吉林省通化市三校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2023~2024学年度下学期三校联考期末考试 (柳河一中 通化县七中集安一中) 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章一第九章，选择性必修第一册第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.矩形的直观图是 A.正方形 B.矩形 C.三角形 D.平行四边形 2.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要 了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分 层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 A.24 B.26 C.30 D.36 3.已知向量a=(一1,3,2)，b=(2,一6，x),若a∥b,则x= A.-4 B.4 c n- 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=c·cosA,则△ABC为 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 5.某科技攻关青年团队共有18人，他们的年龄分布如下表所示： 年龄 45 40 36 32 30 28 26 人数 3 2 3 2 3 下列说法正确的是 A.29是这18人年龄的一个25%分位数 B.40是这18人年龄的一个80%分位数 C.34是这18人年龄的一个中位数 D.这18人年龄的众数是4 【高一数学第1页（共4页）】 24721A 6.在正四面体A-BCD中，其外接球的球心为O,则A= A.2Ai-子A店+AC B.Ai+子A+AC C.A市+A+Ad D.A市-子A+A0 7.已知正三棱柱ABC一A1B,C1与以△ABC的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱 与圆柱的高的比值为 A. &是 C.3v3 D.43x 4π 9 8.《易经》是闸述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中 记载的几何图形一八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太 极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH的 边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界）任一点，则 A户.EF的取值范围是 A.[-8w2,16+8√2] B.[-16-8√2,8v2] C.[-16-8W2,16+82] D.[-8v2,8V2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a=(m一1,2m,2),b=(2m一5，m,1),则下列结论正确的是 A.若a∥b,则m=3 B若a⊥b,则m=-名 C.a的最小值为2y30 D.a的最大值为4 10.已知i为虚数单位，复数1，为方程x2一2.x十5=0的两个根，则下列选项中正确的有 A.|a1|=|2 B.=|名 C.复数在复平面上对应的点在第二象限 D·(）=1 11.如图，已知三棱柱ABC-AB,C1,AC⊥平面ABC,AB⊥BC,AD⊥BC1,D,E分别是 BC1,AC的中点，则下列说法正确的是 A.DE∥平面ABB:A B.AD⊥平面BCC C.直线AD与直线DE的夹角为罗 D.若∠BAC=否，则平面ABBA:与平面AB,C的夹角为 【高一数学第2页（共4页）】 24721A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a与b的夹角为5，a=l,b=2,则|a十b= 13.已知向量n=(3,一1,1)为平面a的法向量，点A(一1,2,2)在平面a内，则点P(2,2,1)到 平面a的距离为 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且a2=2S十 一60，则2的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E,F分别为PD,AB的中点. (1)证明：PB∥平面AEC; (2)在线段PC上是否存在一点G,使得FG∥平面AEC?若存在，指出点G位置，并证明你 的结论：若不存在，说明理由. 16.(本小题满分15分) 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了 ”01 100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质 6 005 量的重要指标)，将所得到的数据分成7组： [5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30), [30,35),[35,40](棉花纤维的长度均在0.2 [5,40]内)，绘制得到如图所示的频率分布直方图.0.01 (1)求a的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均0 152025303540 数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）： (2)估计棉花纤维的长度的75%分位数. 【高一数学第3页（共4页）】 24721A 17.(本小题满分15分) 如图.在直三棱柱ABC-A,BG中，AA,=AB=AC=号BC,D为B,C的中点，E为AA 的中点 (1)求证：DE∥平面ABC: (2)求直线DE与平面EB,C,所成角的正弦值. 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC,AB=2BC=2CD=4,∠BCD=60°，PB⊥AD. (1)求证：平面PBD⊥平面ABCD: (②)若PB=PD,点F满足G=2F.且三楼锥F-ABD的体积为.求平面DBF与平 面PAD的夹角的余弦值： 19.(本小题满分17分) 在R△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知osA-cosB+cosC d b十c (1)求角A; (2)已知c≠2b,a=2√3，P,Q是边AC上的两个动点(P,Q不重合)，记∠PBQ=a. ①当0=时，设△PBQ的面积为S,求S的最小值： ②记∠BPQ=a,∠BQP=B.问：是否存在实常数0和k,对于所有满足题意的，B,都有 si血2a+sin29+k=2©0s(a一)+成立？若存在，求出0和的值：若不存在，说明 理由 【高一数学第4页（共4页）】 24721A2023~2024学年度下学期三校联考期末考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.D直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的线段长度，故矩形的直观图是平行四边形.故 选D. 2.A由圈意从全校200人中抽取80人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽20×80=24（人）.故 选A 品A因为a/6所以号-马。=是=-4.故选A 4.A因为=c·c0sA=c.公+@a+行=C,故为直角三角形，故选A 2hc 5.B对选项A:18×25%=4.5,第25%分位数为30，故A错误：对选项B:18×80%=14.4,第80%分位数为 40,故B正确：对选项C:这18人年龄的中位数是32十32=32，故C错误：对选项D:这18人年龄的众数是 2 32,故D错误.故选B. 6.C由题知，在正四面体A-BCD中，因为O是外接球的球心，设三角形BCD的中心 为点E,BC的中点为F,则而=子花，花=专市+号京=号市+号× (号店+A心)=号A市+号A店+号AC,所以Aò=4A市+A店+子A花故 选C. 7.D设正三棱柱ABC-AB,C的底面边长为a,高为h, 等边△AC的面积为分0sn60=只。， 则正三棱柱ABC-AB,C的体积为。A, 设△ABC的外接圆半径为R,则2R=m0,解得R=。 4, 设圆柱的商为m,则圆柱的体积Rm=吾am, 由题意得停。=子0如，部得台-号-放选D 8.B延长BA,GH交于点M,延长AB,DC交于点N,根据正八边形的特征，可知AM-BN-2√2，又A户· E=A市.BA,所以(A市.BA)x=AM.BA=82,(A市.BA)=A.BA=-16-82,则A市.E乎的 取值范围是[-16-82,8v2].故选B. 9.AC对于A,若a∥b,且a=(m-1,2m,2),b=(2m-5,m,1), 则存在唯一实数入使得a=b,即(m一1,2m,2)=((2m-5)入，m以，入)， 【高一数学参考答案第1页（共5页）】 24721A m-1=(2m-5)λ， /1=3, 则2m=m入， 解得 故A正确： {=2, 2=1, 对于B,若a⊥b,则a·b=0,即(m一1)(2m一5)十2m2十2=0，无实数解，故B错误： 1a=√m-少+m干=√6示-2m+5,故当m=号时，a取得最小值为2，无最大值，故C正 确，D错误.故选AC 10.ABD不妨令x2一2x十5=0的两个根为1=1十2i,2=1一2i,因此|名：=|=5，故A正确： 1=(1十2i)(1一2i)=5,故B正确： 复数1在复平面上对应的点在第一象限或者第四象限，故C错误： 由于号·（得）语-=1，放DE确故选AD 11.ABD因为D,E分别是BC:,AC,的中点，所以DE∥AB,又DE吐平面 ABBA,,ABC平面ABB,A:,则DE∥平面ABBA,,故A正确： 因为AC⊥平面ABC,所以AC⊥平面ABC,即AC⊥BC,又AB⊥BC,且 AC∩AB=A,AB,ACC平面ABC,则BC⊥平面ABC,即AD⊥BC,又AD⊥ BC,且BC∩BC=B,BC,BCC平面BCC,则AD⊥平面BCC1,故B正确： 由于D为BC:中点，且AD⊥BC1,AC1⊥AB,因此△ABC1是等腰直角三角形，E是AC,的中点，则∠ADE =平故C错误： 连接AB,由于AC⊥A,B,B1C⊥A1B,易知A:B:⊥平面ABC,则AB⊥AB1,因此平面ABB1A:与 平面ABC的夹角为∠AB,C,由于∠BAC-若，因此AB=√EBC,则AC=3B,C,因此∠AB,C=5, 3 故D正确.