第12章 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

小结与复习 第12章 一次函数 优翼数学教学课件（HK）八上 1. 常量与变量 叫变量， 叫常量. 数值发生变化的量 数值始终不变的量 一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x ， y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 一、函数 2.函数定义： 要点梳理 3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 列表法 解析法 图象法 5.函数的三种表示方法： 4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线 一次函数 一般地，如果y ＝ kx＋b (k、b 是常数，k ≠ 0)，那么 y 叫做 x 的一次函数. 正比例函数 特别地，当 b＝____时，一次函数 y ＝ kx＋b变为 y＝ _____(k为常数，k ≠ 0)，这时 y 叫做 x 的正比例函数. 0 kx 二、一次函数 1.一次函数与正比例函数的概念 2.分段函数 当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数. 函数 字母系数取值 (k＞0 ) 图象 经过的象限 函数性质 y＝kx + b (k ≠ 0) b＞0 y 随 x 增大而 增大 b=0 b＜0 第一、三象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 3.一次函数的图象与性质 函数 字母系数取值 (k＜0 ) 图象 经过的象限 函数性质 y＝kx+b (k ≠ 0) b＞0 y 随 x增大而 减小 b＝0 b＜0 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 求一次函数解析式的一般步骤： （1）先设出函数解析式； （2）根据条件列关于待定系数的方程（组）； （3）解方程（组）求出解析式中未知的系数； （4）把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式.这种求解析式的方法叫待定系数法. 4.用待定系数法求一次函数的解析式 求 ax + b = 0 (a，b 是 常数，a ≠ 0)的解． x 为何值时，函数 y = ax + b 的值为 0？ 从“数”的角度看 求 ax + b = 0 (a，b 是 　 常数，a ≠ 0) 的解． 　求直线 y = ax + b 与 x 轴交点的横坐标． 从“形”的角度看 (1)一次函数与一元一次方程 5.一次函数与方程、不等式 解不等式 ax+b＞0 (a，b是常数，a ≠ 0) ． 　x 为何值时，函数 　y = ax + b 的值大于 0？ 解不等式 ax + b＞0 (a，b 是常数，a ≠ 0) ． 求直线 y = ax + b 在 x 轴上方的部分 (射线)所对应的横坐 标的取值范围． 从“数”的角度看 从“形”的角度看 (2)一次函数与一元一次不等式 9 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y = kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． (3)一次函数与二元一次方程组 方程组的解 对应两条直线交点的坐标. 利用图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①两个方程分别转化为一次函数 ②在同一坐标系中画出两个函数图象 ③找出图象交点坐标 ④写出方程组的解 考点一 函数的有关概念及图象 例1 王大爷饭后出去散步，从家中走 20 分钟到离家 900 米的公园，与朋友聊天 10 分钟后，用 15 分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家时间 x（分钟）与离家距离 y（米）之间的关系是（ ） A B C D 【分析】对四个图依次进行分析，符合题意者即为所求． 【答案】D D O O O O 考点讲练 利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数问题的相应解决． 方法总结 针对训练 1.下列变量间的关系不是函数关系的是（ ） A. 长方形的宽一定，其长与面积 B. 正方形的周长与面积 C. 等腰三角形的底边长与面积 D. 圆的周长与半径 C 2.函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A. x＞3 B. x＜3 C. x≤3 D. x≥-3 B 3.星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程 y（千米）和所用的时间 x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（ ） A.小强从家到公共汽车站步行了 2 千米 B.小强在公共汽车站等小明用了 10 分钟 C.公交车的平均速度是 34 千米/时 D.小强乘公交车用了 30 分钟 C x(分) y(千米) 考点二 一次函数的图象与性质 例2 已知函数 y = (2m+1) x + m﹣3； (1)若该函数是正比例函数，求 m 的值； (2)若函数的图象平行直线 y = 3x﹣3，求 m 的值； (3)若这个函数是一次函数，且 y 随着 x 的增大而减小，求 m 的取值范围； (4)若这个函数图象过点（1，4），求这个函数的解析式. 【分析】(1)由函数是正比例函数得 m-3=0且2m+1≠0；(2)由两直线平行得 2m+1=3；(3)一次函数中 y 随着 x 的增大而减小，即 2m+1＜0；(4)代入该点坐标即可求解. 解：(1)∵函数是正比例函数，∴m﹣3 = 0，且 2m + 1 ≠ 0， 解得 m = 3. (2)∵函数的图象平行于直线 y = 3x﹣3，∴2m + 1 = 3， 解得 m = 1. (3)∵y 随着 x 的增大而减小，∴2m + 1＜0，解得 m＜    ． (4)∵该函数图象过点(1，4)，代入得 2m + 1 + m - 3 = 4， 解得 m = 2，∴该函数的解析式为 y = 5x - 1. 一次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标就是 y = kx + b 中 b 的值；两条直线平行，其函数解析式中的自变量系数 k 相等；当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小. 方法总结 针对训练 4.一次函数 y = -5x + 2 的图象不经过第______象限. 5.点（-1，y1），（2，y2）是直线 y = 2x + 1上两点，则 y1____y2. 三 ＜ 6.填空题： 有下列函数：①　　　　 ，②　　 ，③ ，④ . 其中函数图象过原点的是_____；函数 y 随 x 的增大而增大的是________；函数 y 随 x 的增大而减小的是_____；图象在第一、二、三象限的是______. ② ③ ①②③ ④ x y 2 = 考点三 一次函数与方程、不等式 例3 如图，一次函数 y1 = x + b 与一次函数 y2 = kx + 4 的图象交于点 P（1，3），则关于 x 的不等式 x + b＞kx + 4 的解集是（ ） y x O y1=x+b y2=kx+4 P A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1 1 3 C 【分析】观察图象，两图象交点为 P(1，3)，当 x＞1 时，y1 在 y2 上方， 据此解题即可.【答案】C． 本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻求一次函数 y = ax + b 的值大于(或小于) 0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 y = kx + b 在 x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标的取值范围. 方法总结 针对训练 7.方程 x + 2 = 0 的解就是函数 y = x + 2 的图象与（ ） A. x 轴交点的横坐标 B. y 轴交点的横坐标 C. y 轴交点的纵坐标 D. 以上都不对 8.两个一次函数 y = -x + 5 和 y = -2x + 8 的图象的交点坐标是 _________. A (3，2) (1)问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；(2)若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元，搭配一个 B 种造型的成本是 960 元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 例4 为美化某市景，园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A、B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆，乙种花卉 40 盆，搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花卉 90 盆． 考点四 一次函数的应用 解：设搭配 A 种造型 x 个，则 B 种造型为 (50－x)个， 依题意，得 ∴31≤x≤33. ∵x 是整数，x 可取 31，32，33， ∴可设计三种搭配方案： ①A 种园艺造型 31 个，B 种园艺造型 19 个； ②A 种园艺造型 32 个，B 种园艺造型 18 个； ③A 种园艺造型 33 个，B 种园艺造型 17 个． 解得 方案①需成本：31×800＋19×960＝43040(元)； 方案②需成本：32×800＋18×960＝42880(元)； 方案③需成本：33×800＋17×960＝42720(元)． （2）方法一： 方法二：成本为 y＝800x＋960(50－x)＝－160x＋48000(31≤x≤33)． 根据一次函数的性质，-160＜0，y 随 x 的增大而减小， 故当 x ＝ 33 时，y 取得最小值，为 33×800＋17×960＝42720(元)． 即最低成本是 42720 元． 用一次函数解决实际问题，先理解清楚题意，把文字语言转化为数学语言，列出相应的不等式(方程)，若是方案选择问题，则要求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系，结合实际需求，选择最佳方案. 方法总结 9.李老师开车从甲地到相距 240 千米的乙地，如果油箱剩余油量 y (升)与行驶里程 x (千米)之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是多少升？ 针对训练 解：设一次函数的解析式为 y＝kx＋35， 将(160，25)代入，得160k＋35＝25， 解得 k＝ ， 所以一次函数的解析式为 y＝ x＋35. 再将 x＝240 代入 y＝ x＋35， 得 y＝ ×240＋35＝20. 即到达乙地时油箱剩余油量是 20 升． 10.小星以 2 米/秒的速度起跑后，先匀速跑 5 秒，然后突然把速度提高 4 米/秒，又匀速跑 5 秒.试写出这段时间里他的跑步路程 s（单位：米）随跑步时间 x（单位：秒）变化的函数关系式，并画出函数图象. 解:依题意得 s={ 2x (0≤x≤5) 10 + 6(x-5) (5＜x≤10) 10 0 s(米) 5 0 x(秒) ① 40 10 s(米) 10 5 x(秒) ② x(秒） s(米) O · · · · 5 10 10 40 · · · s =2x (0≤x≤5) s= 10 + 6(x -5) (5＜x≤10) 变 量 解析法 一次函数 y = kx + b (k，b 为常数， 且 k ≠ 0)，特例 y = kx (k 为常 数，且 k ≠ 0). 函 数 列表法 图象法 一次函数与一元一次 方程、一元一次不等式 一次函数与二 元一次方程 课堂小结 用待定系数法求一次函数的解析式 2. 根据已知条件列出关于k、b的方程组； 1. 设所求的一次函数解析式为y = kx+b； 3. 解方程，求出k、b； 4. 把求出的k，b代回解析式即可. 利用一次函数进行方案决策 ②列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系 ③结合实际需求，选择最佳方案 ①从数学的角度分析问题，建立函数模型 见教材章末练习 课后作业 $$