精品解析：浙江省宁波市鄞州区鄞州第二实验中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

鄞州第二实验初一期末数学试卷 考试时间： 90 分钟 考试总分∶ 120 分 一、选择题 (每小题 4 分， 共 32 分) 1. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 2. 已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 使 乘积中不含 与 项，则 的值为（ ） A. B. C. D. 8 4. 如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 5. 若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 1 或 D. 0 或 1 或 6. 将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 (每小题 4 分， 共 24 分) 9. 若分式 有意义，则 的取值范围是___ 10. 因式分解： ___ 11. 某工件的绘制草图如图所示， 中， 边上的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，则 的周长是___ 12. 在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为___ 13. 有三面镜子如图放置，其中镜子和相交所成的角，已知入射光线经反射后，反射光线与入射光线平行，若，则镜子和相交所成的角______．（结果用含的代数式表示） 14. 对正整数 ，规定 ，记 对正整数 n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件 k 的值： _____ 三、解答题 (共 6 小题， 64 分) 15. 解方程及方程组 （1）解方程：； （2）解方程组：； （3）若，解方程组：； （4）因式分解：． 16. 如图，在方格纸中，的顶点均在格点上，按下列要求作图． （1）作出图中的边上的高线（需要标出垂足点）； （2）在图2中找出一格点，使A，，，所组成的四边形是轴对称图形（作出一个即可）； （3）直接写出（2）中你所作四边形的面积． 17. 项目化学习： 2020 年以来某大型化工厂响应节能减排的号召， 控制温室气体二氧化硫排放量， 2023 年暑假， 某数学小屋对该工厂近年来二氧化硫排放量进行了调查， 完成下列任务． 图 1：7 月份四个工作周的二氧化硫排放条形统计图 图2：前 7 个月二氧化硫排放量折线统计图 【材料一】该工厂在 2023 年前 7 个月的二氧化硫排放情况如图 1 所示， 该工厂 7 月份排放量可以看作 4 个工作周的总和， 排放情况如图 2 所示． 【材料二】受疫情对经济造成的影响， 该工厂决定在 2023 年适度降低二氧化硫排放量的减少速度来激发工业发展， 并对化工生产提出 2023 年二氧化硫总排放量不超过 42 吨的年度减排要求． 任务一 整理：据材料计算 7 月份二氧化硫排放量并补全图 1 任务二 展望：该工厂从 2023 年 7 月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少 0.1 吨， 请你计算说明， 该工厂是否能够完成 2023 年的年度减排要求． 18. （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE） （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 19. 【基础巩固】（1）如图 1， 与 中， ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点， ① 求 的大小； ，求 的面积； 【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长． 20. 给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ． （1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小． （2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鄞州第二实验初一期末数学试卷 考试时间： 90 分钟 考试总分∶ 120 分 一、选择题 (每小题 4 分， 共 32 分) 1. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，根据三角形的三边关系以及确定三角形的条件有、、、、，即可判断．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题． 【详解】解：A、∵，不能够成三角形．该选项是错误． B、已知两角夹边，即，三角形就确定了．该选项是正确． C、边边角不能确定三角形．该选项是错误． D、一角一边不能确定三角形．该选项是错误． 故选：B． 2. 已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到． 由平行线的性质推出，得到，由，求出，得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3. 使 乘积中不含 与 项，则 的值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数，合并关于 与 的同类项，令其系数为0，得出p与q的值，即可求出结果． 【详解】解： 乘积中不含 与 项， ，则 ， 故选：D． 4. 如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：∵，是的高线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 1 或 D. 0 或 1 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解：， 分式方程两边同乘以得： ， ， 要使原分式方程无解，则有以下两种情况： 当时，即，整式方程无解，原分式方程无解． 当时，则， 令最简公分母为0，即 解得 ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解． 综上所述可得：或时，原分式方程无解． 故选：C． 6. 将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，设图中小长方形的长为x，宽为y，结合两块阴影部分 的面积相等，可得，再进一步求解即可； 【详解】解：设图中小长方形的长为x，宽为y，两块阴影部分 的面积相等， 根据题意得：，即． 故选：A． 7. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明; ②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分. 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得： ∴°，②正确； 作于，于，如图所示 则°， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分，④正确； 正确的个数有3个； 故选B． 【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等. 8. 实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算．熟练掌握绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算是解题的关键． 由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，当时，的值最小为，由，可得，，当，时，代数式 的值最小，当，时，代数式 的值最大，分别计算，，然后求和作答即可． 【详解】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为， 当时，的值最小为， ∵， ∴，， 当，时，代数式 的值最小，； 当，时，代数式 的值最大，； ∴， 故选：B． 二、填空题 (每小题 4 分， 共 24 分) 9. 若分式 有意义，则 取值范围是___ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0，根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 因式分解： ___ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； 【详解】解：； 故答案为： 11. 某工件的绘制草图如图所示， 中， 边上的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，则 的周长是___ 【答案】37 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质，可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵边上的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为， ∴， 故答案为：37． 12. 在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为___ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，分类思想的应用，掌握以上知识是解题的关键． 由是“三倍角三角形”，且，不妨设，再分三种情况讨论，当时，当时，当时，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵是“三倍角三角形”，且，不妨设， 当时，则， ， 当时， ， ， ， 当时，则，不合题意舍去， 综上：是“三倍角三角形”，中最小内角的度数为或． 故答案为：或． 13. 有三面镜子如图放置，其中镜子和相交所成的角，已知入射光线经反射后，反射光线与入射光线平行，若，则镜子和相交所成的角______．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了入射角和反射角、平行线以及三角形的内角和等知识，解题的关键在于正确画出辅助线 【详解】根据入射光线画出反射光线，交于点，同理根据入射光线画出反射光线，交于点，根据入射光线画出反射光线，过点作的平行线，使得． 入射角等于反射角 入射角等于反射角 根据入射角等于反射角，可知： 故答案为：． 14. 