精品解析：2024年宁夏回族自治区银川市金凤区银川唐徕回民中学西校区九年级下学期第三次模拟数学试题

银川市唐徕中学2023～2024学年第二学期第三次模拟考试 初三数学试卷 姓名： 班级： 学号： 得分： 一、选择题 1. 若，则下列式子一定成立的是　　 A. B. C. D. 2. 如图是一个正六角螺丝，在它的三视图中，是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 3. 如图，在平面直角坐标系中，在轴负半轴、轴的正半轴上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 4. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的正整数解为1和2，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( ) A. 12 B. 14 C. 24 D. 21 8. 如图，在中，点分别在边上，连接，已知四边形是平行四边形，．若的面积为1，则平行四边形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 9. 分解因式：_____． 10. 在平面直角坐标系中，如果点与关于轴对称，则________． 11. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x是最小的正整数，则代数式_______． 12. 如图，把绕点逆时针方向旋转90°，得到，，那么______． 13. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为__． 14. 如图，是的直径，内接于，，，，则的半径为________． 15. 在超市的一次抽奖活动中，规定：从一个不透明的纸箱中任意摸出一个球为红球即获得一等奖．已知不透明的纸箱中装有黑球10个，白球6个，红球2个，这些球颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为，则需要往这个纸箱再放入同种红球_____个． 16. 已知，点P是线段AB上一点，若＝（或＝），则称点P是线段AB的“黄金分割”点．显然，线段AB有两个“黄金分割”点（如图1），后人把这个数称为“黄金分割”数．如图2，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为___． 三、解答题 17. 计算：． 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为且位于点C两侧，并写出点的坐标； （2）作出绕点逆时针旋转后的图形； （3）在（2）的条件下，求出线段所扫过的面积． 19. 如图所示，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的值． 20. “基础学科拨尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A．北京大学、B．复旦大学、C．浙江大学、D．武汉大学四所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学，我市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的统计图． （1）此次调查共抽取了学生 名； （2）请将条形统计图补充完整； （3）小颖和小杰两位同学计划从A．北京大学、B．复旦大学、C．浙江大学三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用画树状图或列表格的方法求两人恰好选取同一所大学的概率． 21. 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少； （2）若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 22. 如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 23. 如图，某无人机爱好者放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得一楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和楼房之间的水平距离为15米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D，E都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号） （1）求此时楼房的高度； （2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？ 24. 如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求这两个函数的表达式； （2）当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； （3）平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 25. 随着通讯网络的迅猛发展，“成本低、受众广、销售展示更真实”的直播带货走进了人们的生活，某电商对一款进价20元的商品进行直播销售，每日销售该种产品的总开支（不含进价）总计400元，在销售过程中发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在着某种函数关系，部分对应值如表所示． x …… 22 24 26 28 y …… 360 320 280 240 （1）求y与x的函数关系式； （2）求出商家销售该种产品的日获利W（元）关于销售单价x（元）的函数关系式，当销售单价x为何值时，日获利最大？最大利润是多少？ （3）借助（2）中函数的图象思考：若商家希望该产品的日获利不低于1100元，求该商品销售单价的范围． 26. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，，分别是、上两点，连接，，若，求证：． （2）如图2，在矩形中，过点作交于点，若，求的值． （3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学2023～2024学年第二学期第三次模拟考试 初三数学试卷 姓名： 班级： 学号： 得分： 一、选择题 1. 若，则下列式子一定成立的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质进行解答即可． 【详解】A、若0＞a＞b时，a+b＜0．故A选项错误； B、在a＞b的两边同时减去b，不等式仍成立，即a-b＞0．故B选项正确； C、若a＞0＞b时，ab＜0．故C选项错误； D、若b=0时，该不等式不成立．故D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质： (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 2. 如图是一个正六角螺丝，在它的三视图中，是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是简单组合体的三视图，中心对称图形的识别，先理解三视图，再根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：一个正六角螺丝的主视图与左视图都是上下两个大小不一样的长方形， ∴主视图与左视图不是中心对称图形， 一个正六角螺丝的俯视图：里面是圆，外面是正六边形， ∴一个正六角螺丝的俯视图是中心对称图形； 故选C 3. 如图，在平面直角坐标系中，在轴负半轴、轴的正半轴上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点C的坐标，得出点C到两坐标轴的距离，根据作图可得平分，最后根据角平分线的性质，列出等式即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴点C到x轴距离为，点C到y轴距离为 ∵点C在第二象限， ∴，， 由作图可得：平分， ∴，整理得：， 故选：C． 【点睛】题主要考查了尺规作图，各象限内点的坐标特征，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的作法和角平分线的性质是解题的关键． 4. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． 5. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为： 当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长等于火车长，此时y最大，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 6. 不等式的正整数解为1和2，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解：解不等式，得：， ∵不等式组整数解为1和2， 则， ∴， 故选：D． 7. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( ) A. 12 B. 14 C. 24 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3， ∴BC＝， ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD， ∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC， 又∵AD＝7， ∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12. 故选A. 【点睛】此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出BC的值 8. 如图，在中，点分别在边上，连接，已知四边形是平行四边形，．若的面积为1，则平行四边形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的对边平行，得到，根据面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴平行四边形的面积为； 故选C． 二、填空题 9. 分解因式：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 10. 在平面直角坐标系中，如果点与关于轴对称，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，直接利用关于y轴对称点的性质进而得出答案． 【详解】解：∵点与关于y轴对称， ∴， 故． 故答案为：4． 11. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x是最小的正整数，则代数式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，主要利用了相反数的定义，倒数的定义，根据互为相反数的两个数的和等于0可得，乘积是1的两个数叫做互为倒数可得，最小的正整数是1，然后代入代数式进行计算即可得解．熟记概念是解题的关键． 【详解】解：∵a与b互为相反数， ∴， ∵c与d互为倒数， ∴， ∵x是最小的正整数， ∴， ∴． 故答案为． 12. 如图，把绕点逆时针方向旋转90°，得到，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据旋转的性质可得，再根据勾股定理即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 13. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为__． 【答案】66 【解析】 【详解】解：如图所示： 则， ∵， ∴AC=BC=3， ∴正方形ABCD面积为：3×3=9， 侧面积为：4AC×CE=3×4×4=48， ∴这个长方体的表面积为：48+9+9=66． 14. 如图，是的直径，内接于，，，，则的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．连接，根据，可得，从而得到，再由是的直径，可得，然后根据勾股定理，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为． 故答案为：； 15. 在超市的一次抽奖活动中，规定：从一个不透明的纸箱中任意摸出一个球为红球即获得一等奖．已知不透明的纸箱中装有黑球10个，白球6个，红球2个，这些球颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为，则需要往这个纸箱再放入同种红球_____个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是已知概率求数量．设需要往这个纸箱中再放入同种红球个，根据概率公式求出的值即可． 【详解】解：设需要往这个纸箱中再放入同种红球个， 从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为， ， 解得． 经检验，是原方程的解， 故答案为：2 16. 已知，点P是线段AB上一点，若＝（或＝），则称点P是线段AB的“黄金分割”点．显然，线段AB有两个“黄金分割”点（如图1），后人把这个数称为“黄金分割”数．如图2，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得，，根据勾股定理可得，进而可得，然后根据三角形的面积计算公式进行求解． 【详解】解：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵AB＝AC＝3，BC＝4 ∴ ∴在Rt△AFB中， ∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点 ∴ ∵ ∴DF=EF ∴ ∴ 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，实数的混合运算，先计算立方根，算术平方根，二次根式的乘法运算，再合并即可； 【详解】解： ； 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为且位于点C两侧，并写出点的坐标； （2）作出绕点逆时针旋转后的图形； （3）在（2）的条件下，求出线段所扫过的面积． 【答案】（1）作图见解析，的坐标为 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长到，使，延长到，使，则可得到，然后写出点的坐标； （2）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、，然后连接、、，可得； （3）先利用勾股定理计算出，然后根据扇形面积公式计算线段所经过的面积． 【小问1详解】 解：如图，即为所作，点的坐标为； 【小问2详解】 如图，为所作； 【小问3详解】 ， ∴线段所扫过的面积：． 【点睛】本题考查作图—位似变换，旋转变换，坐标与图形，勾股定理，扇形的面积等知识点．解题的关键是掌握画位似图形的一般步骤：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 19. 如图所示，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的值． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 又菱形， ， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形是性质以及矩形的判定与性质．熟记矩形与菱形的性质是解本题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形． （2）先求得，再求解，根据四边形是矩形，根据正弦的定义，求解，再结合平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ∴, ，，， 四边形是矩形， ，．， ∴，， ， ∴． 20. “基础学科拨尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A．北京大学、B．复旦大学、C．浙江大学、D．武汉大学四所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学，我市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的统计图． （1）此次调查共抽取了学生 名； （2）请将条形统计图补充完整； （3）小颖和小杰两位同学计划从A．北京大学、B．复旦大学、C．浙江大学三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用画树状图或列表格的方法求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1）人； （2） 补全统计图如图所示， ； （3）小颖和小杰两人恰好选取同一所大学的概率为 【解析】 【分析】（1）先求解，的人数之和为，占比，再求解总人数即可； （2）由总人数分别乘以，的占比得到各小组人数，再补全统计图即可求解； （3）根据列表法求解概率即可． 【小问1详解】 解：∵，的人数之和为，占比， ∴总人数为（人）； 【小问2详解】 解：选择大学的人数为人， 选择大学的人数为人； 【小问3详解】 解：列表如下， 甲 乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴小颖和小杰两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少； （2）若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 【答案】（1）这个恒温系统设定的恒定温度为：． （2）这天内有小时水果生长不受伤害． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键． （1）设线段解析式为，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出时的值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设线段解析式为， ∵线段过点，， ∴， 解得， ∴线段的解析式为： 当时，， ∴这个恒温系统设定的恒定温度为：． 【小问2详解】 解：根据解析（1）可知，线段的解析式为： 当时，， ∴B坐标为， ∴点C的坐标为， ∴线段的解析式为：， 设双曲线解析式为： ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为：， ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴气温不低于的适宜温度是：． 答：这天内有小时水果生长不受伤害． 22. 如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方形的性质得出，则，根据，推出，进而得出，即可求证； （2）连接，证明四边形为矩形，设，则，， 证明，根据，求出x的值，最后根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，即， 根据勾股定理可得： ∴半径的长为． 【点睛】本题主要考查了圆与四边形的综合，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角，相似三角形对应边成比例． 23. 如图，某无人机爱好者放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得一楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和楼房之间的水平距离为15米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D，E都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号） （1）求此时楼房的高度； （2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？ 【答案】（1）此时小区楼房的高度为米； （2）经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线． 【解析】 【分析】（1）如图，过点D作，垂足为E，过点C作，垂足为H，可知四边形为矩形，再根据平行线的性质可证，可得，设米，则根据题意列方程即可求解； （2）当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，先利用特殊角的三角函数值求出的度数，接着求出的度数，再通过三角函数求得和，进而得到的值，最后除以无人机的速度即可． 【小问1详解】 解：如图，过点D作，垂足为E，过点C作，垂足为H， 由作图可知四边形为矩形， ∴， ∵无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为，， ∴， ∴， ∴， 设米， ∴米，且， ∴， ∴， 解得， 经检验，为原方程的解， ∴米， ∴米， 答：此时小区楼房的高度为米； 【小问2详解】 如图2，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G， 由（1）知，米， ∴（米）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∵无人机速度为5米秒， ∴所需时间为（秒）， 答：经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用、三角函数的问题、矩形的判定和性质和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 24. 如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求这两个函数的表达式； （2）当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； （3）平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）利用函数的性质结合图象即可求解． （3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点， ∴，， 解得，， ∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 ∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 由图象知，当随的增大而增大，且时， 【小问3详解】 ∵当时，， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∵与的面积相等， ∴， 即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 25. 随着通讯网络的迅猛发展，“成本低、受众广、销售展示更真实”的直播带货走进了人们的生活，某电商对一款进价20元的商品进行直播销售，每日销售该种产品的总开支（不含进价）总计400元，在销售过程中发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在着某种函数关系，部分对应值如表所示． x …… 22 24 26 28 y …… 360 320 280 240 （1）求y与x的函数关系式； （2）求出商家销售该种产品的日获利W（元）关于销售单价x（元）的函数关系式，当销售单价x为何值时，日获利最大？最大利润是多少？ （3）借助（2）中函数的图象思考：若商家希望该产品的日获利不低于1100元，求该商品销售单价的范围． 【答案】（1） （2）销售单价为30元时，日获利最大，最大利润是1600元． （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、二次函数的性质，二次函数与一元二次方程、不等式的联系，解题的关键是会用待定系数法求函数的解析式． （1）设与的关系式为，然后用待定系数法求解； （2）先计算出利润W（元）关于销售单价x（元）的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数，一元二次方程、不等式的关系，利用图象法结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可看出y随x增大而减小，且减小一致， ∴设与的关系式为，把和分别代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解： ， ∴当时，W取最大值，， 答：当销售单价x为30元时，日获利最大，最大利润是1600元． 【小问3详解】 解：令， 解得：，， ∵，， ∴抛物线开口向下， ∴当时，利润不低于1100元． 26. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，，分别是、上两点，连接，，若，求证：． （2）如图2，在矩形中，过点作交于点，若，求的值． （3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且，，，求的长． 【答案】（1） 证明：设与的交点为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设与的交点为，根据四边形是正方形，得出，，证明，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）设与交于点，根据四边形是矩形，得出，，可证明，即可证明，得出，利用等角三角函数值即可得答案； （3）过点作交的延长线于点，先证四边形为矩形，得出，，即可证明，得出即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，过点作于， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识．采用类比的数学思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $