第12章 整式的乘除 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（华东师大版）

小结与复习 第12章 整式的乘除 优翼数学教学课件（HS）八上 1．幂的运算法则 法则名称 文字表示 式子表示 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数 ，指数 . am•an＝　 .　(m、n 为正整数) 幂的乘方 幂的乘方,底数 ，指数 . (am)n＝ . (m、n 为正整数) 积的乘方 积的乘方，等于把积的每个因式分别 ，再把所得的幂 . (ab)n＝ . (n 为正整数) am＋n amn anbn　 不变 相乘 相加 不变 相乘 乘方 要点梳理 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数 ，指数 . am÷an＝ . (a ≠ 0，m、n 为正整数，且 m＞n) 相同点 运算中的 不变，只对 运算 不同点 （1）同底数幂相乘是指数 . （2）幂的乘方是指数 . （3）积的乘方是每个因式分别 . （4）同底数幂相除是指数 . 不变 相减 底数 指数 相加 相乘 乘方 相减 am－n [注意] (1)其中的 a、b 代表的不仅可以是单独的数、单独的字母，还可以是一个任意的代数式； (2)这几个法则容易混淆，计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则． 2．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的　 　、　 分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个　 　. 单项式与多项式相乘，用　 　 和　 　 的每一项分别相乘，再把所得的积　 　. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的　 　与另一个多项式的　 　相乘，再把所得的积　 　. 系数 相同字母的幂 因式 单项式 多项式 相加 每一项 每一项 相加 3．乘法公式 公式名称 两数和乘以这两数的差 两数和(差)的平方 文字表示 两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方差 两数和(差)的平方，等于这两数的　 　加上(减去)　 　的 2 倍 式子表示 (a＋b)(a－b)＝ . (a±b)2＝ .　　 平方和 这两数积 a2－b2 a2 ± 2ab ＋ b2 结构特点 ①左边是两个　　项式相乘，这两个二项式中有一项　 　，另一项　 . ②右边是　　项式，是乘式中两项的　 　 ，即相同项的平方与相反项的平方的差. ①左边是一个　　项式的和(或差)的　 　；②右边是　　项式，是左边二项式中两项的 　 ，再 (或减去)它们　　的 2 倍. 二 完全相同 互为相反数 二 平方差 二 平方 三 平方和 加上 积 顺口溜 和差积，平方差 首平方，尾平方，首尾两倍中间放，加减看前方，同加异减 公式的常 用变形 a2＝　 　(a－b)＋b2； b2＝　　－(a＋b)(a－b). a2＋b2＝(a＋b)2－ ，　　 a2＋b2＝(a－b)2＋ 　； (a＋b)2＝(a－b)2＋ .　 (a＋b) 2ab 2ab 4ab a2 [点拨] (1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算； (2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式． 4．整式的除法 (1)单项式除以单项式 单项式相除，把　 　、　 　分别相除作为商的 　 ，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个　 　. 系数 同底数幂 因式 因式 (2)多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个　 ，再把所得的商　 　. [点拨] 多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式除以单项式． 单项式 相加 5．因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的　　的形式，叫做多项式的因式分解． 因式分解的过程和　 　的过程正好相反． 6．用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的　 ；字母取多项式各项　 　的字母；各字母指数取次数最　　的． 积 整式乘法 最大公约数 相同 低 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到 　外面，将多项式写成　 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． [注意] 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时先要考虑多项式的各项有无公因式． 括号 因式乘积 7．用公式法分解因式 把　 　反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．这两个公式是： (1)逆用平方差公式 ＝　 　； (2)逆用两数和(差)的平方公式 ＝ . 乘法公式 (a＋b)(a－b) a2－b2 a2±2ab＋b2 (a±b)2 [点拨] 这里的两个公式是用来分解因式的，与乘法公式刚好左右互换．运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数、次数、系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数、字母、单项式或多项式，只有符合公式的特征时才能运用公式． 8．因式分解的步骤 (1)如果多项式的各项有公因式，那么先　 　； (2)在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用　 　公式分解因式；三项式可以尝试运用　 　公式分解因式； (3)分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能 　为止． 提取公因式 平方差 两数和(差)的平方 再分解 9．图形面积与代数恒等式 很多代数恒等式(如平方差公式、两数和(差)的平方公式等)都可以用平面几何图形的　 　来说明其正确性，方法是把图形的面积用不同的方式表示，根据列出的代数式　 　，然后得到代数恒等式． 面积 相等 考点一 幂的运算性质 例1 计算： （1）(2a)3(b3)2÷4a3b4； （2）(-8)2023×(0.125)2022. 【解析】（1）幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除；（2）可以先用同底数幂的乘法的逆运算，将 (-8)2023 化为 (-8)×(-8)2022，再用积的乘方的性质的逆运算进行计算. 【答案】（1）原式 = 8a3b6÷4a3b4 = 2a3-3b6-4 = 2b2. （2）原式 = (-8)×(-8)2022×(0.125)2022 = (-8)×[(-8)×0.125]2022 = -8. 考点讲练 方法总结 针对训练 幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正. 1.下列计算不正确的是（ ） A. 2a3÷a = 2a2 B. (-a3)2 = a6 C. a4 · a3 = a7 D. a2 · a4 = a8 D 2. 计算：0.252022×(-4)2022 - 8100×0.5301. 解：原式 = [0.25×(-4)]2022 - (23)100×0.5300×0.5 = 1 - (2×0.5)300×0.5 = 1 - 0.5 = 0.5 . 解：∵ 420 = (42)10 = 1610，1610＞1510， ∴ 420＞1510. 3. 比较大小：420 与 1510. 考点二 整式的运算 例2 计算： [x(x2y2 - xy) - y(x2 - x3y)]÷3x2y，其中 x = 1，y = 3. 【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则. 解：原式 = (x3y2 - x2y - x2y + x3y2)÷3x2y = (2x3y2 - 2x2y)÷3x2y = . 当 x = 1，y = 3 时， 原式 = . 方法总结 整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的. 针对训练 4.一个长方形的面积是 a3 - 2ab + a，宽为 a，则长方形的长为 . 5.已知多项式 2x3 - 4x2 - 1 除以一个多项式 A，得商为 2x，余式为 x - 1，则这个多项式是 . a2 - 2b + 1 考点三 整式的乘法公式的运用 例3 先化简，再求值：[(x - y)2 + (x + y)(x - y)]÷2x，其中 x = 3，y = 1.5. 解：原式 = (x2 - 2xy + y2 + x2 - y2) ÷2x = (2x2 - 2xy)÷2x = x - y. 当 x = 3，y = 1.5 时，原式 = 3 - 1.5 = 1.5 . 方法总结 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度. 针对训练 6.求方程 (x - 1)2 - (x - 1)(x + 1) + 3(1 - x) = 0 的解. 解：∵ x2 + 9y2 + 4x - 6y + 5 = 0， ∴ (x2 + 4x + 4) + (9y2 - 6y + 1) = 0. ∴ (x + 2)2 + (3y - 1)2 = 0. ∴ x + 2=0，3y - 1 = 0. 解得 x = -2，y = . ∴ 7.已知 x2 + 9y2 + 4x - 6y + 5 = 0，求 xy 的值. 解：原方程可化为 - 5x + 5 = 0，解得 x = 1. 考点四 因式分解 例4 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： （1）a2 - 4 + 3a = (a + 2)(a - 2) + 3a； （2）(a + 2)(a - 5) = a2 - 3a - 10； （3）x2 - 6x + 9 = (x - 3)2； （4）3x2 - 2xy + x = x(3x - 2y)2. （1）不是，因为最后不是积的形式. （2）不是，因为从左边到右边是做乘法运算； （3）是； （4）不是，因为令 x = 2，y = 1，左边 = 10，右边 = 32，不是恒等变形. 方法总结 因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止. 针对训练 8.下列变形，是因式分解的是（ ） A. a(x + y) = ax + ay B. x2 + 4xy + y2 - 1 = x(x + 4y) + (y + 1)(y - 1) C. am2 - a = a(m + 1)(m - 1) D. m2 - 9n2 + 3 = (m + 3n)(m - 3n) + 3. C 考点五 本章数学思想和解题方法 转化思想 例5 计算： （1）-2a · 3a2b3 · （2）(-2x + 5 + x2) · (-6x3). 【解析】(1)单项式乘以单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘以单项式可以转化为单项式乘以单项式. 解：（1）原式 = （2）原式 = (-2x)·(-6x3) + 5·(-6x3) + x2·(-6x3) = 12x4 - 30x3 - 6x5. 将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式×多项式 单项式×多项式 单项式×单项式 有理数的乘法和同底数幂的乘法. 方法总结 针对训练 9.计算：(4a - b) • (-2b)2． 解： 原式 = (4a - b) • 4b2 = 16ab2 - 4b3． 31 31 整体思想 例6 若 2a + 5b - 3 = 0，则 4a·32b = . 【解析】已知条件是 2a + 5b - 3 = 0，无法求出 a，b的值因此可以逆用积的乘方先把 4a · 32b.化简为含有与已知条件相关的部分，即 4a · 32b = 22a · 25b = 22a+5b.把 2a + 5b 看做一个整体，因为 2a + 5b - 3 = 0，所以 2a + 5b = 3，所以 4a · 32b = 23 =8. 8 32 32 在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看做一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错. 方法总结 针对训练 10.若 xn = 5，则 (x3n)2 - 5(x2)2n = . 12500 11.若 x + y = 2，则 = . 2 33 33 例7 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可验证公式 . b a a a a b b b b b a - b a2 - b2 = (a + b)(a - b) 数形结合思想 本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形. 由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是将相等的边拼到一起． 方法总结 12.我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如 (2a + b)(a + b) = 2a2 + 3ab + b2，就可以用图①和图②等图形的面积表示. a a a b b ab ab ab a2 a2 b2 图① b2 a2 a2 ab ab ab a a a b b 图② 针对训练 （1）请写出图③所表示的代数恒等式；（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示(a + b)(a + 3b) = a2 + 4ab + 3b2. b b a a b a ab ab ab ab ab a2 a2 b2 b2 图③ 【答案】(1) (2a + b)(a + 2b) = 2a2 + 5ab + 2b2. (2)如图④. 图④ a2 b a ab ab ab ab b2 b2 b2 13.有若干张如图(1)所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为 (2a＋b)，宽为 (a＋b) 的长方形，那么需要A 类卡片___张，B 类卡片___张，C 类卡片___张，请你在图(2)的大长方形中画出一种拼法． (1) (2) 2 1 3 14.图①是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形． (1)求出图①的长方形面积；(2)将四块小长方形拼成如图②所示的正方形，利用阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式 (a＋b)2、(a－b)2、ab 之间的等量关系． 解：(1)(a＋a)(b＋b)＝4ab. (2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab. 幂的运算法则 整式的乘法 整式的除法 乘法公式 （平方差、完全平方公式） 特殊 形式 相反变形 因式分解 （提公因式、公式法） 相反变形 互逆运算 课堂小结 见教材章节复习题 课后作业 $$