对正整数 ，规定 ，记 对正整数 n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值： _____ 【答案】12（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查完全平方数的知识，积的乘方逆用法则，根据题意把S分解成的形式，再根据完全平方数的定义即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 都为完全平方数， 为完全平方数， 的值可以是， 故答案为：12（答案不唯一）． 三、解答题 (共 6 小题， 64 分) 15. 解方程及方程组 （1）解方程：； （2）解方程组：； （3）若，解方程组：； （4）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程、解二元一次方程组、因式分解，熟练掌握分式方程的解法、二元一次方程组的解法、因式分解的概念是解答本题的关键． （1）将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，再进行检验即可． （2）先将方程组化简为：，再利用加减消元法求解即可． （3）根据题意可得，则，进而可得方程组为①，②，③，④，利用加减消元法分别求解即可． （4）令，则可变形为． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为一得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【小问2详解】 解： 方程组化简为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． 【小问3详解】 解： ， ， ， ， 即， ， ∴①，②，③，④， 解方程组①得：，解方程组②得：，解方程组③得：，解方程组④得：， ∵， ∴方程组的解为或． 【小问4详解】 解： 令， 则 ． 16. 如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，按下列要求作图． （1）作出图中的边上的高线（需要标出垂足点）； （2）在图2中找出一格点，使A，，，所组成的四边形是轴对称图形（作出一个即可）； （3）直接写出（2）中你所作四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了利用网格作三角形高，利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据垂线的定义作出图形即可； （2）根据轴对称的性质即可得到结论； （3）利用网格，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问3详解】 解：四边形的面积． 17 项目化学习： 2020 年以来某大型化工厂响应节能减排的号召， 控制温室气体二氧化硫排放量， 2023 年暑假， 某数学小屋对该工厂近年来二氧化硫排放量进行了调查， 完成下列任务． 图 1：7 月份四个工作周的二氧化硫排放条形统计图 图2：前 7 个月二氧化硫排放量折线统计图 【材料一】该工厂在 2023 年前 7 个月的二氧化硫排放情况如图 1 所示， 该工厂 7 月份排放量可以看作 4 个工作周的总和， 排放情况如图 2 所示． 【材料二】受疫情对经济造成的影响， 该工厂决定在 2023 年适度降低二氧化硫排放量的减少速度来激发工业发展， 并对化工生产提出 2023 年二氧化硫总排放量不超过 42 吨的年度减排要求． 任务一 整理：据材料计算 7 月份二氧化硫排放量并补全图 1 任务二 展望：该工厂从 2023 年 7 月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少 0.1 吨， 请你计算说明， 该工厂是否能够完成 2023 年的年度减排要求． 【答案】任务一：3.2t，画图见解析；任务二：能，理由见解析. 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图，从统计图中获取信息； （1）根据条形图计算7 月份二氧化硫排放量，再补全折线统计图即可； （2）根据折线统计图中的数据结合从 2023 年 7 月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少 0.1 吨，再列式计算即可； 【详解】解：（1）∵7 月份二氧化硫排放量为，补全折线统计图如下图所示. （2）可知 2023 年二氧化硫排放总量为 ， 故能达到年度减排要求； 18. （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE） （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC 【解析】 【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根据已知条件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论； （2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC； （3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC ∵AD为∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠CAD． 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED=∠C=90°，CD=ED， 又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°， ∴∠B=45°． ∴∠EDB=∠B=45°． ∴DE=BE， ∴CD=BE． ∵AB=AE＋BE， ∴AB=AC＋CD． （2）证明：在AB取一点E使AC=AE， 在△ACD和△AED中， , ∴△ACD≌△AED， ∴∠C=∠AED，CD=DE， 又∵∠C=2∠B， ∴∠AED=2∠B， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠EDB=∠B， ∴ED=EB， ∴CD=EB， ∴AB=AC+CD； （3）猜想：AB=CD﹣AC 证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠ACD=∠AED，CD=DE， ∴∠ACB=∠FED， 又∵∠ACB=2∠B ∴∠FED=2∠B， 又∵∠FED=∠B＋∠EDB， ∴∠EDB=∠B， ∴DE=BE， ∴BE=CD， ∵AB=BE-AE ∴AB=CD﹣AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法. 19. 【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点， ① 求 的大小； ，求 的面积； 【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，②；（3） 【解析】 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ， 点F为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ，负值舍去， 即的长为8． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 20. 给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ． （1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小． （2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小． 【答案】（1）方案见解析 （2）方案见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，有理数的混合运算等知识．熟练掌握完全平方公式，平方差公式的应用，有理数的混合运算是解题的关键． （1）由，，可知8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，则当时，或当时，最小，且最小值为0； （2）当时，①由题意知，给定的个数中有个奇数，不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，则所求的最终代数和大于等于1．设计最终代数和等于1的可行方案．②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由，对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．④在对进行设计的过程中，，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．进而可得可行方案为：首先对 ，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对 ，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小． 【小问1详解】 解：∵，， ∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0， ∴当时，或当时，最小，且最小值为0； 【小问2详解】 解：当时， ①由题意知，给定的个数中有个奇数， ∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数， ∴所求的最终代数和大于等于1． ∴设计最终代数和等于1的可行方案． ②， ∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0； ③∵， 对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0， 然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们代数和为1． ④在对进行设计的过程中，， 又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4， ∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为． 综上，可行方案为：首先对 ，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对 ，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$