精品解析：浙江省杭州市建兰中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

浙江省杭州市建兰中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，与不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确是（ ） A. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D. 如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 4. 已知是方程的一个解，那么m的值是（　　） A. 3 B. 1 C. D. 5. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车速度分别为．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有，上坡路有，则依题意所列的方程组是（ ）题 A. B. C. D. 7. 若的展开式中不含项和x项，则p、q的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　） A. B. C. D. 9. 如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，当平行于地面时，则值为（　　） A. B. C. D. 10. 对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为（ ） （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有3组整数解； （4）若对任意有理数、都成立，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算 ________． 12. 已知3m=8，3n=2，则3m+n= ______ ． 13. 已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，则____________________． 14. 如图，将周长为14的三角形向右平移1个单位后得到三角形，则四边形的周长等于_______． 15. 已知方程组与有相同的解，则的值为______． 16. 如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则_____．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则________． 三、解答题（本题有7小题，共66分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解下列方程组： （1）； （2）． 19 （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求代数式的值． 20. 如图，已知F，E分别是射线上的点．连接，平分，平分，． （1）试说明； （2）若，求度数． 21. （1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，请利用上述等式求的值； ②若，，求的值． 22. 如图，已知点C，F为直线上两点，在同侧有三条射线，，，平分，． （1）若，求的度数． （2）若，请直接用含m的代数式表示的度数． 23. 如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． （1）当α为______度时，，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究与之间的关系； （3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市建兰中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法法则分别对每一个选项进行分析即可． 【详解】解：A. ，和不同类项，不能合并，故选项不符合题意； B. ，故选项不符合题意； C. ，故选项不符合题意； D ，故选项符合题意； 故选：． 2. 下列图形中，与不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角． 【详解】解：A，C，D中的∠1与∠2是同位角， B中的∠1与∠2不是同位角， 故选：B. 【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握其定义. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D. 如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离以及相交线的概念分别判断即可． 【详解】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； C、从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故错误，不合题意； D、如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，有可能平行，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离以及相交线，熟练掌握相关基本知识方能正确选择． 4. 已知是方程的一个解，那么m的值是（　　） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握使二元一次方程两边相等的未知数的值，是二元一次方程的解． 将代入方程，得出关于m的方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程中可得，， 解得， 故选：D． 5. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．根据平方差公式的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，二项式中的两项均互为相反数，不符合平方差公式，符合题意； B、，能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，能用平方差公式，不符合题意； 故选：A 6. 小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有，上坡路有，则依题意所列的方程组是（ ）题 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平路、上坡路、下坡路各需的时间与到校上学需要的时间、放学回家需要的时间建立等式关系即可． 【详解】依据题意得，小明骑车在平路所需的时间为小时，上坡路所需的时间为，下坡路所需的时间为，则上学共需时间为小时，放学回家共需的时间为小时，40分钟小时，30分钟小时，共可列出方程组为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解上坡路与下坡路的距离相等． 7. 若的展开式中不含项和x项，则p、q的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则计算，再根据展开式中不含有的项的系数为0得出答案即可． 【详解】由 ． ∵展开式中不含有和x项， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式的运算，理解整式运算法则是解题的关键．整式中不含有某一项是指这一项的系数为0． 8. 两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，设正方形②的边长为，正方形①的边长为，由图可得，，即可得，得到，再由图可得，即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：设正方形②的边长为，正方形①的边长为， 由图可得，，， ∴， 即， ∴， 故选：． 9. 如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，当平行于地面时，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，所以，于是有．本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线，并熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图： ∵， ∴， ， ，， ， ， ． 故选：D． 10. 对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为（ ） （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有3组整数解； （4）若对任意有理数、都成立，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的运算法则进行计算即可． 详解】解：． 故答案为：． 12. 已知3m=8，3n=2，则3m+n= ______ ． 【答案】16 【解析】 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 13. 已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数表示出x．根据含y的代数式表示x，移项即可． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，将周长为14的三角形向右平移1个单位后得到三角形，则四边形的周长等于_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长为1+AB+BC+1+AC即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将周长为14的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF， ∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC； 又∵AB+BC+AC=14， ∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键． 15. 已知方程组与有相同的解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由方程组与有相同的解，可将不含参数的两个方程联立成方程组，解之求得，再将其代入含参数的两个方程得到关于、的方程组，解方程组可得，再将其代入所求代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解 ∴ ∴ ∴将代入中得： ∴ ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了同解二元一次方程、解二元一次方程组、代数式求值等，能根据题意重新组合出方程组求得、的值是解题的关键． 16. 如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则_____．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则________． 【答案】 ①. ##80度 ②. ##20度 【解析】 【分析】（1）过点作，过点作交于点，根据平行线的判定和性质，求出的度数，利用角平分线的性质，即可得解； （2）过点作，过点作，过点作交于点，同法（1），利用平行线的判定和性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）过点作，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵的延长线恰好是的角平分线， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：， 过点作，过点作，过点作交于点， 同（1）法可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造平行线． 三、解答题（本题有7小题，共66分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算． （1）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据单项式乘以单项式运算法则进行计算即可； （2）根据积的乘方的逆运算法则进行计算即可； （3）先将括号展开，再合并同类项即可； （4）先将括号展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）用加减消元法解二元一次方程组． 【小问1详解】 解：， 得：， 解得， 再将代入①得，， 解得： ∴此方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 化简原方程组得， 得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 故原方程组的解是． 19. （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1），12；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则． （1）根据多项式乘多项式运算法则和单项式和多项式运算法则进行计算，然后再代入求值即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，已知F，E分别是射线上的点．连接，平分，平分，． （1）试说明； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键． （1）由平分，可得，由，可得，进而可得． （2）由，，可得，由，可得，由平分，可得，由，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的度数为． 21. （1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，请利用上述等式求的值； ②若，，求的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积和解答即可； （2）①由（1）可得，代入即可求解； ②仿照①解答即可． 【详解】解：（1）由图形可得，四个小长方形（阴影部分）的面积之和为，或表示为， ∴得到恒等式为． 故答案为：，； （2）①由（1）可得 ∵，， ∴， ∴． ②∵，又，， ∴， ∴． 22. 如图，已知点C，F为直线上两点，在同侧有三条射线，，，平分，． （1）若，求的度数． （2）若，请直接用含m的代数式表示的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）根据求出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出答案即可； （2）根据求出，根据角平分线定义得出，根据角平分线定义得出，最后个人你就平行线的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：的度数为；理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 23. 如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． （1）当α为______度时，，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究与之间的关系； （3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【答案】（1）15，图见解析 （2）当时，；当时，；当时，； （3）或或或或． 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，三角尺中角度的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏． （1）根据得出，根据即可求解； （2）设，，在旋转过程中，分当时，当时，当9时，三种情况根据平行线的性质即可求解； （3）①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别作出图形，根据平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，如图： ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设：，， ①如图，当时， ，， 故，即； ②当时， ，即， ③当时，，， ， 即， ，即； 【小问3详解】 解：①当时，由（1）可知， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴； ③当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； ④当时，， ∴， ∴； ⑤当时，则， ∴， ∴； 综上，或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $