专题09 数字材料题-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（重庆专用）

专题09 数字材料题（原卷版） 1．（2024•重庆A卷）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十 位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例 如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”， 602分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 　 　．把 一个“方减数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以 19余数为1，且（k为整数），则满足条件的正整数A为 　 　． 2．（2024•重庆B卷）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个 四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友 谊数”，且，则这个数为 　 　；若是一个“友谊数”，设， 且是整数，则满足条件的M的最大值是 　 　． 3．（2023•重庆A卷）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足， 那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位 数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 　 　； 若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满 足条件的数的最大值是 　 　． 4．（2023•重庆B卷）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2， 则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵ ，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 　 　；一个“天真数”M的千位数字为a， 百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能 被10整除，则满足条件的M的最大值为 　 　． 5．（2022•重庆A卷）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得 到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．例如：，∵，∴2543是“勾股和数”； 又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”． （1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由； （2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的M． 6．（2022•重庆B卷）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之 和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵，∴247是13的“和倍 数”．又如：∵，∴214不是“和倍数”． （1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； （2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A． 7．（2021•重庆A卷）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成，其中A与B都是两位数， A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成的过程， 称为“合分解”．例如∵，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609是“合和数”． 又如∵，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234不是“合和数”． （1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被4整除时，求出所有满足条件的M． 8．（2021•重庆B卷）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位 上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：，因为，所以 3507是“共生数”；，因为，所以4135不是“共生数”． （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n． 9．（2020•重庆A卷）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余 数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数﹣﹣“差一数”． 定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”． 例如：，，所以14是“差一数”；，但，所以19不是“差一数”． （1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由； （2）求大于300且小于400的所有“差一数”． 10．（2020•重庆B卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然 数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”． 定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”． 例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且，6能被6整除； 643不是“好数”，因为，10不能被3整除． （1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由； （2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由． 11．（2024•渝中区校级一模）一个四位自然数M的各个数位上的数字互不相等且都不等于0，如果前两位 数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于100，那么就称这个数为“奋进数”．把“奋进 数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如： 一个四位数3268，因为，所以3268是“奋进数”，且．如果 四位自然数（1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d为整数）是一个“奋进数”，则　 　 （用含a，b的代数式表示），另外规定等于M的前两位数字之和．如果S是一个“奋进数”， 为偶数，且（k为整数），则满足条件的S的最小值是 　 　． 12．（2024•沙坪坝区校级三模）对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数 字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小k（k为正整数），则称该数为“k元数”．对“k元数”M， 将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定： ．若四位数是一个“8元数”，则的值为 　 　.若P是一个“3 元数”，且能被P的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的P的最大值为 　 　 13．（2024•重庆二模）对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的 平方等于百位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k阶比例中项数”．此时，记去掉其个位 数字后剩余的两位数为，去掉百位数字后剩余的两位数为，规定，则最大的“4 阶比例中项数”是 　 　；若（其中1≤m≤4，2≤n≤8，m，n均为正整数）是 一个“k阶比例中项数”，且能被8除余3，则满足条件的N之和是 　 　． 14．（2024•九龙坡区模拟）任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组 成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记，例如： ，则，，则　 　；若四位数 ，满足，，则x＝　 　． 15．（2024•两江新区模拟）一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字 与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“友好数”．最小的“友好数” 为 　 　；将友好数m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到，令 ．将友好数m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到， ，若被5除余1，则满足条件的m的最大值为 　 　． 16．（2024•渝中区校级二模）对于任意四位自然数P，记为各个数位上的数字之和，若四位数满足 千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“大2数”；若四位数满足千位数 字比百位数字大3，十位数字比个位数字大6，则称这个四位数是“大3数”；若为“大2数”， 为“大3数”，则值是 　 　；若M，N分别是个位数字都是3的“大2数”和“大3 数”，且能被10整数，则的最大值是 　 　． 17．（2024•北碚区校级三模）对于一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字的差的两 倍等于百位上的数字与个位上的数字的和，则称这个四位数为“双差喜数”．将“双差喜数”M的前两位数 组成的数记为s，后两位数组成的数记为t，并规定（d表示个位上的数字）， 　 　；若一个四位数（0≤m≤7，0≤n≤8，0≤x ≤4，0≤y≤8，m，n，x，y均为整数）是“双差喜数”，且被7除余4，则满足条件的M的最大值 为 　 　． 18．（2024•重庆模拟）如果一个四位数N，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为 0，则称N为“同城数”．把四位数N的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数，规定 ．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则 ，若“同城数”，则　 　； 已知是“同城数”（a，b，c，d均为正整数），若是整数，则满足条件的所有T之和是 　 　． 19．（2024•九龙坡区二模）一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11 数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能 被5整除，则这个数是 　 　；若M是一个“双11数”，设，且是整数， 则满足条件的M的最小值是 　 　． 20．（2024•九龙坡区校级三模）对于一个四位正整数（1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d为整 数），若满足，那么就称这个数为“完美数”，且，， 当，时，　 　；若一个“完美数”A的千位与百位数字分别为m，n， 且和均为整数，则满足条件的A的最大值与最小值的和为 　 　． ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 数字材料题（解析版） 1．（2024•重庆A卷）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十 位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例 如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”， 602分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 　 　．把 一个“方减数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以 19余数为1，且（k为整数），则满足条件的正整数A为 　 　． 【答案】82，4564． 【详解】解：①设，则（，）， 由题意得：， ∵， ∴要使“方减数”最小，需， ∴，， ∴， 当时，最小为82； ②设，则（，）， ∴， ∵B除以19余数为1， ∴能被19整除， ∴为整数， 又 （k为整数）， ∴是完全平方数， ∵，， ∴最小为49，最大为256，即， 设，t为正整数，则， （Ⅰ）当时，，则，是完全平方数， 又，，此时无整数解， （Ⅱ）当时，，则，是完全平方数， 又，，此时无整数解， （Ⅲ）当时，，则， 是完全平方数， 若，，则，， ∴，， 此时，， ∴， 故答案为：82，4564． 2．（2024•重庆B卷）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个 四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友 谊数”，且，则这个数为 　 　；若是一个“友谊数”，设， 且是整数，则满足条件的M的最大值是 　 　． 【答案】3456；6273． 【详解】解：∵是一个“友谊数”， ∴， 又∵， ∴，，∴，， ∴这个数为3456； ∵是一个“友谊数”， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是整数，即是整数， ∴是13的倍数， ∵a、b、c、d都是不为0的正整数，且， ∴， ∴当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时， ∵要使M最大，则一定要满足a最大， ∴满足题意的M的最大值即为6273； 故答案为：3456；6273． 3．（2023•重庆A卷）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足， 那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位 数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 　 　； 若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满 足条件的数的最大值是 　 　． 【答案】4312；8165． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴这个数为4312， 由题意可得，， 整理，可得， 一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为： ， 又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴是整数，且，，，，， 时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符合题意，舍去， 当时，，此时， c取9或8或7时，均不符合题意， 当c取6时，， ∴满足条件的数的最大值是8165， 故答案为：4312；8165． 4．（2023•重庆B卷）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2， 则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵ ，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 　 　；一个“天真数”M的千位数字为a， 百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能 被10整除，则满足条件的M的最大值为 　 　． 【答案】6200，9313． 【详解】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数是0． 先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，十位数为最小的自然数0时．百位数是2；则最小的“天真数”为6200． 故答案为：6200． 一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d． 由“天真数”的定义得，所以，，所以， 又；. 若能被10整除当a取最大值9时， 即当时，满足能被10整除，则，“天真数”M为9313． 故答案为：9313． 5．（2022•重庆A卷）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得 到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．例如：，∵，∴2543是“勾股和数”； 又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”． （1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由； （2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的M． 【答案】（1）2022 不是“勾股和数”，5055 是“勾股和数”，理由见解析；（2）或8190或4536或4563． 【详解】解：（1）∵，， ∴2022 不是“勾股和数”， ∵， ∴5055 是“勾股和数”； （2）∵M为“勾股和数”， ∴， ∴， ∵为整数，为整数， ∴， ∴为整数， ∴为3的倍数， ∴为3的倍数． ∴①，或，，此时或8190； ②，或，，此时或4563． 6．（2022•重庆B卷）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之 和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵，∴247是13的“和倍 数”．又如：∵，∴214不是“和倍数”． （1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； （2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A． 【答案】（1）357不是“和倍数”，441是9的“和倍数”，理由见解析；（2）732或372或516或156． 【详解】解：（1）∵， ∴357不是“和倍数”； ∵， ∴441是9的“和倍数”； （2）由题意得：，， 由题意得：，， ∴， ∵，为整数， ∴， ∵， ∴，5，7， ∴，7，5， ①当，时，，， 则或372； ②当，时，， 则或156； ③当，时，此种情况没有符合的值； 综上，满足条件的所有数A为：732或372或516或156． 7．（2021•重庆A卷）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成，其中A与B都是两位数， A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成的过程， 称为“合分解”．例如∵，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609是“合和数”． 又如∵，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234不是“合和数”． （1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被4整除时，求出所有满足条件的M． 【答案】（1）168不是“合和数”，621是“合和数”，理由见解析；（2）1224，1221，5624，5616． 【详解】解：（1）∵， ∵12和14十位数字相同，但个位数字， ∴168不是“合和数”． ∵，23和27十位数字相同，且个位数字， ∴621是“合和数”． （2）设A的十位数字为m，个位数字为n， ∵M的个位数字不为0，且M是一个四位“和合数”， ∴，， 则，， ∴，． ∴（k是整数）． ∵， ∴， ∵k是整数， ∴或， ①当时， 或， ∴当时，或4，当时，或3， ∴或 ， ②当时， 或， ∴当时，或4，当时，或2， ∴或 ． 综上，满足条件的M有：1224，1221，5624，5616． 8．（2021•重庆B卷）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位 上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：，因为，所以 3507是“共生数”；，因为，所以4135不是“共生数”． （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n． 【答案】（1）5313是“共生数”，6437不是“共生数”，理由见解析；（2）2148或3069． 【详解】解：（1）5313是“共生数”，6437不是“共生数”， ∵， ∴5313是“共生数”， ∵， ∴6437不是“共生数”； （2）∵n是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字， 设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为，（）， 设n的百位上的数字为b， ∵个位和百位都是0﹣9的数字， ∴个位上的数字为，且， ∴， ∴， ∴， 由于n是“共生数”， ∴， 即， 可能的情况有： ，，， 当，时，n的值为1227，则的值为409，各数位上数字之和不是偶数，舍去， 当，时，n的值为2148，则的值为716，各数位上数字之和是偶数， 当，时，n的值为3069，则的值为1023，各数位上数字之和是偶数， ∴n的值是2148或3069． 9．（2020•重庆A卷）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余 数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数﹣﹣“差一数”． 定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”． 例如：，，所以14是“差一数”；，但，所以19不是“差一数”． （1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由； （2）求大于300且小于400的所有“差一数”． 【答案】（1）49不是“差一数”，74是“差一数”，理由见解析；（2）314，329，344，359，374，389． 【详解】解：（1），但，所以49不是“差一数”； ，，所以74是“差一数”． （2）大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399， 其中除以3余数为2的有314，329，344，359，374，389． 故大于300且小于400的所有“差一数”有314，329，344，359，374，389． 10．（2020•重庆B卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然 数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”． 定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”． 例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且，6能被6整除； 643不是“好数”，因为，10不能被3整除． （1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由； （2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由． 【答案】（1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，831，941，理由见解析． 【详解】解：（1）312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且，4能被2整除， 675不是“好数”，因为，13不能被5整除； （2）611，617，721，723，729，831，941共7个，理由： 设十位数数字为a，则百位数字为（的整数）， ∴， 当时，， ∴7能被1，7整除， ∴满足条件的三位数有611，617， 当时，， ∴9能被1，3，9整除， ∴满足条件的三位数有721，723，729， 当时，， ∴11能被1整除， ∴满足条件的三位数有831， 当时，， ∴13能被1整除， ∴满足条件的三位数有941， 即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个． 11．（2024•渝中区校级一模）一个四位自然数M的各个数位上的数字互不相等且都不等于0，如果前两位 数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于100，那么就称这个数为“奋进数”．把“奋进 数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如： 一个四位数3268，因为，所以3268是“奋进数”，且．如果 四位自然数（1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d为整数）是一个“奋进数”，则　 　 （用含a，b的代数式表示），另外规定等于M的前两位数字之和．如果S是一个“奋进数”， 为偶数，且（k为整数），则满足条件的S的最小值是 　 　． 【答案】；5941． 【详解】解：∵是奋进数， ∴，， ∴， 设，且为偶数， ∴a，b同奇同偶，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵1≤a，b，c，d≤9， 又∵a，b同奇同偶，且S最小， ∴a必须最小， ①当时，舍去； ②当时，， ∴，则，此时，不符合题意，舍去； ③当时，则， 当时，，此时，不符合题意，舍去， 当时，，此时，不符合题意，舍去； ④当时，则， 当时，，，不符合题意，舍去， 当时，，则，不符合题意，舍去， ⑤当时，则， 此时，都不符合题意， 当时，则，此时符合题意， ∴， ∴S的最小值为5941； 故答案为：；5941． 12．（2024•沙坪坝区校级三模）对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数 字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小k（k为正整数），则称该数为“k元数”．对“k元数”M， 将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定： ．若四位数是一个“8元数”，则的值为 　 　.若P是一个“3 元数”，且能被P的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的P的最大值为 　 　 【答案】513，8193． 【详解】解：∵四位数是一个“8元数”， ∵，解得， ∴， ∴， ∵， ∴； 设，则， ∵P是一个“3元数”， ∴， 能被P的各个数位上的数字之和整除， ∴为整数， ∵， ∴， ∴为整数， ∵各个数位上的数字互不相等且均不为0 ∴， ∴为294的因数，且最大为21， 即， 解得：， 若要P最大，即，， ∴， 若要P最大，即，， ∴满足条件的P的最大值为8193； 故答案为：513，8193． 13．（2024•重庆二模）对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的 平方等于百位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k阶比例中项数”．此时，记去掉其个位 数字后剩余的两位数为，去掉百位数字后剩余的两位数为，规定，则最大的“4 阶比例中项数”是 　 　；若（其中1≤m≤4，2≤n≤8，m，n均为正整数）是 一个“k阶比例中项数”，且能被8除余3，则满足条件的N之和是 　 　． 【答案】961，823． 【详解】解：设这个“4阶比例中项数”为， 根据定义可知，， ∵a，b，c均为1～9的数， ∴， ∴， 要使最大，a取最大的9， 又∵为完全平方数， ∴，， ∴， ∴最大为961； ∵N是一个“k阶比例中项数， ∴， ∴， ∴是8的倍数， ∴n是偶数， 当时，是8的倍数， ∴， 此时，，符合题意， ∴， 当时，是8的倍数， ∴， 此时，，符合题意； ∴， 当时，是8的倍数， ∴， 此时，，不符合题意； 当时，是8的倍数， ∴， 此时，，符合题意； ∴， ∴． 故答案为：961，823． 14．（2024•九龙坡区模拟）任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组 成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记，例如： ，则，，则　 　；若四位数 ，满足，，则x＝　 　． 【答案】231，1986． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：231． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1986． 15．（2024•两江新区模拟）一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字 与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“友好数”．最小的“友好数” 为 　 　；将友好数m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到，令 ．将友好数m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到， ，若被5除余1，则满足条件的m的最大值为 　 　． 【答案】1243，9537． 【详解】解：∵一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“友好数“， ∴最小的“友好数“为1243， 设正整数m的千位数是a，百位数为b，千位数与十位数的和以及百位数与个位数的和都为x，则十位数为，个位数为， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ∵一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，，，， ∵要使m最大， ∴， ∴， ∵被5除余1， ∴的取值为6或11或16， ∴当时，， 解得， ∴，，此时m为9537， 当时，， 解得， ∴，，此时m为9328， 当时，， 解得， ∴，，不符合题意， ∵， ∴满足条件的m的最大值为9537， 故答案为：1243，9537． 16．（2024•渝中区校级二模）对于任意四位自然数P，记为各个数位上的数字之和，若四位数满足 千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“大2数”；若四位数满足千位数 字比百位数字大3，十位数字比个位数字大6，则称这个四位数是“大3数”；若为“大2数”， 为“大3数”，则值是 　 　；若M，N分别是个位数字都是3的“大2数”和“大3 数”，且能被10整数，则的最大值是 　 　． 【答案】15055，． 【详解】解：∵为“大2数”，为“大3数”， ∴，，，， ∴，，则， ∵M，N分别是个位数字都是3的“大2数”和“大3数”， ∴设M千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，a，7，3； N千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，b，9，3， 则 ， ； ， ； 则， ∵ 能被10整除， ∴是51的因数， 由题意可知，，（千位上最大的数字是9）， 当 取得最大值时，即 最大， ∵， 当时，； 当时 ； 即当时，， ，时，最大值为， 当时，， ，时，最大值为， 故当，时， 有最大值为， 故答案为：15055，． 17．（2024•北碚区校级三模）对于一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字的差的两 倍等于百位上的数字与个位上的数字的和，则称这个四位数为“双差喜数”．将“双差喜数”M的前两位数 组成的数记为s，后两位数组成的数记为t，并规定（d表示个位上的数字）， 　 　；若一个四位数（0≤m≤7，0≤n≤8，0≤x ≤4，0≤y≤8，m，n，x，y均为整数）是“双差喜数”，且被7除余4，则满足条件的M的最大值 为 　 　． 【答案】48；9941． 【详解】解：四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字的差的两倍等于百位上的数字与个位上的数字的和，则称这个四位数为“双差喜数”， 则， ； 则； 四位数（0≤m≤7，0≤n≤8，0≤x≤4，0≤y≤8，m，n，x，y均为整数）是“双差喜数”， 则千位数为，百位数为，十位数为2x，个位数为， ， ， ， ， 且被7除余4， 则被7除余4， 或， 求M的最大值，所以， ，，， 则M的最大值为9941． 18．（2024•重庆模拟）如果一个四位数N，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为 0，则称N为“同城数”．把四位数N的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数，规定 ．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则 ，若“同城数”，则　 　； 已知是“同城数”（a，b，c，d均为正整数），若是整数，则满足条件的所有T之和是 　 　． 【答案】30；15078． 【详解】解：根据题意，； 因为是同城数，所以，， ， 整理化简得，， 所以，是8的倍数； 那么a、c可能的取值为，；或，；或，； 满足条件的所有T的值为：1741、6214、7123，它们的和为：． 故答案为：30；15078． 19．（2024•九龙坡区二模）一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11 数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能 被5整除，则这个数是 　 　；若M是一个“双11数”，设，且是整数， 则满足条件的M的最小值是 　 　． 【答案】8635，2794． 【详解】解：， ∵， ∴， ∵M能被5整除， ∴或5， ∵， ∴，， ∴． ∴． 设， ∴． ∴f（M）＝90a+9b+11， 当a的最小值是2时，f（M）＝191+9b， ， ∴． 当b最小为7时，能被7整除． ∴，，，， ∴M的最小值为2794． 故答案为：8635，2794． 20．（2024•九龙坡区校级三模）对于一个四位正整数（1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d为整 数），若满足，那么就称这个数为“完美数”，且，， 当，时，　 　；若一个“完美数”A的千位与百位数字分别为m，n， 且和均为整数，则满足条件的A的最大值与最小值的和为 　 　． 【答案】1153，10359． 【详解】解：∵， 当，时，，， ，， ． A的千位与百位数字分别为m，n，十位数字是，个位数字是， ． ． ∵为整数， ∴是2的因数， ∴或． ∵1≤m，n，m﹣2，n﹣2≤9，且m，n为整数， ∴3≤m，n≤9且m，n为整数， ∴， ∴或2， ∴，5或6． ， ∵为整数， ∴当时，能被3整除， ∴或8． ∴当时，能被5整除， ∴． 当时，能被6整除， ∴， ，时，，， A的最大值为6846 ，，，， A的最小值为3513． ∴A的最大值与最小值的和为． 故答案为：1153，10359． ( 23 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$