专题05 分式与分式方程-【好题汇编】2024年中考数学真题分类汇编（四川专用）

专题05 分式与分式方程 考点1 分式 1．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2024·四川南充·中考真题）计算的结果为 ． 3．（2024·四川自贡·中考真题）计算： ． 4．（2024·四川内江·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ； 5．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，那么的值为 ． 6．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ． 7．（2024·四川广安·中考真题）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 8．（2024·四川泸州·中考真题）化简：． 9．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 10．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 11．（2024·四川甘孜·中考真题）化简：． 12．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． (1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 13．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：，其中a，b满足． 14．（2024·四川巴中·中考真题）先化简，再求值：，其中 15．（2024·四川雅安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 16．（2024·四川达州·中考真题）先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 17．（2024·四川宜宾·中考真题）计算：． 考点2 分式方程 18．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程的解是（     ） A．3 B．2 C． D． 19．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 20．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（     ） A． B． C． D． 22．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 23．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（     ） A． B．且 C． D．且 24．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程的解为 ． 25．（2010·浙江金华·中考真题）分式方程的解为 ． 26．（2024·四川泸州·中考真题）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ． 27．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ． 28．（2024·四川广元·中考真题）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ． 29．（2011·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解是 30．（2015·广东佛山·中考真题）分式方程的解是 ． 30．（2024·四川自贡·中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子． 31．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 32．（2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知，文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 33．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式与分式方程 考点1 分式 1．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 2．（2024·四川南充·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同分母分式减法运算，按照同分母减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 3．（2024·四川自贡·中考真题）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式同分母的减法运算，分母不变，分子直接相减，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：1． 4．（2024·四川内江·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题考查函数的概念，根据分式成立的条件求解即可．熟练掌握分式的分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 5．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把ab=1代入进行计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值． 6．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为，，，进一步即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ……， 由上可得，每三个为一个循环， ， ． 故答案为：． 7．（2024·四川广安·中考真题）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，时，原式，时，原式. 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 【详解】解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式. 8．（2024·四川泸州·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，然后根据完全平方公式和平方差公式整理，最后约分即可得出答案． 【详解】解： 9．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 10．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解． 【详解】解： ∵ ∴当时，原式 11．（2024·四川甘孜·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟记运算法则和运算顺序是解决此题的关键．先将括号内的分式通分计算，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解． 【详解】解： ． 12．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． (1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；(2)见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底； （2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底， 应为：； （2）解： 当时，原式 13．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减得到，最后将化为，代入即得答案． 【详解】原式 ， ， 原式． 14．（2024·四川巴中·中考真题）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再代入计算即可． 【详解】解： ；   当时，原式． 15．（2024·四川雅安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算分式的减法，再计算分式的除法进行化简，最后代入求出答案即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 16．（2024·四川达州·中考真题）先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式． 17．（2024·四川宜宾·中考真题）计算：． 【答案】1． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果． 【详解】解： ． 考点2 分式方程 18．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程的解是（     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． 故选D 19．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验是该方程的解， 故选：D． 20．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可． 【详解】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件， 由题意得， 故选：D． 21．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可． 【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 22．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得： ． 故选：A． 23．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 24．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴方程的根为， 故答案为：． 25．（2010·浙江金华·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】首先去掉分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】解： ， 去分母得： 移项合并同类项得： 经检验，是原方程的解 故答案为 26．（2024·四川泸州·中考真题）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案． 【详解】解：设黄球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴黄球的个数为3个． 故答案为：3． 27．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵关于的方程无解， ∴当或时，分式方程无解， 解得：或（经检验是原方程的解）， 即或，无解． 故答案为：或2． 28．（2024·四川广元·中考真题）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以后去分母，令x代入一个数值，得到y的值，以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键 【详解】解：等式两边都乘以，得， 令，则， ∴“美好点”的坐标为， 故答案为（答案不唯一） 29．（2011·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解是 【答案】x=9 【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得 3x-9=2x， 解得x=9． 检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0． ∴原方程的解为：x=9． 故答案为：x=9． 30．（2015·广东佛山·中考真题）分式方程的解是 ． 【答案】x=3 【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解． 考点：解分式方程 30．（2024·四川自贡·中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子． 【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果． 【详解】解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子， 由题意得： ，解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ∴分式方程的解为：， ∴ 答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子． 31．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元；(2)或，当时，取得最大值为1000元 【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题． （1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可； （2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元 由题意得： 解得： 经检验：是原方程的解且符合题意 ∴ 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元． （2）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则 ∵，， ∴当时，取得最大值为1000元． 32．（2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知，文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款文创产品每件的进价元，文创产品每件的进价是元；(2)购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】（）设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意，列出分式方程即可求解； （）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，利用一次一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴ 答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元； （2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为， 根据题意得，， 解得， 又由题意得，， ，随的增大而增大， 当时，利润最大， ∴购进款文创产品件，购进款文创产品件，获得的利润最大，， 答：购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 33．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$