精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

科左中旗民族职专·实验高中 2023—2024学年第二学期期中考试（数学）试卷 出题人：杨泽 审题人：沈静 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共8题，合计40分） 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若向量，共线，则（ ） A. B. C. D. 18 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点D是AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则 A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数 C. 偶函数，且在R上是减函数 D. 是奇函数，且在R上是减函数 8. 函数，则的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共4题，合计20分.全部答对得5分，部分答对得2分） 9. 下列说法中,错误的有（ ） A. 单位向量都相等 B. 模相等两个平行向量相等 C. 若且,同向,则 D. ,若,,则 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 设向量，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. D. 12. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 三、填空题（每小题5分，共4题，合计20分） 13. 已知，，则取值范围是__________． 14. 函数的值域为____________. 15. 设四边形中，且，则这个四边形是________． 16. 已知，函数是奇函数，则___________，___________． 四、解答题（17题10分，18~22题各12分，合计70分） 17. 已知， （1）当，求值； （2）求的值． 18. 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 19. 已知向量的夹角为，且，若求： （1）； （2）. 20. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求与的夹角的余弦值． 21. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为 （其中a，b是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1 m/s. （1）求的值； （2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位? 22. 函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 科左中旗民族职专·实验高中 2023—2024学年第二学期期中考试（数学）试卷 出题人：杨泽 审题人：沈静 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共8题，合计40分） 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A，再利用补集的定义求解即得. 【详解】全集，则， 所以. 故选：D 2. 已知向量，，若向量，共线，则（ ） A. B. C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算列方程即可求解. 【详解】向量，，若向量，共线， 则有，解得. 故选：B 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，所以或， 易得“”是“或”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量定义计算即可. 【详解】由投影向量定义可知，在上投影向量为. 故选：C 5. 在中，点D是AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算即可. 【详解】因为点D是AB的中点， 所以 所以 故选：D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，，， 又， 所以. 故选：C. 7. 已知函数，则 A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数 C. 是偶函数，且在R上是减函数 D. 是奇函数，且在R上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，由指数函数的性质可得y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，f（x）＝（）x﹣2x， 有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数， 又由y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数， 故选D． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题． 8. 函数，则的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断在区间上函数值的正负，用排除法得到答案. 【详解】函数的定义域为， ， 即函数为偶函数，排除BD； 当时，，排除A. 故选：C. 二、多选题（每小题5分，共4题，合计20分.全部答对得5分，部分答对得2分） 9. 下列说法中,错误的有（ ） A. 单位向量都相等 B. 模相等的两个平行向量相等 C. 若且,同向,则 D. ,若,,则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量的概念一一判断即可. 【详解】对于A,单位向量的方向不能确定,根据两个向量相等的概念,两向量不一定相等,故A错误; 对于B,相反向量模相等,且为平行向量,但不是相等向量,故B错误; 对于C,向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,故C错误; 对于D,因为,所以若,,则,故D正确. 故选:ABC. 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，逆用余弦二倍角公式进行求解；B选项，逆用正弦二倍角公式进行求解；C选项，利用辅助角公式和诱导公式求出答案；D选项，将换为，逆用正切差角公式进行求解. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 11. 设向量，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算判断A；由向量的数量积的坐标运算判断B；由平行向量的判断定理判断C；由向量垂直的坐标运算判断D. 【详解】由，知，故A错； ，故B对； 由，故C错； ，则，故D对； 故选：BD 12. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量的定义计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：， 故，即，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共4题，合计20分） 13. 已知，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，可根据，，借助直接得到的范围. 【详解】∵，且，， ∴. 当与同向时，； 当与反向时，. ∴的取值范围为． 故答案为：. 14. 函数值域为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式以及正弦函数图像性质可得值域. 【详解】由可得， 再由正弦函数图象可求得，因此. 故答案为： 15. 设四边形中，且，则这个四边形是________． 【答案】等腰梯形 【解析】 【分析】根据相等向量定义，结合可得结果. 【详解】，且，∴四边形为梯形. 又，四边形为等腰梯形. 故答案为：等腰梯形. 16. 已知，函数是奇函数，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由，可求，由，结合奇函数可求． 【详解】由，解得，所以， 又因为函数为奇函数，所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以1或，解得(舍去)． 故答案为：①-1；②1． 四、解答题（17题10分，18~22题各12分，合计70分） 17. 已知， （1）当，求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解； （2）根据诱导公式及同角三角函数基本关系求解即可. 【小问1详解】 ， ， ，解得， , . 【小问2详解】 . 18. 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【小问1详解】 由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； 【小问2详解】 若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 19. 已知向量的夹角为，且，若求： （1）； （2）. 【答案】（1）9 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义表达式进行计算即得； （2）根据向量的模的计算公式计算即得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因， 则 ， 故. 20. 已知向量，． （1）若，求值； （2）若，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行列方程，即可求得的值； （2）根据平面向量垂直列方程，求出的值，再结合坐标运算求与的夹角的余弦值即可． 【小问1详解】 因为，，，所以， 即，所以或． 【小问2详解】 因为，所以，即 所以， 所以，即， 所以,，则， 所以. 21. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为 （其中a，b是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1 m/s. （1）求的值； （2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位? 【答案】（1） （2）345 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求出的值，代入中可求得结果， （2）由题意得，解不等式可得答案. 【小问1详解】 由题意可得,, 化简得①, ,化简得②, 联立①②,解得， 所以 【小问2详解】 由（1）得, ,根据题意可得, ,即，得， 解得. 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于3 m/s,则其耗氧量至少要345个单位. 22. 函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域． 【答案】（1）最小正周期为，，． （2） 【解析】 【分析】（1）先化简函数解析式，结合周期和单调区间的求解方法可得答案； （2）根据图象变换求出，结合函数单调性可得值域. 【小问1详解】 ， 因为，所以的最小正周期为. 令，，解得，， 所以函数的单调减区间为，． 【小问2详解】 函数的图象先向左平移个单位得到， 将横坐标缩短为原来（纵坐标不变），得到， 时，， 所以当时，解得，此时函数为增函数； 当时，解得，此时函数为减函数； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的最大值为，又因为，， 所以函数的最小值为，所以的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $