精品解析：四川省攀枝花市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

2023-2024学年度（下）普通高中教学质量监测 高一数学试题卷 2024.7 本试题卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将答题卡上对应数字标号涂黑. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某中学高一、高二、高三年级的学生分别为900人、950人、1000人，为了解不同年级学生身体素质情况，现用比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级抽取了40人，则其他年级应该抽取的学生人数为（ ） A. 36 B. 38 C. 74 D. 114 2. 下列命题中正确的是（ ） A 三点确定一个平面 B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C. 圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面 D. 四边形可确定一个平面 3. 已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 复数（ ） A. B. i C. D. 1 5. 已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72 6. 已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 将半径为2，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 2022年12月26日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得，，米，在点A处测得碑顶C的仰角为30°，则纪念碑高CD约为（ ）（结果保留整数，参考数据：，） A. 27米 B. 33米 C. 39米 D. 40米 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 一定是纯虚数 10. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚均正面朝上”，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与互斥 11. 下列有关平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知，均为非零向量，若，则 B 若且，则 C. 在中，若，则点为BC边上靠近的三等分点 D. 在平面四边形中，若，则四边形矩形 12. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点，点为线段上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 平面与底面的交线平行于 B. 三棱锥体积为定值 C. 异面直线与CD所成的角为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 一组数据6，7，8，a，12平均数为7，则此组数据的极差为___________. 14. 已知平面向量与的夹角为，且，，则___________. 15. 甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为___________. 16. 正四面体外接球的体积为，则其内切球的表面积为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知点，，. （1）若A，B，C三点共线，求； （2）若，求. 18. 袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. （1）从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ （2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 19. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第75百分位数； （2）现从以上各段中采用样本量比例分配的分层随机抽样再抽取20份答卷作为“典型答卷”进一步统计研究，若落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是82和8，落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是96和1，据此估计这100份答卷中落在的所有答卷的成绩的方差. 20. 如图，平面，，平面. （1）求证：； （2）若，，，求三棱锥的体积. 21. 在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）. （1）求角； （2）设是BC上一点，且，，求面积的最大值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 22. 如图，在正方形中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB. （1）求证：； （2）点M是PD上一点，若直线MF与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度（下）普通高中教学质量监测 高一数学试题卷 2024.7 本试题卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将答题卡上对应数字标号涂黑. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某中学高一、高二、高三年级的学生分别为900人、950人、1000人，为了解不同年级学生身体素质情况，现用比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级抽取了40人，则其他年级应该抽取的学生人数为（ ） A. 36 B. 38 C. 74 D. 114 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出所抽取的总人数，然后可求出其他年级应该抽取的学生人数. 【详解】设三个年级共抽取人，则由题意得 ，解得， 所以其他年级应该抽取的学生人数为. 故选：C 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C. 圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面 D. 四边形可确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据确定平面的依据，判断选项. 【详解】A.由确定平面的依据可知，不共线的三点确定一个平面，故错误； B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故正确； C.根据确定平面的依据，直线和直线外一点确定一个平面，所以应改为圆的一条直径和圆上除直径端点外的一点，可确定一个平面，故错误； D.空间四边形，四点不在同一个平面，故错误； 故选：B 3. 已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知根据投影向量的定义得出即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量是， 所以， 所以，又 所以. 故选：D. 4. 复数（ ） A. B. i C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算及乘方运算计算得解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 5. 已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72 【答案】B 【解析】 【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：B. 6. 已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用面面垂直的判定定理分析判断即可. 详解】对于A，如图，当，时，∥，所以A错误， 对于B，如图，当，时，，所以B错误， 对于C，如图，当，，时，是异面直线，所以C错误， 对于D，因为，，所以∥或， 当时，因为，所以， 当∥时，过直线作平面，，则∥， 因为，所以， 因为，所以， 综上，，所以D正确. 故选：D 7. 将半径为2，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥的底面圆半径及高即可求解. 【详解】设圆锥底面圆半径为，依题意，，解得，圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：A 8. 2022年12月26日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得，，米，在点A处测得碑顶C的仰角为30°，则纪念碑高CD约为（ ）（结果保留整数，参考数据：，） A. 27米 B. 33米 C. 39米 D. 40米 【答案】C 【解析】 【分析】在中利用正弦定理求出，再在中利用可求得. 【详解】在中，，，，则 ， ， 由正弦定理得，， 得，解得， 中，，则由， 得. 故选：C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 一定是纯虚数 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD举反例即可判断；对于BC，结合共轭复数的概念、复数乘法以及复数模的计算公式即可求解. 【详解】对于A，设，则，故A不正确； 对于B，设，则，从而，故B正确； 对于C，设，则，从而，故C正确； 对于D，设，则，从而，当时，是实数，故D错误. 故选：BC. 10. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚均正面朝上”，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与互斥 【答案】BCD 【解析】 【分析】列举法表示，再逐项分析判断即得. 【详解】{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，{(正,正),(正,反)}，{(正,正),(反,正)}，{(正,正)}， 对于A，{(正,正),(正,反),(反,正)}，，A错误； 对于B，{(正,正)}，，B正确； 对于C，{(正,正)}，， 与相互独立，C正确； 对于D，{(反,正),(反,反)}，与不可能同时发生，因此与互斥，D正确. 故选：BCD 11. 下列有关平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知，均为非零向量，若，则 B. 若且，则 C. 在中，若，则点为BC边上靠近的三等分点 D. 在平面四边形中，若，则四边形为矩形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用数量运算律结合垂直关系的向量表示判断AB；利用向量共线判断CD. 【详解】对于A，由，得，则， 而，均为非零向量，因此，A正确； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于C，由，得，即， 则点为BC边上靠近的三等分点，C正确； 对于D，由，得，即， 在平面四边形中，，四边形为平行四边形， 没有条件可确保该四边形为矩形，D错误. 故选：AC 12. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点，点为线段上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 平面与底面的交线平行于 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与CD所成的角为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用面面平行的性质定理分析判断，对于B，连接交于点，连接，则由三角形中位线定理得∥，从而可得∥平面，进而可判断，对于C，由∥，可得异面直线与CD所成的角，然后在中求解即可，对于D，将平面和平面展在同一个平面内求解判断. 【详解】对于A，设平面与底面的交线为，因为平面∥平面， 平面平面，所以∥，所以A正确， 对于B，连接交于点，连接，因为四边形为矩形， 所以为的中点， 因为点是的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为点为线段上的一个动点，所以点到平面的距离为定值， 因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以B正确， 对于C，由选项B可知∥，所以异面直线与CD所成的角， 因为，， 所以， 所以，所以， ，则，， 所以，所以为等腰直角三角形，所以， 所以异面直线与CD所成的角为，所以C错误， 对于D，由选项C可知，则为等边三角形， 如图，将平面和平面展在同一个平面内，则的最小值为， 在中，，则， 所以，所以， 所以的最小值为，所以D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行的性质，考查棱锥的体积，考查异面直线所成的角，考查空间中距离和最短问题，选项D解题的关键是将两个平面展在同一个平面内求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 一组数据6，7，8，a，12的平均数为7，则此组数据的极差为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据平均数列方程求得参数，结合极差的定义即可求解. 【详解】一组数据6，7，8，a，12的平均数为，解得， 所以此组数据的极差为. 故答案为：10. 14. 已知平面向量与的夹角为，且，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义及运算律计算即得. 【详解】向量与夹角为，且，，则， 所以. 故答案为： 15. 甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为. 故答案为： 16. 正四面体外接球的体积为，则其内切球的表面积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】将正四面体放入棱长为的正方体中，根据已知求得，进一步根据等体积法求得内切球的半径，结合球的表面积公式即可得解. 【详解】 如图所示，将正四面体放入棱长为的正方体中， 则其外接球的半径为，其外接球的体积为，解得， 从而正四面体的棱长，设其内切球的半径为， 由等体积法有，，其中为正四面体的表面积， 所以，所以， 其内切球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知点，，. （1）若A，B，C三点共线，求； （2）若，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示求出，再利用坐标求出模. （2）利用垂直关系的坐标表示求出，进而求出夹角余弦. 【小问1详解】 点，，，则，， 由A，B，C三点共线，得，则，解得，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 由，得，解得，， 所以. 18. 袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. （1）从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ （2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、红球为事件，，，由于，，为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、红球的概率． （2）黑球、黄球、红球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个红球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率． 【小问1详解】 从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、红球为事件，，， 由于，，为互斥事件， 根据已知得， 解得， 从中任取一球，得到黑球、黄球、红球的概率分别是； 【小问2详解】 由（1）知黑球、黄球、红球个数分别为2，1，3， 得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个红球共3种情况， 而从6个球中取出2个球的情况共有15种， 所以所求概率为， 则得到的两个球颜色不相同的概率是． 19. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第75百分位数； （2）现从以上各段中采用样本量比例分配的分层随机抽样再抽取20份答卷作为“典型答卷”进一步统计研究，若落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是82和8，落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是96和1，据此估计这100份答卷中落在的所有答卷的成绩的方差. 【答案】（1），84； （2）46. 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解. （2）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1， 得，所以； 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 则第75百分位数，，解得， 所以第75百分位数为84. 【小问2详解】 依题意，抽取20份答卷中，落在内的有（份），落在内的有（份）， 落在的“典型答卷”的平均成绩， 落在的“典型答卷”的方差， 所以估计这100份答卷中落在的所有答卷的成绩的方差为46. 20. 如图，平面，，平面. （1）求证：； （2）若，，，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行、面面平行的判定，面面平行的性质推理即得. （2）由（1）及已知求出点到平面的距离，再利用锥体体积公式计算即得. 【小问1详解】 由，平面，平面，得平面， 而平面，平面，则平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 由，平面，平面，得平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面， 由（1）知平面平面，则平面，即点到平面的距离为， 由已知得平面，平面，得，的面积， 三棱锥的体积, 所以三棱锥的体积为. 21. 在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）. （1）求角； （2）设是BC上一点，且，，求面积的最大值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换结合正弦定理即可逐一化简求解； （2）分解向量得到，平方得条件等式，结合基本不等式以及三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 若选①，则， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，即； 若选②，则， 因为，所以， 因为，所以， 而， 所以，即； 若选③，则， 因为，所以， 所以， 因为， 所以； 综上所述，无论选择①，②还③，都有； 【小问2详解】 由题意， 所以，即， 所以，即，等号成立当且仅当， 从而面积，等号成立当且仅当， 综上所述，面积的最大值为. 22. 如图，在正方形中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB. （1）求证：； （2）点M是PD上一点，若直线MF与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，则由线面垂直的判定定理可得平面，则，再由正方形性质可得，则平面，从而可证得； （2）由（1）可得为直线MF与平面所成角，则，令，然后根据正方形的性质求出其它边长，最后在中利用余弦定理可求得结果. 【小问1详解】 证明：在正方形中，连接，则， 因为点E、F分别是AB、BC的中点，所以∥， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 解：由（1）平面，所以为直线MF与平面所成角， 所以， 令，则， 所以， 设，连接， 由（1）知平面，因为平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为为的中点，，所以为等腰三角形， 所以， 因为，所以， 所以， ，， 在中，由余弦定理得 ， 所以二面角余弦值为. 【点睛】 关键点点睛：此题考查由线面垂直证线线垂直，考查线面角和二面角，考查折叠问题，解题的关键是弄清折叠前后边角的关系，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题》 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $