精品解析：四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023-2024学年度高2022级高二下期末监测试题 数学学科试题卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．请考生用2B铅笔填涂选择题，并用0.5mm的黑色签字笔在答题卡的矩形边框内书写，字迹要工整，清晰，超出答题区域的答案一律无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题．（每题5分，共8题，共40分） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合中含有元素可以排除AD两个选项，由中含无理数元素排除C选项，由时，得，判断出选项B正确. 【详解】依题意可得，所以A、D均错误； 因为，所以中含无理数元素，故C错误； 集合中，当时，，所以,所以，所以B正确； 故选：B. 2. 若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 3. 若，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求得值，根据投影向量的定义公式计算即得. 【详解】由可得，，解得，则， 在方向上的投影向量为. 故选：D. 4. 在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用点到直线的距离公式，结合弦长公式求解即可. 【详解】，化为一般式，即，直线上有且仅有一点， 使，则圆心到直线的距离,即， 圆心. . 故选：D. 5. 函数的部分图象如图所示，则 （ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，求得，即可求出结果. 【详解】由图知，得到，又由图知， 由，得到，又，所以， 由，得到，所以， 得到， 故选：C. 6. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（ ） A. 36 B. 42 C. 72 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】若和在上单调递减，在上单调递减增， 则，此时有序数对的个数有：个； 若和在上单调递减，在上单调递增， 则，此时有序数对的个数有：个； 若和在上单调递减，在上单调递增， 则，此时有序数对的个数有：个； 若、和在上单调递减， 则，此时有序数对的个数有：个； 综上所述：共有个. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于恰当的进行分类，做到不重不漏，由此即可顺利得解. 7. 对于函数，若系数可以发生改变，则改变后对函数的单调性没有影响的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析的正负性即可得答案. 【详解】由题意，b与c的对的正负性有影响，d不影响的正负性， 即d对的单调性没有影响； 故选：C. 8. 已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（ ）. A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】设出点坐标，结合，将点坐标代入椭圆方程，求出点的轨迹方程即可得. 【详解】设，，则， 由及椭圆对称性，可取、， 故有、， 消去，可得，即， 即，则点为双曲线上一点. 故选：C. 二、不定项选择题．（每题6分，共3题，共18分，全选对6分，选对但不全得部分分，有选错0分） 9. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到，则可以认为（ ） A. 根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果没有差异 B. 根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果存在差异 C. 根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果没有差异 D. 根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果存在差异 【答案】BC 【解析】 【分析】利用给定的，与、比较即可. 【详解】零假设为两种疗法相互独立，且两种疗法的效果没有差异， 因为，故根据小概率值的独立性检验，两种疗法的效果存在差异，故A错误，B正确， 因为，故根据小概率值独立性检验，两种疗法的效果没有差异，故C正确，D错误， 故选：BC 10. 已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对函数进行求导，根据极值点导数意义，判断A，B；根据函数在处取到极大值，则函数在的附近单调性为“左增右减”，用导数正负来判断C，D. 【详解】因为，则. 函数在处取到极大值1.则，则A正确； 两式子相减，得到，即，则B正确； 由前面知道，，则， 由于函数在处取到极大值，则函数的附近单调性为“左增右减”. 则，对于时，， 即，即，即， 即，则.则C正确，D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. 图2中， D. 图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于 【答案】AC 【解析】 【分析】在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据已知条件求出的值，即可判断A；结合的取值范围求出的值，可判断B；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C；求出，结合扇形的面积公式可判断D. 【详解】函数的最小正周期为， 在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设点，则点、， ，因为，解得，故A正确； 所以，，则，可得， 又因为函数在附近单调递减，且，所以，，故B错误； 因为，可得， 又因为点是函数的图象在轴左侧距离轴最近的最高点，则，可得， 所以，， 因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，所以，，可得， 翻折后，则有、、、， 所以，，， 所以，在图2中，，故C正确； 在图2中，设点，， 可得， ，，， 易知为锐角，则， 所以，区域是坐标平面内以点为圆心，半径为，且圆心角为扇形及其内部， 故区域的面积，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查翻折问题，解题的关键在于建立空间直角坐标系，通过空间向量法来求解相应问题. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题．（每题5分，共15分） 12. 在中，角对边分别为，已知，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理化角边可得，再由余弦定理可求. 【详解】，由正弦定理可得，又， 由余弦定理可得， ，. 故答案为：. 13. 在的展开式中，若各项系数和为0，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在的展开式中，各项系数和即令即可求解. 【详解】在的展开式中，各项系数和即在中令可得， 所以当时，， 所以. 故答案为：. 14. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，再利用全概率公式求解即可. 【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为， 则有，， 记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为， 而，，两两互斥，和为，，，， 记第二次抽到3号球的事件为B， ． 故答案为: 四、解答题．（15题13分，16～17题每题15分，18～19题每题17分） 15. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等比数列； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d的等差数列，令，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先把条件转化成的形式，再根据等比数列的定义进行判断. （2）先明确数列的通项公式：，再用分组求和的方法求前项和. 【小问1详解】 由，得， 整得，得， 又，所以， 故，． 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 故，从而． 【小问2详解】 依题意，得 所以 从而 . 16. 已知，函数，. （1）讨论的单调性； （2）证明：，. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论根据导函数的正负得出函数的单调性； （2）先化简函数，根据化简结果构造函数，再根据导数结合基本不等式得出函数的最小值得证. 【小问1详解】 因为， 所以. 若，则在上恒成立. 若，则由，得，当时，， 当时，. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 . 令，则要证， 即证恒成立， 即证，即证，需证. 令，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则，即， 则， 则，当且仅当时，等号成立，从而，证毕. 【点睛】方法点睛：构造函数，再结合导函数求解函数的单调性，最后结合基本不等式可以解题. 17. 如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且，为的中点. （1）证明：； （2）若过三点的平面截三棱台所得的截面面积为.当二面角为锐二面角时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，根据面面垂直的性质可得、，确定为二面角的平面角，解三角形即可求解. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，， 是等边三角形，点是的中点， 又四边形是等腰梯形，且为的中点， 又，，平面， 平面，又平面， 【小问2详解】 解法一：延长，，交于点，过点作，，垂足为，，连， 由（1）易知平面平面，， 平面平面，平面， 平面，又平面，， 又，且，平面， 平面，又平面， ，又， 为二面角的平面角， 则易知过，，三点的截面为梯形，设梯形的高为， 则，解得， ，又四边形是等腰梯形，且，， 为正三角形，，，，为正三角形； 为中点，， ， 即二面角的正弦值为； 解法二：过，分别作，，，垂足为，，，连接. 由（1）易知平面平面， 平面平面，平面 平面，又平面， 又，且，平面， 平面，又平面， ，又 为二面角的平面角 过，，三点的截面为梯形， 则，， ，，， ，， ， 即二面角的正弦值为. 18. 如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点处，记点移动次后仍在底面上的概率为. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图形可得每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面，推得，再利用全概率公式可求出； （2）由题意可得，化简变形后利用等比数列的通项公式可求出，然后利用错位相减法可求出. 【小问1详解】 由题意可得每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面， 所以当在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为， 在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为， 因为， 所以； 【小问2详解】 由题意可知， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以，所以， 所以， 令，， 则， 所以， 所以 ， 所以， ， 因为， 所以 【点睛】关键点点睛：此题考查全概率公式的应用，考查等比数列求和公式，考查错位相减法，解题的关键是根据题意表示出，考查转化思想和运算能力，属于较难题. 19. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆与抛物线交于第一象限的点，过点作抛物线的切线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，且满足． （1）求椭圆的离心率； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，即可得到，设，，利用导数的几何意义表示出，再由点差法得到，即可求出，从而求出离心率； （2）首先得到椭圆方程及直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，表示出，，再由表示出三角形面积，最后利用基本不等式及导数求出面积最大值. 【小问1详解】 取的中点，连接， 易知是的中点，则， 又，故，故． 设，，由，可得， 则直线的斜率．由题意得 ①-②得， 又由，得， 故，故， 即，所以，即，故． 【小问2详解】 方法一：若，则由（1）知，则：， 由（1）中，，得直线的方程为， 联立，整理得， 故， 又因为在椭圆上，所以， 因为，，所以， 点与点关于原点对称，则点的坐标为， 所以， ， ． 易知，则，当且仅当时取等号． 令，设，则， 故当，，单调递增；当，，单调递减， 故当时，取得最大值，且， 故， 当且仅当即时取等号，故， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为． 方法二：若，则由（1）知，则：， 设，则直线的斜率为，直线BC的斜率为， 则直线的方程为， 联立，得， 由（1）中A，B的纵坐标分别为，，得， 又因为在上，则，则， 故， ， 故 ， 令，则，即，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，所以面积的最大值为． 【点睛】方法点睛： 解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度高2022级高二下期末监测试题 数学学科试题卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．请考生用2B铅笔填涂选择题，并用0.5mm的黑色签字笔在答题卡的矩形边框内书写，字迹要工整，清晰，超出答题区域的答案一律无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题．（每题5分，共8题，共40分） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则在方向上的投影向量为（ ） A B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 函数部分图象如图所示，则 （ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（ ） A 36 B. 42 C. 72 D. 84 7. 对于函数，若系数可以发生改变，则改变后对函数的单调性没有影响的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（ ）. A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 二、不定项选择题．（每题6分，共3题，共18分，全选对6分，选对但不全得部分分，有选错0分） 9. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到，则可以认为（ ） A. 根据小概率值独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果没有差异 B. 根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果存在差异 C. 根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果没有差异 D. 根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），两种疗法的效果存在差异 10. 已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. 图2中， D. 图2中，是及其内部点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题．（每题5分，共15分） 12. 在中，角的对边分别为，已知，则_________． 13. 在的展开式中，若各项系数和为0，则______. 14. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为___________. 四、解答题．（15题13分，16～17题每题15分，18～19题每题17分） 15. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等比数列； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d的等差数列，令，求数列的前n项和. 16. 已知，函数，. （1）讨论的单调性； （2）证明：，. 17. 如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且，为的中点. （1）证明：； （2）若过三点的平面截三棱台所得的截面面积为.当二面角为锐二面角时，求二面角的正弦值. 18. 如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点处，记点移动次后仍在底面上的概率为. （1）求； （2）求. 19. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆与抛物线交于第一象限的点，过点作抛物线的切线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，且满足． （1）求椭圆的离心率； （2）若，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$