精品解析：河南省周口市鹿邑县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2023—2024高二下期期末试卷 数学试题 时间120分钟 总分150分 第I卷（选择题） 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.04 B. 0.48 C. 0.5 D. 0.96 2. 设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 6 3. 下列命题正确的有 ①用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好； ②若一组数据8，12，x，11，9的平均数是10，则其方差是2； ③回归直线一定过样本点的中心()； ④若相关系数，则两个变量之间线性关系性强. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 5. 某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 720种 D. 2002种 6. 从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 若在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（3小题，每小题6分，共8分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据的第60百分位数为14 B. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70 C. 若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 11. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 已知随机变量服从两点分布，且．设，那么 B. 已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量的方差 0 20 40 C. 已知，，，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 三､填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知A工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为95％，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为______ 13. 设，则___________. 14. 已知函数，若曲线在处的切线方程为，则______． 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； 16. 某便利店销售草莓，经过市场调研，对连续6天的销售量及销售单价进行统计，销售单价x（元）和销售量y（千克）之间的一组数据如下表所示： 天i 1 2 3 4 5 6 销售单价 18 19 20 21 22 16 销售量 22 20 16 12 10 30 （1）试根据前5天的销售数据，建立y关于x的回归直线方程； （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过1.2千克，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？ 参考公式：回归直线方程，其中． 参考数据：，． 17. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最值. 18. 已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 19. 在“双减”政策背景之下，某校就推进学校、家庭、社会体育教育的“一体化”，实现“教会、勤练、常赛”的核心任务．学校组织人员对在校学生“是否喜爱运动”做了一次随机调查．共随机调查了18名男生和12名女生，调查发现，男、女生中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱． （1）根据以上数据完成以下列联表： 喜欢运动 不喜欢运动 总计 男 女 总计 根据小概率值的独立性检验，能否据此推断性别与喜爱运动有关？ （2）从被调查的女生中抽取3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列及数学期望． 附参考公式及参考数据： ，其中． 0.40 0.25 0.10 0.010 0.708 1.323 2.706 6.635 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024高二下期期末试卷 数学试题 时间120分钟 总分150分 第I卷（选择题） 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.04 B. 0.48 C. 0.5 D. 0.96 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质求解即可. 【详解】由正态分布的对称性可知，， 所以． 故选：D 2. 设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用残差的定义求解. 【详解】解：因为时的预测值为， 所以残差为． 故选：B． 3. 下列命题正确的有 ①用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好； ②若一组数据8，12，x，11，9的平均数是10，则其方差是2； ③回归直线一定过样本点的中心()； ④若相关系数，则两个变量之间线性关系性强. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关指数含义、平均数公式与方差公式、回归直线方程性质、相关系数含义依次判断真假. 【详解】用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好；所以①错误； 若一组数据8，12，x，11，9的平均数是10，则，其方差是，所以②正确； 回归直线方程一定过样本点的中心()，所以③正确； 因为相关系数越大，两个变量之间线性关系性越强，因此若相关系数，则两个变量之间线性关系性强.即④正确 故选：C 【点睛】本题考查相关指数含义、平均数公式与方差公式、回归直线方程性质、相关系数含义，考查基本分析判断与求解能力，属基础题. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据通项公式可求出结果. 【详解】, 令，得， 所以的系数为. 故选：A 5. 某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 720种 D. 2002种 【答案】B 【解析】 【分析】先在5名女志愿者中选3名女志愿者，再在9名男志愿者中选2名男志愿者，根据分步乘法计数原理即可得到结果. 【详解】根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种. 故选：B. 6. 从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出和，再利用条件概率的公式求解. 【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球. 从而，，故. 故选：A. 7. 若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，确定，由的最小值为，可求出，即可得出的解析式，进一步求出函数的零点. 【详解】因为函数的导数，所以，为常数， 设，则恒成立，在上单调递增， 即在上单调递增，又， 故当时，，即单调递减， 时，，即单调递增， 所以在处取得最小值，即，所以， 所以，由， 令，解得，所以的零点为. 故选：C. 8. 若在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为在恒成立，在根据三角函数的性质求解。 【详解】由题意可知在恒成立， ， 取，则，即为函数的一个单调区间，所以的最大值为。 故选：C 二､多选题（3小题，每小题6分，共8分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意，得，所以. 故选：BC. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据的第60百分位数为14 B. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70 C. 若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由百分位数求解判断A，由分层抽样判断B，由平均值性质判断C，由二项分布性质判断D. 【详解】对A，，故第60百分位数为第6和第7位数的均值，故A错误； 对B，由题抽取的高中生抽取的人数为，故B正确； 对C， 设数据的平均数为， 由平均值性质可知：样本数据的平均数为， 解得，故C正确； 对D，由题意可知，解得或， 则或，故D错误. 故选：BC 11. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 已知随机变量服从两点分布，且．设，那么 B. 已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量的方差 0 20 40 C. 已知，，，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：即；选项B：利用概率之和为1，求出的值，再分别求出期望和方差；选项C：利用条件概率公式，对式子变形后，两式相加，求出；选项D：由二项分布概率计算公式写出，列不等式组，求出的值. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，由题知，所以， 所以， 所以， 故B正确； 对于选项C，，， 所以，， 所以， 所以， 解得，故C正确； 对于选项D，， 由， 得， 解得，所以， 即当时概率最大，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知A工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为95％，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为______ 【答案】0.92 【解析】 【分析】根据题意利用全概率公式直接求解即可. 【详解】因为A工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为95％， 所以从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为， 故答案为：0.92 13. 设，则___________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出值即可得解. 【详解】取，得， 取，得， 所以. 故答案为：0 14. 已知函数，若曲线在处的切线方程为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数和切线斜率求出的值，利用解析式和切点坐标求出的值，可得. 【详解】函数，， 若曲线在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率， 则有，解得， 所以． 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； 【答案】（1） （2）函数在上单调递减，在上单调递增 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可. （2）含参讨论函数单调性即可. 【小问1详解】 当时，，故， 此时函数在处的切线方程为：. 【小问2详解】 由题意，的定义域为， ， 则当时，单调递增；当时，单调递减. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 16. 某便利店销售草莓，经过市场调研，对连续6天的销售量及销售单价进行统计，销售单价x（元）和销售量y（千克）之间的一组数据如下表所示： 天i 1 2 3 4 5 6 销售单价 18 19 20 21 22 16 销售量 22 20 16 12 10 30 （1）试根据前5天的销售数据，建立y关于x的回归直线方程； （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过1.2千克，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？ 参考公式：回归直线方程，其中． 参考数据：，． 【答案】（1）； （2）所得到的回归直线方程是理想的，理由如下： 由（1）知：当时，千克，而千克， 所以误差不超过1.2千克，即（1）中所得到的回归直线方程是理想的. 【解析】 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程； （2）由（1）所得回归直线估计对应y值，与30作差取绝对值即可判断结论. 【小问1详解】 由，， 所以，则， 故回归直线方程. 【小问2详解】 （1）中所得到的回归直线方程是理想的，理由略. 17. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最小值是，最大值是2. 【解析】 【分析】（1）利用极值和极值点列方程求解即可； （2）根据导数求出函数的单调区间，然后比较极值和端点处函数值的大小即可. 【小问1详解】 ，. ∵函数在处取得极值2， ∴，， 解得，， ∴， 经验证在处取得极大值2， 故，. 【小问2详解】 ， 令，解得， 令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ， 故函数的最小值是， ，故函数的最大值是2. 18. 已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】根据条件先求出的通项公式，再求出的通项公式即可. 【小问1详解】 设公差为，则，即 解得或 ，所以或； 【小问2详解】 因为数列为递增数列，，，， 所以 ； 所以. 19. 在“双减”政策背景之下，某校就推进学校、家庭、社会体育教育的“一体化”，实现“教会、勤练、常赛”的核心任务．学校组织人员对在校学生“是否喜爱运动”做了一次随机调查．共随机调查了18名男生和12名女生，调查发现，男、女生中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱． （1）根据以上数据完成以下列联表： 喜欢运动 不喜欢运动 总计 男 女 总计 根据小概率值的独立性检验，能否据此推断性别与喜爱运动有关？ （2）从被调查的女生中抽取3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列及数学期望． 附参考公式及参考数据： ，其中． 0.40 0.25 0.10 0.010 0.708 1.323 2.706 6.635 【答案】（1）表格： 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 12 6 18 女 6 6 12 总计 18 12 30 没有充分的把握判断喜爱运动与性别有关 （2）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）由已知数据完成列联表，计算，对照临界值下结论； （2）由的取值，计算相应的概率，写出分布列，求数学期望． 【小问1详解】 由已知数据完成列联表如图， 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 12 6 18 女 6 6 12 总计 18 12 30 假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得： ， 因此，没有充分的把握判断喜爱运动与性别有关. 【小问2详解】 喜爱运动的人数为的取值分别为：0，1，2，3， 则有：；； ；. 所以喜爱运动的人数为的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $