专项训练：集合与常用逻辑用语综合大题分类精练30题（6大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

集合与常用逻辑用语综合大题分类精练 题型一 元素与集合关系综合 1．（23-24高一上·新疆·月考）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且；(2)或或. 【解析】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 2．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）因为是空集，所以，即解得， 所以的取值范围为. （2）当时，集合，符合题意； 当时，即，解得，此时集合， 综上所述，的值为或， 当时，集合，当时，集合. 3．（23-24高一上·北京顺义·月考）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由见解析；(2)在集合B中，理由见解析 (3)属于集合，理由见解析 【解析】（1）∵，∴3在集合A中， 令，则，故5不在集合A中. （2），且，故在集合B中. （3）设，， 则， 所以属于集合. 4．（22-23高一上·重庆万州·月考）设是实数集，满足若，则，，且. (1)若，则集合中至少还有几个元素?求出这几个元素. (2)集合中能否只含有一个元素?请说明理由. 【答案】(1)至少还有两个元素-1和；(2)不能，理由见解析 【解析】（1），，，， 因此A中至少还有两个元素：和； （2）不能.用反证法证明： 如果集合中只含有一个元素，则，整理得， 该方程无实数解，故在实数范围内，集合中不可能只含有一个元素 5．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或；(2)；(3) 【解析】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式， 四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于， 此时T包含20个元素，中包含， 若， 此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 题型二 集合间的关系综合 6．（23-24高一上·山东济宁·月考）已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）因为， 若是的子集，则， 所以，解得. （2）若是的子集，则. ①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得. 将代入方程，得，解得，所以，符合要求； ③若为双元素集合，，则. 综上所述，或. 7．（23-24高一上·广东广州·月考）集合． (1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M； (2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析；(2)P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为 【解析】（1）若，， 因为， 所以； （2）方程的判别式为， 当时，即时，，此时显然P是Q的一个子集， 当时，即时，，此时显然P不是Q的一个子集， 当时，即时，要想P是Q的一个子集，中必有二个元素是集合P中元素， 根据一元二次方程根与系数关系，这两个根之和为， 显然中没有两个数的和为，所以此时P不可能是Q的一个子集， 综上所述：P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为. 8．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)不存在 【解析】（1）①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 9．（23-24高一上·安徽安庆·月考）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 10．（23-24高一上·河南·月考）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）因为，所以关于的方程有两个相等的实数根， 则，解得，故实数的取值范围为. （2）， 因为，所以，则， 所以可能为. ①若，则，解得或； ②若，则，所以，解得； ③若，则，无解，即； ④若，则，无解，即. 综上，或. 题型三 集合的交并补运算综合 11．（23-24高一上·新疆喀什·期末）设全集为，，. (1)求； (2)若,,求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）全集为R， ， ， 所以 . （2）， 因为，所以， 由题意知   ，解得， 所以实数的取值范围是. 12．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）设全集为，集合． (1)求及； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)或，；(2) 【解析】（1）， 或，， 故或， （2），， 当集合时，，解得：； 当集合时，，解得：． 综上，实数的取值范围为． 13．（23-24高一上·安徽·月考）已知集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）当时，， 所以，或， 所以. （2）当时，即，即，满足； 当时，即， 由得或，解得或； 综上，. 14．（23-24高一上·四川·月考）设全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，，所以， 所以. （2）因为，所以. 当时，，此时成立； 当时，由得：，所以. 综上，的取值范围是. 15．（23-24高一上·辽宁·月考）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【答案】(1)，；(2)，. 【解析】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，， 由，得， 由（1）知， 因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 题型四 充分必要条件综合 16．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）已知全集，集合，非空集合， 因为是的充分条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是； （2）因为是的必要条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）设集合，集合． (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）因为，所以， 所以，. （2）因为是成立的充分条件，所以，显然， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 18．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，或 (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）若，则集合， 又或，所以或. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则， ①当时，，解得，满足题意； ②当时，由，则或， 解得或， 所以实数a的取值范围为. 19．（23-24高一下·浙江杭州·月考）已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵，又， ∴． （2）∵是的必要不充分条件， ∴， ∴（等号不同时成立），解得， ∴a的取值范围为． 20．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析；(2)①；② 【解析】（1）若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意，故，解得，故，又，故m的取值范围为. 题型五 全称量词与存在量词问题综合 21．（23-24高一上·广东梅州·期中） 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为命题: 所以：. （2）命题为假命题， ：为真命题， 即有实数根， ， 又命题q为真命题， 有实数根， ， m的取值范围是. 22．（23-24高一上·附件武夷山·月考）已知命题p：不等式，在时恒成立，命题q：，使得 (1)写出命题q的否定. (2)若命题p和命题q均为真命题，求a的范围. 【答案】(1)，使 ；(2). 【解析】（1）特称命题的否定是全称命题， 命题q：“，使”的否定是：，使 ， 故答案为：，使 . （2）命题p：“不等式，在时恒成立”， 即对恒成立，； 命题q：，使得， ，解得或， 若命题p和命题q均为真命题，则或， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 23．（23-24高一上·辽宁朝阳·月考）已知命题，使，命题． (1)写出； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2)或 【解析】（1），． （2）若是真命题，得，所以． 若为真命题，为假命题，则，解得； 若为假命题，为真命题，则，解得． 所以，的取值范围为或． 24．（23-24高一上·吉林四平·期中）已知集合，命题p：，． (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p为真命题时，a的取值构成集合B，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）对于命题p，因为命题p为真命题，所以， 故a的取值范围为 （2）由（1）可得，又. 由， 当时，，满足题意； 当时，则，即． 综上所述，m的取值范围为． 25．（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知命题，命题q：. (1)写出命题的否定；若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在；请说明理由. 【答案】(1)；；(2)存在，. 【解析】（1）由题设，则， 若命题为假命题，则为真命题，故. （2）若为真，则，可得， 由（1）知：若命题为真，则， 所以，存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题，. 题型六 集合创新型问题综合 26．（23-24高一上·江苏淮安·期中）对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由，可知：，， （2）由可得：， 由题意可知， 由可知； 所以，解得，所以 27．（23-24高一上·内蒙古赤峰·月考）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【答案】(1)12；(2)672. 【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为； （2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集， 故数字1在集合所有非空子集中共出现次， 同理2，3，4，5，6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 28．（23-24高一上·重庆·月考）有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质. (1)，，判断集合，是否具有性质，并说明理由； (2)设集合，且（），若集合具有性质，求的最大值. 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析；(2)最大值为6056 【解析】（1）集合不具有性质，集合具有性质. 因为，， 所以，，则集合不具有性质， 所以，，则集合具有性质. （2），且，， 要使取最大，则，， 当时，，则不具有性质， 要使取最大，则，， 当时，，则不具有性质， 当时，，则不具有性质， 当时，则具有性质， 则使得取最大，可得， 若集合具有性质，则的最大值为6056. 29．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集；(2)，或，；(3)10 【解析】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足， 由，则有且；由，则有或， 时，设， 经检验没有这样的满足； 当时，设， 经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 30．（23-24高一上·河南洛阳·期中）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”． (1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由． (2)设集合A是“好集”，求证：若，则． (3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由． 【答案】(1)有理数集Q是“好集”，集合B不是“好集”，理由见解析；(2)证明见解析 (3)命题“若，则”为真命题，理由见解析 【解析】（1）集合B不是“好集”，理由如下： 因为，，，所以集合B不是“好集”． 有理数集Q是“好集”，理由如下： 因为，，对任意，，都有，且时，， 所以有理数集Q是“好集”． （2）因为集合A是“好集”，所以． 若，则，即， 所以，即，命题得证． （3）命题“若，则”为真命题，理由如下： 当x，y中有0或1时，显然有． 当x，y中不存在0，1时，由“好集”的定义得，，， 所以，所以． 所以由（2）可得，同理得， 当或时，显然有． 当或时，显然有， 所以，所以， 由（2）得，所以． 综上得时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集合与常用逻辑用语综合大题分类精练 题型一 元素与集合关系综合 1．（23-24高一上·新疆·月考）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 2．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 3．（23-24高一上·北京顺义·月考）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 4．（22-23高一上·重庆万州·月考）设是实数集，满足若，则，，且. (1)若，则集合中至少还有几个元素?求出这几个元素. (2)集合中能否只含有一个元素?请说明理由. 5．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 题型二 集合间的关系综合 6．（23-24高一上·山东济宁·月考）已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·广东广州·月考）集合． (1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M； (2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由． 8．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 9．（23-24高一上·安徽安庆·月考）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 10．（23-24高一上·河南·月考）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型三 集合的交并补运算综合 11．（23-24高一上·新疆喀什·期末）设全集为，，. (1)求； (2)若,,求实数的取值范围． 12．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）设全集为，集合． (1)求及； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 13．（23-24高一上·安徽·月考）已知集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·四川·月考）设全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 15．（23-24高一上·辽宁·月考）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 题型四 充分必要条件综合 16．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 17．（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）设集合，集合． (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的充分条件，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，或 (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 19．（23-24高一下·浙江杭州·月考）已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 20．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 题型五 全称量词与存在量词问题综合 21．（23-24高一上·广东梅州·期中） 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围. 22．（23-24高一上·附件武夷山·月考）已知命题p：不等式，在时恒成立，命题q：，使得 (1)写出命题q的否定. (2)若命题p和命题q均为真命题，求a的范围. 23．（23-24高一上·辽宁朝阳·月考）已知命题，使，命题． (1)写出； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 24．（23-24高一上·吉林四平·期中）已知集合，命题p：，． (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p为真命题时，a的取值构成集合B，且，求实数m的取值范围． 25．（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知命题，命题q：. (1)写出命题的否定；若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在；请说明理由. 题型六 集合创新型问题综合 26．（23-24高一上·江苏淮安·期中）对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 27．（23-24高一上·内蒙古赤峰·月考）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 28．（23-24高一上·重庆·月考）有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质. (1)，，判断集合，是否具有性质，并说明理由； (2)设集合，且（），若集合具有性质，求的最大值. 29．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 30．（23-24高一上·河南洛阳·期中）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”． (1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由． (2)设集合A是“好集”，求证：若，则． (3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$