精品解析：广西南宁市2023-2024学年高二下学期期末考调研测试数学试题

2023-2024学年南宁市高二年级下学期期末考调研测试 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．考查范围：高中全部内容. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考生必须保持答题卡的整活.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合、，得到集合，从而得到中元素的个数. 【详解】，， 所以，故中元素的个数为4． 故选：A． 2. 已知随机变量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布期望和方差的公式求解即可. 【详解】随机变量， 由得：，解得． 故选：D 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，然后由向量的坐标运算可得. 【详解】因为，所以，解得， 所以，， 故． 故选：B． 4. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的半焦距为（ ） A. B. C. 3或 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】分焦点在轴上和轴上讨论，分别计算和，得到答案. 【详解】若椭圆的焦点在x轴上，则离心率，得，此时半焦距； 若椭圆的焦点在y轴上，则离心率，得，此时半焦距， 所以该椭圆的半焦距为3或． 故选：D． 5. 已知等比数列的前n项和为，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据通项公式求公比，再由等比数列求和公式可得首项. 【详解】设等比数列的公比为，， 即，， ，． 故选：B． 6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理和基本不等式可得的最小值，结合同角三角函数的平方关系可得的最大值. 【详解】因为，则由余弦定理可得： ，当且仅当时取等号． 又，，所以． 故选：C． 7. 设 为函数 的极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点的概念，结合零点的存在性定理计算即可求解. 【详解】，则， 设，则， 因为是函数的极值点，所以是函数的零点， 又，， 所以，故. 故选：B 8. 已知直线l与圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设设，，MN的中点，根据圆的方程可得，再结合以MN为直径的圆过点可得，分析可知点Q在圆心为、半径为的圆上，结合圆的性质分析的最小值进而可得的最大值. 【详解】设，，MN的中点， 则，． 又因为，， 则， 所以． 若以MN为直径的圆过点，则， 且，， 可得， 即，整理得， 所以Q在圆心为、半径为的圆上． 因为，可知点O在圆外， 则， 所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知：MN的中点Q在圆心为、半径为的圆上，结合圆的性质分析求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. 在复平面上对应的点位于第三象限 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算整理可得，即可判断A；根据模长公式可判断B；根据共轭复数结合复数的几何意义判断C；根据复数的加法判断D. 【详解】因为，则，故A正确； 可得，故B错误； 可得，其在复平面内对应的点为，位于第三象限，故C正确； 可得，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义依次分析判断即可. 【详解】对A,因为为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数， 所以， 所以，故A正确； 对B,，故B正确； 对C,，即，故C正确； 对D,，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，若方程有6个根，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】首先化简解析式，即可画出函数图象，依题意可得有个不同的实根，有个不同的实根，数形结合即可得到不等式组，解得即可. 【详解】由且，解得，此时， 由且，解得，此时， 所以， 且，，， 作出的图象如图所示，由方程有个根， 显然，所以有个不同的实根，有个不同的实根， 即与有个不同的交点，与有个不同的交点， 所以，解得，故符合题意的只有B、C． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将函数解析式化简，从而作出的函数图象，再利用数形结合思想. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在某次考弍中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为，则该组数据的上四分位数为__________. 【答案】15.5 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以这组数据的上四分位数是. 故答案为：15.5 13. 若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设，由双曲线定义可得，代入结合二次函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：，且， 设，则， 可得在上单调递增， 所以当时，取得最小值3． 故答案为：3. 14. 某高校的化学实验室内的电子微型质量测量仪的底座形似一个正四棱台，记该正四棱台为，经测量其体积为，上底面，下底面的边长分别为2，4，记，交于点，，，交于点，则______，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用体积得到正四棱台的高，由勾股定理得到；由知球心在正四棱台外，设利用勾股定理表示半径，解出，从而得到半径，进而得到球的表面积. 【详解】如图，连接，则底面， 由题意可得，，该正四棱台的体积， ，连接，故； ，四棱台外接球的球心在的延长线上， 设， 则，，， 由，得，解得， ，即球的半径， 球的表面积为. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，记为的导函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最值． 【答案】（1） （2）最小值为2，无最大值 【解析】 【分析】（1）通过求导得到，再结合，由直线的点斜式方程得到切线方程； （2）令，通过求导得到函数的单调性，求得最值. 【小问1详解】 由题得，则，又， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 令，则，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，故的最小值为2，无最大值． 16. 