第13章 全等三角形 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（华东师大版）

小结与复习 第13章 全等三角形 优翼数学教学课件（HS）八上 1．命题 表示判断的语句叫做　 　. 注意两点“判断”和“语句”．所谓判断就是要作出肯定或否定的回答，一般形式：“如果……，那么……”“若……，则……”“……是……”等，但是，如“连结 A、B 两点”就不是命题；所谓语句，要求完整，且是陈述句，不是疑问句、祈使句等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题． 命题 要点梳理 2．命题的组成 许多命题都是由　 　和　 　两部分组成的． 条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式，用 “如果”开始的部分是条件，“那么”开始的部分是结论． 条件 结论 3．命题的真假 命题有真有假，其中正确的命题叫做　 　；错误的命题叫做　 　. 事实上，要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．要说明一个命题是真命题需根据基本事实和定理证明． 真命题 假命题 4．基本事实与定理 经过长期的实践总结出来，并把它们作为判断其他的命题真假的原始依据，这样的真命题叫做　 　. 从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做　 　. 基本事实 定理 5．判定三角形全等 主要有五种方法：(1)全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相等的两个三角形　 　；(2)三边对应相等的两个三角形　 　(简记为：S.S.S.)；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形　 　(简记为：A.S.A.)； (4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为：A.A.S.)；(5)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为：S.A.S.)．若是直角三角形，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为：H.L.)． 全等 全等 全等 6．证全等三角形的思路 S. S. S. S. A. S. H. L. A. A. S. S. A. S. A. S. A. A. A. S. A. S. A. A. A. S. 7．全等三角形的性质 (1) 全等三角形的对应边相等，对应角相等； (2) 全等三角形的面积相等，周长相等； (3) 全等三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)相等． 8．等腰三角形的性质和判定 (1) 性质：等腰三角形的两底角相等，简写成“等边对等角”． (2) 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合. (简称“三线合一”) (3) 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”，它的逆定理应该是“等边对等角”． 9．等边三角形 (1) 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60°. (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形． 10．尺规作图 把只能使用　 　这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图． 11．常见的基本作图 (1) 作　 　等于已知线段；(2)作一个角等于　 　角；(3) 作已知角的平分线； (4) 过一已知点作已知直线的　 　； (5) 作已知线段的垂直　 　线． 没有刻度的直尺和圆规 一条线段 已知 垂线 平分 12．互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的　 　，而第一个命题的结论是第二个命题的　 　 ，那么这两个命题叫做互逆命题． 13．逆命题 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成　 　 ，并将结论改成　 　，便可以得到原命题的逆命题． 结论 条件 结论 条件 [注意] 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题．但原命题正确，它的逆命题未必正确．如对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题． 14．逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 　定理． [注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理． 逆 15．垂直平分线 线段垂直平分线上的点到　 　 . 它的逆定理是： 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的　 . [注意] 前面是线段垂直平分线的性质，后面是线段垂直平分线的判定． 垂直平分线上 线段两端点的距离相等　 16．角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 它的逆定理是： 到角的两边距离相等的点在　 　. [注意] 前面是角平分线的性质，后面是角平分线的判定． 角的平分线上 考点一 判断命题真假 例1 下列命题中是假命题的是(　　) A．三角形的内角和是 180° B．多边形的外角和都等于 360° C．五边形的内角和是 900° D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 C 【解析】要说明一个命题是真命题，需要经过证明它是正确的．对于 A、B、D 来说，都是经过证明，被认为是正确的，而五边形的内角和是 540°，故不正确，选 C. 考点讲练 命题这部分内容的概念多、理论性强，看似杂乱无章，其实只要抓住三点，一切问题也就迎刃而解．主要是识别命题、找出命题的条件和结论、会判断命题的真假． 方法总结 针对训练 1.下列命题：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；其中真命题的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 C　 考点二 全等三角形的性质 例2 如图，已知△ABC≌△DEF，请指出图中对应边和对应角. A B C F D E DF DE EF ∠D ∠E ∠F 角 角 角 边 边 边 AC = AB = BC = ∠A = ∠B = ∠C = 【分析】根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”解题. 两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角；有对顶角的，两个对顶角一般是一对对应角；有公共边的，公共边一般是对应边；有公共角的，公共角一般是对应角. 方法总结 2.如图，已知△ABC≌△AED，若 AB＝6，AC＝2，∠B＝25°，你还能说出△ADE 中其他角的大小和边的长度吗？ A B C E D 解：∵△ABC≌△AED， 　　 ∴∠E = ∠B = 25° （全等三角形对应角相等）， AC = AD = 2，AB = AE = 6 （全等三角形对应边相等）. 针对训练 例3 已知∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC. 求证：△ABC≌△DCB． ∠ABC＝∠DCB (已知)， BC＝CB (公共边)， ∠ACB＝∠DBC (已知)， 证明：在△ABC 和△DCB 中， ∴△ABC≌△DCB (A. S. A. ). B C A D 分析：运用“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”进行判定． 考点三 全等三角形的判定 3. 已知△ABC 和△DEF，下列条件中，不能保证△ABC 和△DEF 全等的是 ( ) A. AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF B. ∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF C. AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D D. AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F D 针对训练 4. 如图，AB 与 CD 相交于点 O，OA = OB， 添加条件： ，可得△AOC≌△BOD，理由是 (添加一种合适的情况即可). A O D C B ∠C =∠D A. A. S. 答案不唯一 考点四 全等三角形的性质与判定的综合应用 例4 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点 G，交 AB 于点 E，EF∥BC 交 AC 于点 F. 求证：∠DEC =∠FEC. A B C D F E G 分析： 欲证∠DEC =∠FEC 由平行线的性质转化为证明∠DEC =∠DCE 只需要证明△DEG≌△DCG 证明：∵ CE⊥AD，∴∠AGE =∠AGC = 90°. 在△AGE 和△AGC 中， ∠AGE =∠AGC， AG = AG， ∠EAG =∠CAG， ∴△AGE≌△AGC (A. S. A. ). ∴ GE = GC. ∵ AD 平分∠BAC，∴∠EAG =∠CAG. A B C D F E G 在△DGE 和△DGC 中， EG = CG， ∠EGD =∠CGD， DG = DG， ∴△DGE≌△DGC (S. A. S. ). ∴∠DEG = ∠DCG. ∵ EF∥BC， ∴∠FEC = ∠DCG. ∴∠DEC = ∠FEC. A B C D F E G 利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时需添加辅助线. 方法总结 5. 如图，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足为 B，C，OB = OC，那么∠BAO =∠CAO 吗？为什么？ O C B A 解：∠BAO =∠CAO. 理由如下： ∵ OB⊥AB，OC⊥AC， ∴∠B =∠C = 90°. 在 Rt△ABO 和 Rt△ACO 中， AO = AO， OB = OC， ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO (H. L. ). ∴∠BAO =∠CAO. 针对训练 考点五 利用全等三角形解决实际问题 例5 如图，两根长均为 12 米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ A B C D 分析：将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明 BD = CD. 由已知条件可知 AB = AC，AD⊥BC. A B C D 解：相等. 理由如下： ∵ AD⊥BC， ∴∠ADB =∠ADC = 90°. 在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中， AD = AD， AB = AC， ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC (H. L. ). ∴ BD = CD. 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤： （1）先明确实际问题； （2）根据实际抽象出几何图形； （3）经过分析，找出证明途径； （4）书写证明过程. 方法总结 针对训练 6. 如图，有一湖的湖岸在 A、B 之间呈一段圆弧状，A、B 间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出 A、B 间的距离吗？ 解：要测量 A、B 间的距离，可用如下方法：过点 B 作 AB 的垂线 BF，在 BF 上取两点 C、D，使 CD = BC，再作出 BD 的垂线 DE，使 A、C、E 在一条直线上. 在△ABC 和△EDC 中， ∠ACB =∠ECD， CB = CD， ∠ABC =∠EDC， ∴△ABC≌△EDC（A. S. A. ）． ∴ BA = DE． 故测出 DE 的长就等于 A、B 间的距离． C D E F 考点六 等腰（等边）三角形的性质与判定 例6 如图所示，在△ABC中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.求证： ∠BAC = 2∠DBC. A B C D ) ) 1 2 E 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，来获取角的数量关系. 证明：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，如图， 则 ∵ AB = AC，∴ AE⊥BC. ∴∠2 +∠C = 90°. ∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠C = 90°. ∴∠2 =∠DBC. ∴∠BAC = 2∠DBC. A B C D ) ) 1 2 E 在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常见的辅助线的作法是作顶角的平分线(或底边上的高、中线)，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质，实现线段或角之间的相互转化. 方法总结 针对训练 7. 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠ACB = 90°，点 D 是 AC 上的一点，AE 垂直 BD 的延长线于点 E，且 AE = BD. 求证：BD 平分∠ABC. 证明：延长 AE 交 BC 的延长线于点 F，如图所示. ∵∠ACB = 90°，∴∠ACF = ∠ACB = 90°. ∵∠F +∠FAC = 90°，∴∠F +∠EBF = 90°. C F A B D E ) ) 1 2 ∴∠FAC =∠EBF. 在△ACF 和△BCD 中， ∵ ∠FAC =∠DBC， AC = BC， ∠ACF =∠BCD， ∴ △ACF≌△BCD (A. S. A. ). ∴ AF = BD. C F A B D E ) ) 1 2 ∵AE = BD， ∴ AE = EF. 在△AEB 和△FEB 中， ∵ AE = FE， EB = EB， ∠AEB =∠FEB， ∴ △AEB≌△FEB (S. A. S. ). ∴ ∠1 =∠2， 即 BD 平分∠ABC. 考点七 等边三角形的性质与判定 例7 如图，等边△ABC 中，点 D，E，F 分别同时从点A，B，C 出发，以相同的速度在 AB，BC，CA 上运动，连结 DE，EF，DF．求证：△DEF 是等边三角形. 【解析】根据等边三角形的性质得出 ∠A =∠B =∠C = 60°，AB = BC = CA， AD = BE = CF，进一步证得 BD = EC = AF， 即可证得△ADF≌△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出 DE = EF = FD，即可证得△DEF 是等边三角形. A C E B D F 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C = 60°，AB = BC = CA. ∵AD = BE = CF，∴BD = EC = AF. 在△ADF，△BED 和△CFE 中， AD＝BE＝CF， ∠A＝∠B＝∠C， BD＝CE＝AF， ∴△ADF≌△BED≌△CFE (S. A. S. ). ∴DE = EF = FD. ∴△DEF 是等边三角形. A C E B D F 8. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、A 在直线 DC 的同侧，连结 AE. 求证：△DBC≌△EAC. 针对训练 证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形， ∴∠BCA＝DCE＝60°，BC＝AC，DC＝EC， ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC 和△EAC 中， ∵ BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC， ∴ △DBC≌△EAC(S. A. S. ). 9.如图，△ABC 为等边三角形，又 DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为 E，F，D，则△DEF 是等边三角形吗？说明你的理由． 解：△DEF 是等边三角形．理由如下： ∵ EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC 为等边三角形， ∴ ∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°. ∴ ∠AFD＝30°. ∴∠DFE＝60°. 同理可证∠FDE＝∠DEF＝60°， ∴ △DEF 是等边三角形． 例8 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC 的依据是(　　) 考点八 尺规作图 A．S. S. S. B．A. S. A. C．A. A. S. D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【解析】 由作法可得 OM＝ON， MC＝NC，∵OC＝OC， ∴△ONC≌△OMC (S. S. S. )．故选 A. A 作角的平分线，实际上就是平分已知角．其理论依据是判定三角形全等的依据“S. S. S. ”. 方法总结 针对训练 10. 如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′ =∠AOB 的依据是（　　） A．S. A. S. B．S. S. S. C．A. A. S. D．A. S. A. B D 11. 如图，已知在△ABC 中，AB = AC． (1) 试用直尺和圆规在 AC 上找一点 D，使 AD = BD(不写作法，但需保留作图痕迹)． (2) 在(1)中，连接 BD，若 BD = BC，求∠A 的度数. 解：(1) 如图所示. (2) 设∠A = x，∵AD = BD，∴∠DBA =∠A = x， 在△ABD 中，∠BDC =∠A +∠DBA = 2x. 又∵BD = BC，∴∠C =∠BDC = 2x. 又∵AB = AC，∴∠ABC =∠C = 2x. 在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠C = 180°， 即 x + 2x + 2x = 180°，∴ x = 36°． 例9 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假． (1) 如果 a＝0，那么 ab＝0； (2) 如果点 P 到线段 AB 两端点的距离相等，那么 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 考点九 命题与逆命题 【解析】写一个命题的逆命题，将命题的条件和结论交换位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅． 解：(1) 原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果 ab＝0，那么 a＝0. 逆命题为假． (2) 原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果 P 在线段 AB 的垂直平分线上，那么点 P 到线段 AB 两端点的距离相等．其逆命题也是真命题． (1) 写出一个命题的逆命题关键是分清它的条件和结论，然后将条件和结论互换. 将命题的条件和结论交换位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅． (2) 原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，其逆命题不一定是假命题. 要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可；而要判断一个命题是真命题，则需通过推理论证得出. 方法总结 针对训练 12. 写出下列命题的逆命题，并判断其真假： (1) 若 x = 1，则 x2 = 1； (2) 若| a | = | b |，则 a = b. 解：(1) 逆命题：若 x2 = 1，则 x = 1．是假命题. (2) 逆命题：若 a = b，则 | a | = | b |．是真命题. 