精品解析：山东省聊城市高唐县第一实验中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题

八年级（下）数学学科第三次质量评估试题 （时间：70分钟 满分：120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 3.1415 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行解答，即无理数就是无限不循环小数． 【详解】解：由无理数的定义可知，是无理数，3.1415、和都是有理数， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数，其中初中范围内学习的无理数有：π；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法法则，最简二次根式，同类二次根式的定义进行运算即可． 【详解】解：A． ，故A选项错误； B．:，故B选项正确； C． ，故C选项错误； D． ，不是同类二次根式不能合并，故D选项错误； 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除，二次根式乘方，熟悉掌握二次根式的性质以及运算法则是解题的关键． 3. 如图所示，D，E，F分别是三边的中点，添加下列条件后，不能得到四边形是菱形的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中位线性质可得，且，进而可得四边形是平行四边形，再根据选项的条件，逐一判断是否得到菱形即可求解． 【详解】解：∵D，E，F分别是三边的中点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵AB=BC， ∴BD=BF， ∴四边形是菱形，故A选项正确， ∵平分， ∴三角形BAC是等腰三角形，且AB=BC， ∴BD=BF， ∴四边形是菱形，故B选项正确， ∵， ∴三角形BAC是等腰三角形，且AB=BC， ∴BD=BF， ∴四边形是菱形，故C选项正确， ∵，不能得到DE=EF或BD=BF，故不能判断四边形是菱形，故D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形判定，中位线的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握等腰三角形的性质及一组邻边相等是平行四边形是菱形的判定是解题的关键． 4. 如图，中，，则的值为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】延长BD交AC于F，又等腰三角形三线合一性质可得AF=AB，点D是BF的中点，则可得DE是△BCF的中位线，根据中位线性质可得FC的长，进而可求得答案． 【详解】延长BD交AC于F，如图所示： ∵，且， ∴AF=AB=4，点D是BF的中点， 又∵， ∴点E是BC中点， ∴DE是△BCF的中位线， ∴, ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质及三角形中位线的性质是解题的关键． 5. 如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是（ ） A. k＞0，b＜0 B. 直线上两点（x1，y1），（x2，y2），若，则 C. 直线经过第四象限 D. 关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与方程的关系即可判断． 【详解】解：直线经过一、二、三象限， ，，故A、C错误； 直线经过一、二、三象限， 随的增大而增大， ∴，，，是直线上的两点，若，则，故B错误； 直线与轴交于点， 当时，函数， 关于的方程的解为，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和系数的关系，一次函数与一元一次方程，熟知一次函数的性质是解题的关键． 6. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得出四边形 AECF的面积等于正方形 ABCD的面积，进而可求 出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】绕点顺时针旋转到的位置． 四边形的面积等于正方形的面积等于20， ， ， 中， 故选． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应 边关系是解题关键． 7. 如图，在菱形中，P为对角线上一点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分得到直角三角形和线段长，再利用勾股定理求解． 【详解】如图所示，连接BD，交AC于点O， 易得BD垂直平分AC ，， 在中， 在中， 故选B． 【点睛】本题考查菱形对角线的性质，通过对角线互相垂直平分构造直角三角形是解决本题的关键． 8. 若一次函数（、为常数，且）的图象经过点，，则不等式的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据两个点的坐标，求出的值，再代入解不等式，即可得到答案． 【详解】解：将，代入得：， 解方程组得， 代入不等式中，可得， ∴， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格纸的格点上，将绕着某点顺时针旋转一定的角度后，得到，则旋转中心的坐标为（ ） A. (-1，1) B. (-1，2) C. (1，1) D. (1，-1) 【答案】A 【解析】 【分析】连接CC´和BB´，作出CC´和BB´中垂线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图， ∵C点对应C´，B点对应B´， 连接CC´和BB´，分别作出CC´和BB´中垂线， 交点P（，1）即为旋转中心， 故选：A． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，找准对应点，准确判断对应点与旋转中心的关系是解题的关键． 10. 如图①，在边长为4cm正方形 ABCD 中，点P从点A出发，沿AB→BC的路径匀速运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时图象如图②所示．当P运动2.5s时，PQ的长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象知：P点运动2s时，PQ与BD重合，得出P点运动速度是2cm/s，从而得出当P运动2.5s时，P点运动的路程是5cm，此时P在BC边上，CP1为3cm，从而计算PQ的长度． 【详解】解：由②知：P点运动2s时，PQ与BD重合，且四边形ABCD的边长为4cm ∴P点运动速度是2cm/s ∴当P运动2.5s时，P点运动的路程是5cm，此时P在BC边上 ∴CP1=3cm 又∵PQ∥BD ∴CQ1=3cm ∴cm 故答案为：D 【点睛】本题考查动点的函数图象问题，结合图形与图象获取P的运动速度是解题关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0即可求解． 【详解】解：由题意可得： 且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 计算÷3×的结果是___． 【答案】1 【解析】 【分析】按照二次根式乘除运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，解题关键是熟记二次根式乘除法则，准确进行计算． 13. 若关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据解一元一次不等式的步骤逐个求解不等式，再根据不等式组解集“同小取小”求参数m的范围． 【详解】解：， 解不等式， ， 解得：， 因为不等式组的解集是， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由不等式组解集求参数的取值范围，解决本题的关键是要熟练掌握不等式组解集确定. 14. 如图，在直角坐标系中，已知菱形的顶点．作菱形关于y轴的对称图形，再作图形关于点O的中心对称图形，则点C的对应点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以写出点C的坐标，然后根据与y轴对称和与原点对称的点的特点即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点C的坐标为（2，1）， ∴点的坐标为（−2，1）， ∴点的坐标为（2，−1）， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称、轴对称变化，解答本题的关键是明确题意，掌握中心对称、轴对称变化的性质． 15. 如图，在中，，，，交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质得，，，进而由勾股定理得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解；∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，四边形是边长为4的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据轴对称的性质确定最短路径，正方形的性质，用待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握相关性质，确定取最小值时点P的位置，以及用待定系数法求函数解析式的方法和步骤． 易得，，先求出的函数解析式为，连接交于点P，此时点满足的值最小，用待定系数法求出的函数解析式为，进而得出，再用待定系数法，即可得出直线的解析式． 【详解】解：∵四边形是边长为4的正方形， ∴， 设的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， ∵点为的中点， ∴， 连接交于点P，此时点满足的值最小， 设的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 联立得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减． （1）先将各个二次根式化简，再进行计算即可； （2）先将各个二次根式化简，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式（组）： （1）解不等式：，并求出非负整数解． （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1），非负整数解0，1，2，3，4 （2），数轴见解析 【解析】 【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （2）分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【小问1详解】 解∶ 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴非负整数解：． 【小问2详解】 解∶ ， 由①得， 由②得， 把不等式组的解集表示在数轴上，如图， ∴原不等式组的解为． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握相关解法是解题的关键． 19. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）将绕点顺时针旋转，作出旋转后的； （2）将平移后得列，且点的对应点是，点，的对应点分别是，，作出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——作图形的旋转、图形的平移； （1）分别找到三个顶点旋转后的对应点，再依次连接这三个对应点即可； （2）由点A坐标及其对应点的坐标，可以确定平移方式，根据此平移即可确定三角形另两个点的对应点，最后即可画出平移后的三角形． 【小问1详解】 如图即为所求： 【小问2详解】 如图即为所求： 20. 直线和直线分别交y轴于点A，B，两直线交于点． （1）求m，k的值； （2）求的面积； （3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入直线的解析式求得的值，然后待定系数法即可求得的值； （2）先求出点和点的坐标，再根据三角形面积的公式求解即可； （3）设点坐标为，表示出的面积，根据与的面积相等，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线，得， ， 把代入，得， 解得； 【小问2详解】 令，则， 点坐标为， 令，则， 点坐标为， ， 的面积； 【小问3详解】 设点坐标为， 则的面积， 与的面积相等， ， 解得， （舍）或， 点坐标为． 【点睛】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，三角形的面积等，求出交点坐标是解题的关键． 21. 如图，矩形中，点O是对角线的中点，过点O作直线分别交，于点E，F，已知，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质易得，推出，进而得到四边形是平行四边形，用勾股定理求得AE，得到，最后用菱形的判定求解； （2）由勾股定理求出OE，再利用全等三角形的性质求得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形 ∴，，． ∵点O是对角线的中点 ∴ 在和， ， ∴， ∴． ∵ ∴四边形是平行四边形． 又∵，， ∴ 在中， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质，平行四边形判定和矩形的判定，勾股定理，理解相关知识是解答关键． 22. 冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 （1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个 （2）A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个能获得最大利润，最大利润是180元 【解析】 【分析】（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由用550元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可； （2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润． 【小问1详解】 解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个， 由题意，得， 解得：． （个． 答：款玩偶购进20个，款玩偶购进10个； 【小问2详解】 解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元， 由题意，得． 款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半． ， ， ． ， 随的增大而增大． 时，元． 款玩偶为：（个． 答：按照款玩偶购进10个、款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是180元． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，解题的关键是由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式． 23. 综合与实践 问题情境： 四边形是正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，连结． 问题解决： （1）如图1，当点E在线段上时，求证：． 探索发现： （2）如图2，当点E在的延长线上时，线段与的数量关系为 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接并延长，交边于点G，交的延长线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（1）；（3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是正方形， ，，， 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图3，过点作，交延长线于， 四边形是正方形， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ，， ∴， ∴，， ，，， ， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级（下）数学学科第三次质量评估试题 （时间：70分钟 满分：120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 3.1415 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，D，E，F分别是三边的中点，添加下列条件后，不能得到四边形是菱形的是（ ） A. B. 平分 C. D. 4. 如图，中，，则的值为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 8 5. 如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是（ ） A. k＞0，b＜0 B. 直线上两点（x1，y1），（x2，y2），若，则 C. 直线经过第四象限 D. 关于x方程kx+b＝0的解为x＝﹣5 6. 如图，点是正方形边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 7. 如图，在菱形中，P为对角线上一点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若一次函数（、为常数，且）的图象经过点，，则不等式的解为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格纸的格点上，将绕着某点顺时针旋转一定的角度后，得到，则旋转中心的坐标为（ ） A (-1，1) B. (-1，2) C. (1，1) D. (1，-1) 10. 如图①，在边长为4cm正方形 ABCD 中，点P从点A出发，沿AB→BC的路径匀速运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时图象如图②所示．当P运动2.5s时，PQ的长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______． 12. 计算÷3×的结果是___． 13. 若关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是______． 14. 如图，在直角坐标系中，已知菱形的顶点．作菱形关于y轴的对称图形，再作图形关于点O的中心对称图形，则点C的对应点的坐标是_________． 15. 如图，在中，，，，交于点，则的长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，四边形是边长为4的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的解析式为________． 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解不等式（组）： （1）解不等式：，并求出非负整数解． （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 19. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）将绕点顺时针旋转，作出旋转后； （2）将平移后得列，且点的对应点是，点，的对应点分别是，，作出． 20. 直线和直线分别交y轴于点A，B，两直线交于点． （1）求m，k的值； （2）求的面积； （3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 21. 如图，矩形中，点O是对角线的中点，过点O作直线分别交，于点E，F，已知，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 22. 冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 （1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 综合与实践 问题情境： 四边形正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，连结． 问题解决： （1）如图1，当点E在线段上时，求证：． 探索发现： （2）如图2，当点E在的延长线上时，线段与的数量关系为 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接并延长，交边于点G，交的延长线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$