精品解析：辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题（普高班）

葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2023——2024学年度期末考试 高二数学试题（普高班） （分数：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. “ ”的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ） A. B. C D. 8. 某校素质运动会上，个男生的引体向上个数依次为，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分． 9. 设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个命题中是真命题的有（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “x为正方体”是“x为长方体”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是””的充要条件 11. 已知是等比数列前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的次数为，则______；______． 13. 记为等比数列的前n项和，已知，，则______． 14. 已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设曲线在点处取得极值. （1）求的值； （2）求函数的单调区间和极值. 16. 已知公差为的等差数列的前项和为,且. （1）求的通项公式; （2）若数列的前项和为,证明:为定值. 17. 根据《国家学生体质健康指标》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：） 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 260及以上 194及以上 良好 及格 不及格 204及以下 149及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生： 女生： 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立. （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设为这3人中立定跳远单项等级为优秀人数，求的分布列和数学期望. 18. 记等差数列的前项和为，已知，． （1）求的通项公式； （2）求以及的最小值． 19. 已知函数． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2023——2024学年度期末考试 高二数学试题（普高班） （分数：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定求解作答. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是：，. 故选：B 3. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断ABC选项，利用对数函数的单调性可判断D选项. 【详解】当，时，，则A错误. 当，时，，则B错误. 当，时，，则C错误. 由，得，则D正确. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据初等函数导数公式求导，然后即可得答案. 【详解】因为，所以． 故选：C． 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“乘1法”与基本不等式即可得出． 【详解】， 当且仅当，时，等号成立． 故选：D. 6. “ ”的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式直接证明，或举特例判断. 【详解】根据得任意实数，所以A错； 由，得，当且时，有；当且时，有，不满足题意，所以B错； 因为满足，也满足，不满足题意，所以C错； 因为，所以，所以能推出，满足题意，D 正确. 故选： D. 7. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象可得的单调性，即可结合选项求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 结合选项可知，只有C中函数符合要求， 故选：C 8. 某校素质运动会上，个男生的引体向上个数依次为，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、中位数和众数的定义分别求得即可. 【详解】该组数据的平均数； 将引体向上的个数按照从小到大顺序排列为：， 则中位数； 该组数据众数；. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分． 9. 设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】取，，可判断A选项；利用等比数列的定义可判断BD选项；取可判断C选项. 【详解】设等比数列、的公比分别为、，其中，， 对任意的，，， 对于A选项，不妨取，，则数列、都是等比数列， 但对任意的，， 故数列不是等比数列，A不满足条件； 对于B选项，，即数列为等边数列，B满足条件； 对于C选项，当时，，此时，不是等比数列，C不满足条件； 对于D选项，，故为等比数列，D满足条件. 故选：BD. 10. 下列四个命题中是真命题的有（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “x为正方体”是“x为长方体”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是””的充要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】由结合充分必要条件的定义判断A；由正方形和长方形的关系判断B；由不等式的性质判断C；由对数的运算结合充分必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，因为，所以“”是“”的必要不充分条件，A错误． 对于B，x为正方体，一定能得出x为长方体，反之不成立，所以“x为正方体”是“x为长方体”的充分不必要条件，B正确． 对于C，若，则，则未必成立，反之成立，所以“”是“”的必要不充分条件，C正确． 对于D，若，则，则，，反之亦成立，D正确． 故选：BCD 11. 已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，分情况进行讨论，然后利用等差中项的性质即可求解. 【详解】若公比有，，， 此时，故公比， 由题意， 化简有，两边同时乘以，可得：； 两边同时乘以，可得： 故有或， 选选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的次数为，则______；______． 【答案】 ①. ##0.0625 ②. 【解析】 【分析】由题意可得，再根据二项分布的概率公式和期望公式即可求解. 【详解】因为每次拿到黄球的概率为，所以. 所以，. 故答案为：； 13. 记为等比数列的前n项和，已知，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的性质结合题意直接求解 【详解】因为为等比数列的前n项和，，， 所以由等比数列的性质可得，，成等比数列， 所以． 故答案为：4 14. 已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数__________. 【答案】-2 【解析】 【分析】利用导数求解出曲线在处的切线的斜率，利用垂直关系可知斜率乘积为−1，构造方程求得结果. 【详解】因为，定义域为，所以， 所以曲线在处的切线斜率为， 因为曲线在处的切线与直线垂直， 所以不符合题意，所以直线的斜率为， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设曲线在点处取得极值. （1）求的值； （2）求函数的单调区间和极值. 【答案】(1)2；(2)在区间和单调递减，在区间单调递增；极大值为；的极小值为. 【解析】 【分析】（1）根据，即可容易求得； （2）根据（1）中所求，求得，即可容易求得单调区间和极值. 【详解】（1）因为，故可得， 又因为，故可得，解得，经检验符合题意. （2）由（1）可知， ， 令，解得， 又因为函数定义域为， 故可得在区间和单调递减，在区间单调递增. 故的极大值为；的极小值为. 【点睛】本题考查利用极值点求参数值，以及利用导数求函数的单调区间和极值，属综合基础题. 16. 已知公差为的等差数列的前项和为,且. （1）求的通项公式; （2）若数列的前项和为,证明:为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的求和公式求出,再用等差数列的通项公式写出即可; （2）根据（1）知,利用裂项相消法求出即可证明. 【小问1详解】 由题意得, 解得, 故. 【小问2详解】 因为, 设, 所以 , 所以, 即为定值. 17. 根据《国家学生体质健康指标》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：） 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 260及以上 194及以上 良好 及格 不及格 204及以下 149及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生： 女生： 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立. （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值； （2）由题设，的所有可能取值为，算出对应概率的值，列出分布列，计算出的数学期望的估计值. 【小问1详解】 某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学， 样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为， 所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为． 【小问2详解】 由题设，的所有可能取值为， 则； ； ； ． 则的分布列为： 0 1 2 3 则的数学期望. 18. 记等差数列的前项和为，已知，． （1）求的通项公式； （2）求以及的最小值． 【答案】（1）； （2），最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出公差，再求出通项作答. （2）由（1）结合等差数列前n项和公式求解作答. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，，得， 解得，于是， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 显然，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为. 19. 已知函数． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）要证，由，可得，令，证明即可，然后利用导数分析的单调性可知，即可求证. 【小问1详解】 因为，所以， 所以切点坐标为， 由于， 所以切线的斜率为：， 故切线的方程为：，即. 【小问2详解】 证明：要证：， 只需证：， 由于，证明如下：令， ，令得：， 当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以，故，即， 所以 令，则， 令，则 由于，所以在恒成立， 故在单调递增， 所以恒成立， 即在恒成立. 所以在单调递增， 所以恒成立，即， 故 所以，即. 【点睛】对于证明不等式恒成立问题，一般转化利用导数研究函数单调性或求最值问题，从而证明不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是利用导数证明不等式的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$