例10 如图，△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝4.5，分别以 A、B 为圆心，4 为半径画弧交于两点，过这两点的直线交 AC 于点 D，连结 BD，则△BCD 的周长是________． 考点十 线段垂直平分线 【解析】由题意可知过这两点的直线 其实是 AB 边的垂直平分线，根据垂直 平分线的性质，可以得 BD＝AD. ∵AC＝6，BC＝4.5，∴△BCD 的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC＝6＋4.5＝10.5. 10.5 方法总结 本题集垂直平分线的画法、垂直平分线的性质、整体的思想、转化的思想于一题求线段的长，是中考的一个新的题型． 针对训练 13. 如图，已知△ABC，直线 PM 是线段 AC 的垂直平分线，射线 AP 是∠BAC 的平分线，P 是两线的交点，且 CP＝3 cm，PM＝2 cm，求点 P 到直线 AB 的距离及到 A 点的距离． 解：∵ 点 P 在线段 AC 的垂直平分线上， ∴ PA＝PC. ∵ CP＝3 cm，∴ PA＝3 cm. ∵ AP 是∠BAC 的平分线， ∴ 点 P 到 AB 的距离等于 PM 的长． ∴ 点 P 到 AB 的距离等于 2 cm，到 A 点的距离为 3 cm. 考点十一 角平分线 例11 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点， ∠PCB + ∠BAP = 180°，求证：PA = PC. B A C N ) ) 1 2 P 【解析】由角平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线段 PE，PF，构造角平分线的基本图形. E F 证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F. B A C N ) ) 1 2 P E F ∵ ∠1 =∠2，PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F. ∴ PE = PF，∠PEA = ∠PFC = 90°. ∵ ∠PCB + ∠BAP = 180°，又知∠BAP +∠EAP = 180°. ∴ ∠EAP =∠PCB. 在△APE 和△CPF 中， ∠PEA = ∠PFC = 90°， ∠EAP = ∠FCP， PE = PF， ∴△APE≌△CPF (A. A. S. ). ∴ AP = CP. 角的平分线的性质是证明 线段相等的常用方法.应用时要依托全 等三角形发挥作用.作辅助线有两种思 路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图； 另一种是构造轴对称图形. A C N ) ) 1 2 P 【证法 2 思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形. 方法是在 BC 上截取 BD = AB，连接 PD (如图). 则有△PAB≌△PDB，再证△PDC 是等腰三角形即可获证. B 证明过程请同学们自行完成！ D 方法总结 14. 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点， PA = PC，求证：∠PCB +∠BAP = 180°. 针对训练 【证明】过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC， 垂足分别为 E，F. ∵ ∠1 =∠2，PE⊥BA，PF⊥BC， ∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°. 在 Rt△APE 和 Rt△CPF 中， PA = PC， PE = PF， ∴ Rt△PAE≌Rt△PCF ( H. L. ). B A C N ) ) 1 2 P E F 想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB 与 ∠PAB 有怎样的数量关系呢？ ∴∠EAP =∠FCP. ∵∠BAP +∠EAP = 180°， ∴∠PCB +∠BAP = 180°. B A C N ) ) 1 2 P E F 例12 等腰三角形的周长为 20 cm，其中两边的差为 8 cm，求这个等腰三角形各边的长. 考点十二 本章的数学思想与解题方法 分类讨论思想 【解析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况. 解：若腰比底边长，设腰长为 x cm，则底边长为 (x - 8) cm，根据题意得 2x + x - 8 = 20，解得 x = ， ∴ x - 8 = ；若腰比底边短，设腰长为 y cm，则底边长为(y + 8) cm，根据题意得 2y + y + 8 = 20，解得 y = 4， 根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已知条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰还是底边时，要分两种情况才能使答案不致缺漏，同时，求出答案后要和三角形的内角和定理及三角形三边关系对照，若不符合，则答案不成立，要舍去，这样才能保证答案准确. 方法总结 ∴ y + 8 = 12，但 4 + 4 = 8＜12，不符合题意. 故此等腰三角形的三边长分别为 15. 等腰三角形的两边长分别为 4 和 6，求它的周长. 解：①若腰长为 6，则底边长为 4， 周长为 6 + 6 + 4 = 16； ②若腰长为 4，则底边长为 6， 周长为 4 + 4 + 6 = 14. 故这个三角形的周长为 14 或 16. 针对训练 逆命题与逆定理 命题定理 等腰三角形 全 等 三 角 形 等腰三角形的性质与判定 线段的垂直平分线的性质定理及逆定理 作线段、作角、作角平分线、作垂线、作线段的垂直平分线 三角形的全等 判定：(S. A. S. 、A. S. A. 、 A. A. S.、S. S. S.、H. L. ) 尺规作图 性质：对应边相等，对应角相等 课堂小结 等边三角形的性质与判定 角平分线性质定理及逆定理 见课本课后练习 课后作业 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(已知两边\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(找夹角SAS,找直角HL,找另一边SSS)),\a\vs4\al(已知一,边一角)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(边为角的对边　找任一角AAS,\a\vs4\al(边为角,的邻边)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(找夹角的另一边SAS,找夹边的另一角ASA,找边的对角AAS)))),已知两角\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(找夹边ASA,找任一边AAS)))) $$