13.2 第1课时 命题（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第13章 三角形中的边角关系、 命题与证明 13.2 命题与证明 第1课时 命题 优翼数学教学课件（HK）八上 小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》. 这个黑客终于被逮住了. 是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…… 这个黑客是个小偷. 是个喜欢穿黑衣服的贼. 坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着. 导入新课 2 小明的百米成绩有进步，已达到9秒9. 好！继续努力，争取超过10秒. 不要再抢啦！每人发一个球！ 有一位田径教练向领导汇报训练成绩： 相传，阎锡山在观看士兵篮球赛时，双方争抢非常激烈，于是命令： 2. 如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那 么它就不是命题. 如：画线段 AB = CD. 1. 只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 如：相等的角是对顶角. 注意： 像这样，对某一件事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题. 一、命题的概念 命题的定义与结构 新课讲授 例1 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由： （1）对顶角相等吗？ （2）画一条线段 AB = 2cm； （3）两条直线平行，同位角相等； （4）相等的两个角，一定是对顶角. 典例精析 解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题. 理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题. 2）两条直线相交，有且只有一个交点（ ） 5）取线段 AB 的中点 C （ ） 1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？( ) 6）画两条相等的线段（ ） 练一练：判断下列语句是不是命题？是用“√”， 不是用“× 表示. 3）不相等的两个角不是对顶角（ ） 4）相等的两个角是对顶角（ ） × √ × × √ √ 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特 征？与同伴交流. （1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； （3）如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3. 都是“如果……那么……”的形式 二、命题的结构 命题一般都可以写成“如果 p，那么 q”的形式. 1. 其中 p 是这个命题的条件(题设)， 2. q 是这个命题的结论(题断). 如命题：熊猫没有翅膀.改写为： 如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀. 注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套. 命题 条件 结论 已知事项 由已知事项推出的事项 两直线平行 同位角相等 题设（条件） 结论 命题的组成： 总结归纳 例2 指出下列命题的条件与结论. (1) 两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行； (2) 如果∠A =∠B，那么∠A 的补角与∠B 的补角相等. 解 ： (1)“两条直线都平行于同一条直线”是条件，“两条直线平行”是结论. (2)“∠A =∠B”是条件，“∠A 的补角与∠B 的补角相等”是结论. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的条件和结论. 1. 对顶角相等； 2. 内错角相等； 3. 两直线被第三条直线所截，同位角相等； 4. 同平行于一直线的两直线平行； 5. 等角的补角相等. 练一练 解：(1) 如果有两个角是对顶角，那么这两个角相等. 条件：有两个角是对顶角，结论：这两个角相等. (2) 如果有两个角是内错角，那么这两个角相等. 条件：有两个角是内错角，结论：这两个角相等. (3) 如果有两直线被第三条直线所截形成三线八角， 那么其同位角相等； 条件：有两直线被第三条直线所截形成三线八角， 结论：其同位角相等. (4) 如果有两直线平行于同一直线，那么这两直线平行. 条件：有两直线平行于同一直线， 结论：这这两直线平行. (5) 如果有两个角是相等，那么这两角的补角也相等. 条件：有两个角是相等，结论：这两角的补角也相等. 特别规定： 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题. 命题1：“如果一个数能被 4 整除，那么它也能被 2 整除” 观察下列命题，你能发现这些命题有什么不同的特点吗？ 命题 1 是一个正确的命题；命题 2 是一个错误的命题. 命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角” 真命题与假命题 （1）同旁内角互补（ ） （4）两点可以确定一条直线（ ） （2）一个角的补角大于这个角（ ） 判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“×”表示. （5）两点之间线段最短（ ） （3）相等的两个角是对顶角（ ） × （6）同角的余角相等（ ） × √ √ √ × 练一练 做一做：指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果 p，那么 q”的形式： 命题 条件(如果 p) 结论(那么 q) ①能被 2 整除的数是偶数 ②有公共顶点的两个角是对顶角 这个数是偶数 一个数能被 2 整除 这两个角是对顶角 两个角有公共顶点 逆命题 命题 条件(如果 p) 结论(那么 q) ③两直线平行，同位角相等 ④同位角相等，两直线平行 直线所截的同位角相等 两条平行线被第三条直线所截 这两条直线平行 如果两条直线被第三条直线所截的同位角相等 上述命题 ③ 与 ④ 的条件与结论之间有什么联系？ ③两直线平行，同位角相等. ④同位角相等，两直线平行. 命题③与④的条件与结论互换了位置. 将命题“如果 p，那么 q”中的结论和条件互换，便得到一个新命题“如果 p，那么 q”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 例如，上述命题 ③ 与 ④ 就是互逆命题. 从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题. 你还能举出其它的例子吗？ 写出下列命题的逆命题： （1）若两数相等，则它们的绝对值也相等； （2）如果 m 是整数，那么它也是有理数； （3）两直线平行，内错角相等； （4）两边相等的三角形是等腰三角形. 绝对值相等的两个数相等. 如果 m 是有理数，那么它也是整数. 内错角相等，两直线平行. 等腰三角形的两边相等. 练一练 写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假. （1）如果 a = b，则 a2 = b2； （2）等角的余角相等； （3）同位角相等，两直线平行. （1）如果 a2 = b2 ，则 a = b，假命题. （2）如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等， 真命题. （3）两直线平行，同位角相等，真命题. 思考：原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？ 解： 反例 “因为早上我发现老张从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人捌了，我知道老张家没有种玉米.所以我家玉米肯定是老张捌的.” 片段1：一天早上，李老汉来到衙门里告状说：老张刚刚在他地里偷捌（同扒）了一袋子玉米.吕县令立即派衙役将老张拘捕到县衙审讯: 吕县令问李老汉：“你怎知是老张偷了你的玉米?” 这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法. 故事分析 根据李老汉的证明，你能断定玉米是老张偷的吗？你觉得有疑点吗？ 李老汉想证明什么？ 他是怎么证明的？ 片段2：县官一时拿不定主意，就问旁边 的县丞道：“师爷，你怎么看？” 县丞说“这事要证明是老张干的，还 得弄清那袋子里装的是不是刚捌的玉米， 还要看看地里的脚印是不是老张的才行. 如果袋子里装的是刚捌的玉米，且地里的脚印是老张的，那就一定是他偷的.” 从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析. 在分析的过程中，如果发现所需要的条件都已具备，或可从已知条件中推得，那么判断就很容易了. 讨论：我们如何判断一个命题的真假？ 要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可. 例如：相等的两个角是对顶角. 1 2 反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子. 例3 写出下列命题的逆命题，并判断所得的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例. (1)内错角相等，两直线平行； (2)如果 a = 0，那么 ab = 0. 解 ： (1)逆命题：两直线平行，内错角相等，是真命题. (2)逆命题：如果 ab = 0，那么 a = 0，是假命题. 反例：当 a = 1，b = 0 时，ab = 0. 分析：要证明 AB，CD 平行，可以找同位角相等的条件，图中∠1 与∠3 就是同位角. 我们只要找出能说明它俩相等的条件就行了. 从图中，我们可以发现∠2 与∠3 是对顶角，所以∠3 = ∠2. 又已知∠1 = ∠2，这样我们就找到了∠1 =∠3 的确切条件了. 例4 如图，∠1 =∠2，试说明直线 AB，CD 平行. 证明：因为∠2 与∠3 是对顶角， 所以∠2 = ∠3. 又因为∠1 = ∠2， 所以∠1 = ∠3， 且∠1 与∠3 是同位角. 所以 AB 与 CD 平行. 证明： ∵∠2 与∠3 是对顶角， ∴∠3 =∠2. 又∵∠1 =∠2， ∴∠1 =∠3. ∴ AB∥CD. 例5 如图，∠1 =∠2，试说明直线 AB，CD 平行. 1.下列语句中，不是命题的是(　　) A. 两点之间线段最短 B. 对顶角相等 C. 不是对顶角不相等 D. 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的垂线 D 2.下列命题中，是真命题的是(　　) A. 若 a · b＞0，则 a＞0，b＞0 B. 若 a · b＜0，则 a＜0，b＜0 C. 若 a · b＝0，则 a＝0 且 b＝0 D. 若 a · b＝0，则 a＝0 或 b＝0 D 当堂练习 3. 下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？ 1) 猪有四只脚； 2) 内错角相等； 3) 画一条直线； 4) 四边形是正方形； 是 真命题 否 是 假命题 是 假命题 27 5) 你的作业做完了吗？ 6) 内错角相等，两直线平行； 7) 同垂直于一直线的两直线平行； 8) 过点 P 画线段 MN 的垂线； 9) x＞2. 否 是 真命题 是 假命题 否 否 28 4. 举反例说明下列命题是假命题． (1) 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2) 若 ab＝0，则 a＋b＝0. 解：(1) 两条直线平行形成的内错角，这两个角不 是对顶角，但是它们相等. (2) 当 a＝5，b＝0 时，ab＝0，但 a＋b ≠ 0. 真命题 假命题 公理 定理 （只需举一个反例） （不需证明） （由推理证实） 1.命题的定义： 2.命题的组成： 3.命题的分类： 判断一件事情的句子 题设和结论 课堂小结 $$