13.5.2 线段垂直平分线（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（华东师大版）

13.5 逆命题与逆定理 第13章 全等三角形 2.线段垂直平分线 优翼数学教学课件（HS）八上 高 速 公 路 A B 在某高速公路 l 的同侧，有两个工厂 A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么? 生活中的数学 l 导入新课 如图，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，P 是 MN 上任一点，连结 PA、PB. 将线段 AB 沿 直线 MN 对折，你发现了什么？如何 表达，并简述你的证明过程. M N P A C B 对折后 PA、PB 能够完全重合，PA = PB. 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 线段垂直平分线的性质定理 新课讲授 下面我们来证明刚才得到的结论： 证明： ∵MN ⊥AB（已知）， ∴∠ACP =∠BCP = 90° (垂直的定义). 在△ACP 和△BCP 中， ∵ AC = BC，∠ACP =∠BCP，PC = PC， ∴ △ACP≌△BCP (S. A. S. ). ∴PA = PB (全等三角形的对应边相等). 你能用一句话来描述刚得到的结论吗？ M N P A C B 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 知识归纳 几何语言叙述： ∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 （或 PC⊥AB，AC = BC）， ∴ PA = PB. M N P A C B 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定定理 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上. 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上． 分析：为了证明点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，可以先经过点 Q 作线段 AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段 AB； 也可以先平分线段 AB，设线段 AB 的中点为点 C，然后证明 QC 垂直于线段 AB． 证明：过点 Q 作 MN⊥AB，垂足为点 C， 故∠QCA =∠QCB = 90°. 在 Rt△QCA 和 Rt△QCB 中， ∵ QA = QB，QC = QC， ∴ Rt△QCA≌Rt△QCB（H. L. ）. ∴ AC = BC. ∴ 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上． 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上． 你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？ 知识要点 线段垂直平分线的判定 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 做一做 怎样证明这个结论呢? 点拨：要证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ B C A O l n m l 是 AB 的垂直平分线 m 是 BC 的垂直平分线 OA = OB OB = OC OA = OC 点 O 在 AC的垂直平分线 n 上 证明：连接 PA，PB，PC. ∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上， ∴ PA = PB，PA = PC (线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等). ∴ PB = PC. ∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). B C A P l n m 1.如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是（　　　） A．AB 垂直平分 CD B ．CD 垂直平分 AB C．AB 与 CD 互相垂直平分 D．CD 平分∠ACB Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 2.已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点在组合共有　　种. A 无数 当堂练习 3.下列说法： ①若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段AB； ③若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点； ④若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB． 其中正确的有 （填序号）. ① ② ③ 4.在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA = PB = PC，则点 P 是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 5.如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交交 AC 于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm. A B C D E 16 线段的垂直平分的性质和判定 性质 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课堂小结 $$