12.3.2 两数和（差）的平方（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（华东师大版）

12.3 乘法公式 第12章 整式的乘除 2.两数和（差）的平方 优翼数学教学课件（HS）八上 一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.你发现了什么？ a a b b 直接求：总面积 = (a + b)(a + b) 间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 导入新课 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = . p2 + 2p + 1 (2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = . m2 + 4m + 4 (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . p2－2p + 1 (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = . m2－4m + 4 根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？ (a＋b)2 = . a2 + 2ab + b2 (a－b)2 = . a2－2ab + b2 两数和（或差）平方公式 新课讲授 知识要点 两数和（或差）平方公式 (a + b)2 = ； a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 文字叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的 2 倍. 这两个公式叫做两数和(或差)平方公式(也称完全平方公式). 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同； 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式. a2 b2 ab ab a b a + b a b a2 ab ab (a + b)2 = + 2ab + (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 b2 a + b b2 试一试 观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算： a2 b2 ab ab a b a + b a b a2 ab ab b2 (a + b)2 = + 2ab + (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 b2 a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y2 (1) ( y + )2； = y2 + y + + + 2 • y • 解：( y + )2 = 典例精析 例1 运用两数和（或差）平方公式计算： 解：(2x－3)2 = = 4x2 (2) (2x－3)2. ( a－b )2 = a2 － 2ab + b2 (2x)2 － 2 • (2x) • 3 + 32 － 12x + 9. 试一试 推导两数差的平方公式 (a - b)2 注意到 a - b = a + (- b)，也可以利用两数和的平方公式来计算 这样就得到了两数差的平方公式： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的 2 倍. 例2 计算： （1）(3x - 2y)2； 解：(1)(3x - 2y)2 = (3x)2 - 2 · 3x · 2y + (2y)2 = 9x2 - 12xy + 4y2. 例3 运用两数和（或差）平方公式计算： 解： (4m + n)2 = = 16m2 （1）(4m + n)2； (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 (4m)2 + 2 • (4m) • n + n2 + 8mn + n2. (a - b)2 = a2 - 2 ab + b2 y2 （2）(y - )2. = y2 - y + 解：( y - )2 = + - 2 · y · 思考： (a + b)2 与 (-a - b)2 相等吗? (a - b)2 与 (b - a)2 相等吗? (a - b)2 与 a2 - b2 相等吗? 为什么? (-a - b)2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2. (b - a)2 = [-(a - b)]2 = (a - b)2. (a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等. 只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2. (1) 1022； 解：原式 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. (2) 992. 解：原式 = (100－1)2 = 10000 － 200 + 1 = 9801. 1.运用两数和（或差）平方公式计算： 解题小结：利用两数和(或差)平方公式计算: 1.先选择公式； 3.化简. 2.准确代入公式； 当堂练习 2. 运用乘法公式计算: （1）(x + 2y - 3)(x - 2y + 3)； 原式 = [x + (2y - 3)][x - (2y - 3)] = x2 - (2y - 3)2 = x2 - (4y2 - 12y + 9) = x2 - 4y2 + 12y - 9. 解： （2）(a + b + c)2 原式 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. 解： 解题小结：第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 第(2)题要把其中两项看成一个整体，再按照两数和(或差)平方公式进行计算. (1) (6a + 5b)2； = 36a2 + 60ab + 25b2. (2) (4x - 3y)2 ； = 16x2 - 24xy + 9y2. (3) (2m - 1)2 ； = 4m2 - 4m + 1. (4)( - 2m - 1)2 . = 4m2 + 4m + 1. 3.运用两数和（或差）平方公式计算： 4. 若 a + b = 5，ab = - 6，求 a2 + b2，a2 - ab + b2. 5. 已知 x2 + y2 = 8，x + y = 4，求 x - y. 解：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 52 - 2×(-6) = 37， a2 - ab + b2 = a2 + b2 - ab = 37 - (-6) = 43. 解：因为 x + y = 4，所以 (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 16 ①. 又 x2 + y2 = 8 ②，将 ① - ② 得 2xy = 8 ③. ②－③ 得 x2 + y2 - 2xy = 0，即 (x - y)2 = 0. 解题时常用结论：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab； 4ab = (a＋b)2 - (a - b)2. 故 x - y = 0. 两数和(或差)平方公式 法则 注意 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 3. 常用公式变形式：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab； 4ab = (a＋b)2 - (a - b)2 课堂小结 $$