13.1.2 定理与证明（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（华东师大版）

13.1 命题、定理与证明 第 13 章 全等三角形 2. 定理与证明 优翼数学教学课件（HS）八上 问题：我们学过的哪些命题是真命题﹖ 1. 两点确定一条直线； 2. 两点之间，线段最短； 3. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 导入新课 基本事实：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实. 例如下列的真命题作为基本事实： 1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条 直线平行； 3.全等三角形的对应边、对应角分别相等． 基本事实与定理 新课讲授 定理： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 比如：“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等，两直线平行”这个基本事实的基础上推理而出的，它又可以作为判定平行线的依据. 基本事实、定理、命题的关系： 命题 真命题 假命题 基本事实（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实） 思 考 （1）一位同学在钻研数学题时发现： 2 + 1 = 3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211， 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？ 试一试：计算一下 2×3×5×7×11 + 1 与2×3×5×7×11×13 + 1，你发现了什么？ 结果都是质数. （2）如果 a = b，那么 a2 = b2. 由此我们猜想：当 a＞b 时，a2＞b2. 这个命题是真命题吗？ （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 不正确，因为 3＞-5，但是 32＜(-5)2 实际上，这是一个正确的结论. 上面的几个例子说明了什么问题？ 探讨归纳 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 定义：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 求证：∠A +∠B = 90°. 证明：∵∠A + ∠B + ∠C = 180°， (三角形的内角和等于 180°)， 又∵∠C = 90° (已知)， ∴∠A +∠B = 180° -∠C = 90°(等式的性质). 典例精析 A B C 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理. 方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据. 在七年级的时候我们学习了平行线的有关性质及其判别方法，哪位同学能说出它的性质和判别方法? 现在我们就用演绎推理的方法来证明下面的判别方法： 例2　内错角相等，两直线平行. A B l1 l2 l3 ( 1 ) 2 )3 已知：如图，直线 l3 分别与 l1，l2 交于点 A，点 B，且∠1 =∠2. 求证：l1∥l2. 你能根据图写出此定理的已知和求证吗？ 证明：∵∠1 =∠2 (已知)，　 ∠1 =∠3 (对顶角相等)， ∴∠2 =∠3 (等量代换).　 ∴ l1∥l2 (同位角相等，两直线平行).　 注意： 如果要证明一个文字语言叙述的证明题，而没有给出图形、已知、求证，我们要证明这个命题，就必须： 1. 首先根据命题的要求准确的画出图形，标出字母. 2. 再根据要求按照图中所标的字母用数学语言写出已知和求证. 3. 如果命题已给出已知和求证，那么就按照所学有关的基本事实、定理、性质等直接进行证明. 1. 已知：如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O， ∠AOC 与∠BOD 是对顶角. 求证：∠AOC =∠BOD. 证明： 已知 ∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°， 补角的定义 ∴ ∠AOC =∠BOD ( ). 同角的补角相等 ∵直线 AB 与直线 CD 相交于点 O ( )， ∠BOD＋∠AOD＝180° ( ). 当堂练习 2. 用演绎推理证明下面的定理： (1) 同旁内角互补两直线平行； (2) 三角形的外角和等于 360°. 证明：(1) 如图，∵∠1 +∠2＝180°，∠1 +∠3＝180°. ∴∠2＝∠3．∴ l1∥l2 (同旁内角互补两直线平行). (2) 如图，∵∠1 +∠ACB＝180°， ∠2 +∠BAC＝180°，∠3 +∠ABC＝180°， ∠ACB +∠BAC +∠ABC＝180°， ∴∠1 +∠2 + ∠3＝180°. A B l1 l2 l3 ( 1 ) 2 )3 A B C ) 1 2 ) ) 3 定理与证明 基本事实 定理的概念 证明 步骤：(1) 根据题意作出图形； (2) 写出已知和求证； (3) 写出证明的过程 概念 课堂小结 $$