2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛相关工作，某市经过初次选拔后有小明，小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立. （1）分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率； （2）求三人中至少有两人成功解出这道题的概率． 【答案】（1）小王、小红解出概率分别为， （2） 【解析】 【分析】（1）借助对立事件的性质及相互独立事件乘法公式计算即可得； （2）借助相互独立事件乘法公式计算即可得. 【小问1详解】 设小明、小王、小红成功解出该道题分别为事件A，B，C， 根据题意，则有，则， 又，所以，即， 又，则． 即小王、小红成功解出这道题的概率分别为，； 【小问2详解】 设三人中至少有两人成功解出这道题为事件D， 则有 ， 所以三人中至少有两人成功解出这道题概率为． 17. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且，底面ABCD，点E满足． （1）证明：平面PAC； （2）求平面ABE与平面BDE的夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质和线面垂直的性质分别证明，，然后由线面垂直判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式可得. 【小问1详解】 证明：因为底面ABCD是正方形，所以， 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，平面PAC，所以平面PAC． 【小问2详解】 平面ABCD，平面ABCD，所以，， 所以AP，AB，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设平面ABE的法向量为，则 解得，令得，故， 设平面BDE的法向量为， 则解得，令得，故， 设平面ABE与平面BDE的夹角为， 所以． 又．所以，故平面ABE与平面BDE的夹角为． 18. 已知抛物线的焦点F在直线上． （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标可得，即可得方程； （2）设，，，，联立方程结合韦达定理可得，结合消元即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得，则，解得， 所以抛物线C的方程为． 小问2详解】 设直线MN的方程为：，，，， 不妨设， 联立直线MN与抛物线C的方程，消去y可得， 由，且，解得且， 则，， 因为，则， 整理可得，即， 又因为点Q在直线MN上，则，消m得， 且且，可得得且， 所以点Q在定直线：（且）上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. （1）若 ，求 ； （2）证明： 数列 为等差数列. 【答案】（1） ，， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由， ，解方程求，同理可求 ； （2）由条件，结合诱导公式可得或，结合条件 ，证明，结合等差数列定义证明结论. 【小问1详解】 当时 ，由已知， ，知 ， 又由，可知， 所以，又， 所以符合题意， 同理，由 ，，得或， 又，所以， 由 ，，得， 又， 符合题意. 小问2详解】 因为 ，所以 ， 所以或， 即或， 因为， 所以，， 所以，， 所以或或， 又，所以， 则， 所以， 所以数列 是公差为的等差数列. 【点睛】关键点点睛：由 ，由诱导公式可得 ，可得或，利用好“正余弦错位数列”的定义条件，即可得到，再利用等差数列的概念即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年南宁市高二年级下学期期末考调研测试 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．考查范围：高中全部内容. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考生必须保持答题卡的整活.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知随机变量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的半焦距为（ ） A. B. C. 3或 D. 3或 5. 已知等比数列的前n项和为，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 设 为函数 的极值点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线l与圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. 在复平面上对应的点位于第三象限 D. 10. 已知为定义在上奇函数，为定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若方程有6个根，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在某次考弍中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为，则该组数据的上四分位数为__________. 13. 若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为______． 14. 某高校的化学实验室内的电子微型质量测量仪的底座形似一个正四棱台，记该正四棱台为，经测量其体积为，上底面，下底面的边长分别为2，4，记，交于点，，，交于点，则______，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，记为导函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最值． 16. 2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明，小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立. （1）分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率； （2）求三人中至少有两人成功解出这道题的概率． 17. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2正方形，且，底面ABCD，点E满足． （1）证明：平面PAC； （2）求平面ABE与平面BDE的夹角的大小． 18. 已知抛物线的焦点F在直线上． （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 19. 若数列 满足 ，且 ，则称数列 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. （1）若 ，求 ； （2）证明： 数列 为等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$