答卷前，考生务必把姓名、学校、准考证号在答题纸上填涂清楚． 2．选择题答案用2B铅笔填涂．非选择题用0.5mm黑水笔在每题对应答题框内作答，超出答题框作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算a2+3a2的结果是（　　） A. 3a2 B. 4a2 C. 3a4 D. 4a4 【答案】B 【解析】 【详解】a2+3a2=4a2．故选B． 2. 如图，中，，则三角形的外角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和直接解决即可． 【详解】解：中，， ， 故选：B． 3. 已知，用含x的代数式表示y可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程．解题关键是熟练运用等式的性质把方程变形． 根据等式的性质，移项即可． 【详解】解：， 移项得，． 故选：C． 4. 下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题的举反例，了解举反例的含义是关键．说明一个命题错误只要举反例即可，即满足命题的条件但不满足命题的结论的例子便是举反例，由此即可作出判断． 【详解】解：选项A满足命题的条件，满足命题的结论，不是反例，不符合； 选项B、C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合； 选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例； 故选：D． 5. 用简便方法计算，将99×101变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式即可求解． 【详解】99×101=（100-1）（100+1）= 故选C． 【点睛】此题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的应用． 6. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出的面积和的面积，即可求解． 详解】解：， ， ． 故选：B． 7. 如图，边长为a、b的长方形，它的周长为12，面积为7，则的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运用的运用，先根据长方形的周长和面积求出，然后利用多项式乘以多项式法则计算，最后把整体代入计算即可． 【详解】解∶∵边长为a，b的长方形，它的周长为12，面积为7， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A． 8. 为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（ ） 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．先根据甲乙的总得分与判断的对错数相等推断出第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，进而根据丙的判断可得这6道题目的正确答案是：，进而得出丁的分数． 【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”， 所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确， 所以这6道题目的正确答案是：， 所以丁做对了3道，得了3分， 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算： _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 11. 已知方程组的解为，请写出一个满足该条件的二元一次方程组__； 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解的定义．要理解方程组的解的定义，围绕不同的算式即可列不同的方程组．所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．根据方程组解得定义，写成两个二元一次方程即可． 【详解】解：由于满足， 所以是方程组的解， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，把一个正方形剪去四个角后变成一个正八边形，则这个正八边形的内角和是______． 【答案】##1080度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角与外角，根据题意，先利用多边形外角和得到正八边形每一个外角，进而求出每一个内角度数即可得到正八边形内角和，熟记正多边形外角是是解决问题的关键． 【详解】解：根据正多边形外角和为，则正八边形的每一个外角是， 正八边形的每一个内角是， 正八边形有八个内角， 这个正八边形的内角和是， 故答案为：． 13. 的三边长为a、b、c，若，c是偶数，则该三角形的周长等于__； 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，同时能够结合c是偶数这一条件，得到第三边的值是解题的关键．根据三边关系求出第三边进而解决问题． 【详解】解：的三边长为a、b、c，， ， 是偶数， ， 则该三角形的周长等于， 故答案为：10． 14. 某关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示该不等式组的解集为__； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．由图形信息可得：符合条件的数在的右边，且能等于，在1的左边，不等于1，从而可得答案． 【详解】解：关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集为； 故答案为：． 15. 命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是__； 【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角是等角 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题的定义，正确理解原命题与逆命题的关系是关键．题设是：两个角是等角，结论是：它们的余角相等．把题设与结论互换即可得到逆命题． 【详解】解：命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等． 故答案是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等． 16. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，则的度数为__°； 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 17. 在中，的平分线与的平分线相交于点P．的外角平分线与的外角平分线相交于点Q，当，则__°； 【答案】115 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，根据角平分线定义得，则，再根据三角形外角性质得，则，由此得，则，然后根据的平分线与的平分线相交于点．得，据此可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 由三角形外角性质得：， ， ， ， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， ， 故答案为：115． 18. 关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为__． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程含字母参数问题的解决能力，关键是能准确根据题意运用以上知识进行求解． 先通过解一元一次不等式组确定的取值范围，再通过解一元一次方程确定的具体值，再代入计算． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集是． ∵该不等式组至少有4个整数解， ， 解得：； 解方程得，， 当时，为整数，结合， 解得：， ∴所有满足条件的整数的值为． ∴所有满足条件的整数的值之和为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方，零指数幂和负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）由乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）先计算单项式乘单项式，幂的乘方，再合并即可； 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ． 20. 因式分解： （1） ； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法分解因式，提公因式法和公式法分解因式，找到公因式是解题的关键． （1）提公因式即可分解因式； （2）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 21. 解方程组或不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用加减消元法进行计算，即可解答； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定不等式组的解集． 小问1详解】 解： 得： 解得： 把代入①得： 解得： 原方程的解是： 【小问2详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为：． 22. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，现将平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点． （1）请画出平移后的； （2）连接线段，则这两条线段之间的关系是 ； （3）利用网格点和直尺，在的边上确定点P，使．（保留作图痕迹，将作图所用格点加重加黑） 【答案】（1）见解析 （2）且 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了利用平移变换作图，平移的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点B、C平移后的对应点E、F的位置，然后与点D顺次连接即可； （2）根据平移的性质，对应点的连线平行且相等； （3）根据网格结构和三角形的高线与中线的定义作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：根据平移的性质可得且； 【小问3详解】 解：如图所示，点P为所求． 23. 完成下面推理过程，填写下列空格． 已知：如图，，，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（ ）， ∴ （两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 根据平行线的判定及性质即可求证结论． 【详解】证明：∵(已知)， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴(同位角相等，两直线平行)， ∴(两直线平行，同位角相等)， 又∵(已知)， ∴(等量代换) ∴(内错角相等，两直线平行)， ∴(两直线平行，同位角相等)， 故答案为：同位角相等，两直线平行；3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 24. 为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） （2）若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】（1）， ； （2）216． 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ； 【小问2详解】 解：当，时， ； 25. “故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州．”在2024年扬州“烟花三月”国际经贸旅游节来临之际，东关街某商店老板计划购进A、B两款茉莉花造型陶瓷手链进行销售．已知A、B两款手链的进价和售价如表所示． A款手链 B款手链 进价（元/个） 18 15 售价（元/个） 25 20 （1）若该商店老板购进A、B两款手链共50个，花费855元，求购进A、B两款手链各多少个；（请用二元一次方程组解决问题） （2）若该商店老板购进A、B两款手链共40个，卖完全部手链后要保证利润不低于268元，求至少购进A款手链多少个． 【答案】（1）A款手链购进35个，B款手链购进15个； （2）A款手链至少购进34个． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设A款手链购进x个，B款手链购进y个，根据“购进A、B两款手链共50个，花费855元”，列出方程组，即可求解； （2）设A款手链购进m个，根据“购进A、B两款手链共40个，卖完全部手链后要保证利润不低于268元”，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设A款手链购进x个，B款手链购进y个，则： 解得： 答：A款手链购进35个，B款手链购进15个． 【小问2详解】 解：设A款手链购进m个，则： 解得： 答：A款手链至少购进34个． 26. 阅读感悟：代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． （1）解决“已知实数x、y满足，证明：”这一问题可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为（）▪（ ），且， 所以 0， 0 ，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且x，y均为正， 所以 ， （不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以（不等式的传递性） 所以． （2）请你尝试证明：若，则． 【答案】（1）；，，，； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． 【小问1详解】 请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为=（）▪（），且， 所以， ，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且x，y均为正， 所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）所以（不等式的传递性） 所以． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∴ ． 27. 定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1） ； （2） ；若是完全平方式，则 ； （3）若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）11 （2）； （3）①2；② 【解析】 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 若是完全平方式，则； 【小问3详解】 解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 28. 在七年级的平行线性质与判定的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，．请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 初步感知： 问题1：将上述三角板的直角顶点重合在一起，如图2所示，当时，则 ； 问题2：如图3，当平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 深度探究： 问题3：将上述三角板按图4所示的方式摆放，点A、B在直线GH上，点D、F在直线上，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，且，是否存在t的值，使边与另一块三角板的一条直角边平行，若存在请求出t的值；若不存在请说明理由． 问题4：将上述三角板按图5所示的方式摆放，点C与点D重合，保持三角板不动，将三角板绕点C旋转，使点F在直线上方，当两块三角板的两条边互相平行时，若的度数最大值为m，最小值为n，则　 【答案】问题1：，问题2：，理由见解析，问题3：t的值为10或40或55，问题4： 【解析】 【分析】问题1：根据平行线的性质得到，由等角（或同角）的余角相等，得到，即可得到答案； 问题2：同理问题1得到，由平分，推出，从而得到，再根据，即可推出； 问题3：分两种情况进行讨论：当时，延长交于点P，当时，延长交于点T，当时，延长交于点Q，过点F作，进而根据平行线的判定和性质进行求解即可； 问题4：分，五种情况，画图出图，再求解． 【详解】问题1：，， ， ； 问题2：，理由如下， 同理问题1得， 平分，， ， ， ， ； 问题3：解：如图，①当时，延长交于点P，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵旋转速度为每秒的速， ∴秒转过角度为， ∴， 解得； ②当时，如图，延长交于点T， ∵旋转速度为每秒的速， ∴秒转过的角度为， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵，，． ∴， ∴，即， ∴； 当时，延长交于点Q，过点F作，过点D作，交于点P， ， ∵旋转速度为每秒的速， ∴秒转过的角度为， ， 综上所述：所有满足条件的t的值为10或40或55； 问题4：如图，时， ∴， ∴， ∴； 如图，时， ∴； 如图，时， ∴， ∴； 如图，时， ∴， ∴； 如图，时，延长交于G，过点F作于点H， ∵， ∴ ， ， ， ∵， ∴ ∴； 综上，的度数最大值，最小值为， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，动角问题，几何中角度的计算，余角补角的计算，三角板的特征，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期七年级期末数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1．答卷前，考生务必把姓名、学校、准考证号在答题纸上填涂清楚． 2．选择题答案用2B铅笔填涂．非选择题用0.5mm黑水笔在每题对应答题框内作答，超出答题框作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算a2+3a2的结果是（　　） A. 3a2 B. 4a2 C. 3a4 D. 4a4 2. 如图，中，，则三角形的外角等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知，用含x的代数式表示y可得（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 5. 用简便方法计算，将99×101变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（ ） A B. C. D. 无法比较 7. 如图，边长为a、b的长方形，它的周长为12，面积为7，则的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 20 8. 为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（ ） 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9 计算： _____． 10. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 11. 已知方程组的解为，请写出一个满足该条件的二元一次方程组__； 12. 如图，把一个正方形剪去四个角后变成一个正八边形，则这个正八边形的内角和是______． 13. 的三边长为a、b、c，若，c是偶数，则该三角形的周长等于__； 14. 某关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示该不等式组的解集为__； 15. 命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是__； 16. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，则的度数为__°； 17. 在中，的平分线与的平分线相交于点P．的外角平分线与的外角平分线相交于点Q，当，则__°； 18. 关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为__． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 计算： （1）； （2）． 20. 因式分解： （1） ； （2）． 21 解方程组或不等式组： （1）； （2）． 22. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，现将平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点． （1）请画出平移后的； （2）连接线段，则这两条线段之间的关系是 ； （3）利用网格点和直尺，在的边上确定点P，使．（保留作图痕迹，将作图所用格点加重加黑） 23. 完成下面推理过程，填写下列空格． 已知：如图，，，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（ ）， ∴ （两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴（ ）． 24. 为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） （2）若，，求出此时种植区的总面积． 25. “故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州．”在2024年扬州“烟花三月”国际经贸旅游节来临之际，东关街某商店老板计划购进A、B两款茉莉花造型陶瓷手链进行销售．已知A、B两款手链的进价和售价如表所示． A款手链 B款手链 进价（元/个） 18 15 售价（元/个） 25 20 （1）若该商店老板购进A、B两款手链共50个，花费855元，求购进A、B两款手链各多少个；（请用二元一次方程组解决问题） （2）若该商店老板购进A、B两款手链共40个，卖完全部手链后要保证利润不低于268元，求至少购进A款手链多少个． 26. 阅读感悟：代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． （1）解决“已知实数x、y满足，证明：”这一问题可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为（）▪（ ），且， 所以 0， 0 ，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且x，y均为正， 所以 ， （不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以（不等式的传递性） 所以． （2）请你尝试证明：若，则． 27. 定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1） ； （2） ；若是完全平方式，则 ； （3）若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 28. 在七年级的平行线性质与判定的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，．请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 初步感知： 问题1：将上述三角板直角顶点重合在一起，如图2所示，当时，则 ； 问题2：如图3，当平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 深度探究： 问题3：将上述三角板按图4所示的方式摆放，点A、B在直线GH上，点D、F在直线上，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，且，是否存在t的值，使边与另一块三角板的一条直角边平行，若存在请求出t的值；若不存在请说明理由． 问题4：将上述三角板按图5所示的方式摆放，点C与点D重合，保持三角板不动，将三角板绕点C旋转，使点F在直线上方，当两块三角板的两条边互相平行时，若的度数最大值为m，最小值为n，则　 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$