精品解析：广西南宁市部分学校2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

2025年春季期高二期末教学质量监测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占30%，选择性必修第一、二、三册占70%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项具符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】. 故选：B. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数乘法、复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，所以其对应的点位于第一象限. 故选：A. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求得结果. 【详解】因为，所以，即. 故选：C 4. 已知曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，将代入即可求得结果. 【详解】由曲线，得， 所以该曲线在点处的切线斜率. 故选：D 5. 设等比数列的公比为，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项的性质及等比数列通项公式即可求得结果. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：A 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】因为，，，所以. 因为，所以. 故选：C. 7. 某机构统计了一地区部分观众每周观看某一电视节目的时长（单位：分钟）情况，并想点样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，，共七组），则估计这些观众观看时长的分位数为（ ） A. 136 B. 135 C. 116 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】先利用概率和为1，求出 【详解】因为，所以. 设这些观众观看时长的分位数为，因为，， 所以这些观众观看时长35%分位数在内.由，得. 故选:B 8. 已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ） A. 13 B. 9 C. 11 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则. 当垂直于抛物线准线时，最小， 此时记线段与圆的交点为，因为，准线为， 则的最小值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 曲线的一个对称中心为 C. 的单调递增区间 D. 将正弦曲线向左平移个单位长度可得到曲线 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：利用周期的公式即可求得结果；对于B：利用对称中心的公式即可求得结果，对于C：利用单调递增区间的公式即可求得结果；对于D：利用平移变换“左加右减”即可求得结果. 【详解】对于A：因为，所以，故A不正确； 对于B：，令，得曲线的对称中心为， 当时，对称中心为，所以B正确； 对于C：令，得的单调递增区间为， 所以C正确； 对于D：将正弦曲线向左平移个单位长度得到曲线，所以D不正确. 故选：BC 10. 已知，且第6项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A,B:利用第6项与第7项二项式系数相等，故；对于C：将代入即可求得结果；对于D：将和代入，即可求得结果. 【详解】对于A：因为第6项与第7项的二项式系数相等，所以，则，故A不正确， 对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B正确； 对于C：令，得，所以C正确； 对于D：令，得，令，得， 所以，故D正确. 故选：BCD 11. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的互化结合对数运算的性质，指数函数的单调性、幂函数数的单调性进行求解即可． 【详解】由，得，．，A正确． 因为，所以，B错误，C正确． 因为函数单调递增，所以， 又在上单调递增，所以，故，D正确， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，求出c，利用椭圆的定义即可求出焦点三角形的周长. 【详解】因为，，所以， 故周长为. 故答案为： 13. 已知一圆锥的底面半径为6，母线长为8，则该圆锥外接球的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求得圆锥的高为，结合勾股定理求出外接球半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】设该圆锥外接球的半径为. 因为圆锥的底面半径为6，母线长为8，所以圆锥的高为. 由，得， 所以该圆锥外接球的表面积. 故答案为：. 14. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则________，_______. 【答案】 ①. 0 ②. 1 【解析】 【分析】由是定义在上的奇函数可得，分析可知的周期，故只需求出的值即可得第二问的答案. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以图象的对称中心为，且，即. 因为，所以图象的对称轴方程为， 所以， 故的周期. 因为，，，， ，，，， 所以， 所以. 故答案为：0，1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项为1，数列的前项和为，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 所以当时， 因为，所以也符合上式， 所以. 【小问2详解】 设数列的前项和为. 因为， 所以. 16. 2025年4月13日，2025十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑.马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础.为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表： 单位：人 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 100 女 60 合计 200 （1）完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为喜爱马拉松与性别有关； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为X，求X的分布列及期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据已知数据完成列联表，求出可得答案； 按照分层抽样，从男性中抽取3人，从女性中抽取2人，求出X的取值及相应的概率，再根据期望公式计算可得答案. 【小问1详解】 列联表如下. 单位：人 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 40 100 女 40 60 100 合计 100 100 200 因为， 所以没有99.9%的把握认为喜爱马拉松与性别有关； 【小问2详解】 按照分层抽样，从男性中抽取3人，从女性中抽取2人， 所以X的取值可能是0，1，2. 因为，，， 所以X分布列为 X 0 1 2 P . 17. 如图，在三棱锥中，. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）应用勾股定理得出，再结合线面垂直判定定理证明即可； （2）应用线面垂直判定定理得出平面，再分别求出平面与平面的法向量，最后应用二面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 证明：因为， 所以，所以. 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，则易得. 因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 根据题意易得，则. 设平面的法向量为，则， 取，则. 设平面的法向量为，则， 取，则. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. （1）求的标准方程. （2）设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得结果. （2）①根据条件可知点在以为圆心，5为半径的圆上，联立圆方程与双曲线方程可得结果. ②设直线，与双曲线方程联立，借助韦达定理得到的关系式可得结果. 【小问1详解】 因为的离心率为，所以，解得， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 ①由，得点在以为圆心，5为半径的圆上. 设，则解得即， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. ②当直线的斜率不存在时，点关于轴对称，设， 由，得，即，解得，不符合题意， 所以直线的斜率存在. 设直线，由得， 则，即. 设，则， 因为，所以，即， 得， 所以，即， 所以或. 当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点. 综上，直线过定点，且定点坐标为. 19. 已知函数，， （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，讨论的符号即可得解； （2）思路一：同构法，即通过换元得，则，首先求得的范围，进一步可得的范围；思路二：直接由恒成立，求得分类讨论函数单调性，得最小值大于或等于0即可求解的范围； （3）令，分析知，故只需结合导数证明即可. 【小问1详解】 因为，所以. 令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 故的单调递增区间为，单调递减区间为，. 【小问2详解】 （方法一）因为恒成立， 所以恒成立. 令，则. 令，则，在上单调递增. 因为，所以由，得. 由，得. 令，则， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. （方法二）令，则恒成立. . ①当时，因为，所以，所以在上单调递减. 因为，所以不是恒成立的. ②当时，，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为函数在上单调递增（因为），且， 所以当时，恒成立. 【小问3详解】 设，则由（2）知. 因为，所以. 因为， 所以. 令，则. 要证，只要证， 即证，即证. 令，，则. 令. 因为，所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 因为，所以成立，故. 第（3）问中关于证明，可用下面方法： 欲证，即证. 令，则， 所以在上单调递增，所以. 因为，所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季期高二期末教学质量监测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占30%，选择性必修第一、二、三册占70%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项具符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线在点处切线斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的公比为，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 某机构统计了一地区部分观众每周观看某一电视节目的时长（单位：分钟）情况，并想点样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，，共七组），则估计这些观众观看时长的分位数为（ ） A. 136 B. 135 C. 116 D. 125 8. 已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ） A. 13 B. 9 C. 11 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数最小正周期为，则（ ） A. B. 曲线的一个对称中心为 C. 的单调递增区间 D. 将正弦曲线向左平移个单位长度可得到曲线 10. 已知，且第6项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 11. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为________. 13. 已知一圆锥底面半径为6，母线长为8，则该圆锥外接球的表面积为_______. 14. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则________，_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项为1，数列的前项和为，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 2025年4月13日，2025十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑.马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础.为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表： 单位：人 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 100 女 60 合计 200 （1）完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为喜爱马拉松与性别有关； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为X，求X的分布列及期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 如图，在三棱锥中，. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. （1）求的标准方程. （2）设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 19. 已知函数，， （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$