故选ABD. 12.万因为a+b=a+6+2a·b=1+4+2X1×2×号=7，所以a+b=万. 1a8 由题意可得i=(-3,0,1),则点P(2,2,1)到平面a的距离d=P:n=-3×3+1X1 n √W9+1+I =8T 11 14.[22,） 由三角形面积公式可得S=号女nA,故公=c血A十6-1一如A-+次，故 2bc 11 inA=cosA,因为inA十cosA=1,所以simA+(1-号sinA)=1,解得sinA=号或0，因为 △ABC为锐角三角形，所以mA=号0sA=1一×号-号由正孩定理得2mCC_25 sin Bsin C 华+台其中后-出合血AB小血B-B十号，因为△AC为领角三角形，所以C<受， 3 sin B 放A+B>受，所以B>受-A,mB>am(受-A）-需升-是·B∈(o,0)B+号 4 【高一数学参考答案第2页（共5页）】 24721A (停，号）)，令云=（停，号）则g)=子+1为对勾函数，在（号wE)上单调递减：在(2，号）上单调 递指则)=gE)看+E-2E.又（停）-号+号-铝（停）号+号-得因为碧 鲁所以g0)-碧则2C-驰+÷∈[2E.碧)， sin Bsin C c 15.(1)证明：连BD交AC于O,因为E为PD中点，所以EO是△BPD中位线，…3分 所以EO∥PB,又因为EOC平面AEC,PB在平面AEC,所以PB∥平面AEC: …小……6分 (2)解：点G为线段PC的中点，…… 7分 连接FG,EG,由于E,G为PD,PC中点，则EG4CD,即EGLAF,四边形AEGF为 平行四边形，………………………10分 因此FG∥AE,FG丈平面AEC,AEC平面AEC,则FG∥平面AEC.…13分 16.解：(1)由频率分布直方图知(0.01十0.02+0.05十0.06+a十0.01十0.01)×5=1，解得a=0.04.…4分 最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为2025=22.5(mm).…8分 2 平均数x=7.5×0.05+12.5×0.1+17.5×0.25+22.5×0.3+27.5×0.2+32.5×0.05+37.5×0.05= 21.75(mm）:…………………12分 (2)设棉花纤维的长度的75%分位数为xmm, 所以0.1+30-1×0.2=0.25，解得x=26.25(mm).… 5 …15分 17.(1)证明：不妨设AA1=2,则AB=AC=2,BC=2√2， 所以AC十AB=BC,所以AC⊥AB,即A1C⊥A1B1,…2分 在直三棱柱ABC-A1B,C,中，AA1⊥平面ABC, 又AC1,ABC平面ABC,所以AA⊥AB1,AA⊥AC1,… …………………………………………4分 以点A为坐标原点，AA,A,B,AC:所在直线分别为x,y,z轴建立 空间直角坐标系，如图所示，所以A(0,0,0),A(2,0,0),E(1.0,0),± C(2,0,2),B1(0,2,0),所以D(1.1,1),所以ED=(0,1.1),易得平 面ABC的一个法向量为A1A=(2,0,0), …6分 又AA.DE=(2,0,0)·(0,1,1)=0,又DE过平面ABC,所以DE∥平面ABC:…8分 (2)解：因为C1(0,0,2),所以EC=(-1.0,2),EB=(-1,2.0), n·EC=-x+2=0, 设平面EB,C的一个法向量为n=(x,y,:),所以 n.EB=-x+2y=0, 令x=2,解得y=1,=1,所以平面EBC1的一个法向量为n=(2.1,1),…12分 设直线DE与平面EB,C所成角的大小为0， 【高一数学参考答案第3页（共5页）】 24721A 所以sin0=1cos(n,E市1=n…ED 2 |n|·IEi2×63' 即直线DE与平面EB,G所成角的正弦值为。 …15分 18.(1)证明：由题意知△BCD为等边三角形，所以AB=2BD=4,又AB∥DC,所以∠ABD=60°， 在△ABD中，由余弦定理得AD=AB+BDP-2AB·BDeos∠ABD=4+2-2X4X2X号=12. 所以AD十BD2=AB,所以AD⊥BD,…………4分 又PB⊥AD,PB∩BD=B,PB,BDC平面PBD,所以AD⊥平面PBD,…6分 又ADC平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD:…7分 (2)解：取BD的中点O,连接PO,CO,所以OC⊥BD,又PB=PD,所以PO⊥BD, 又平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,POC平面PBD, 则PO⊥平面ABCD,即PO是三棱锥P-ABD的高. 因为点F满足求=2Fi,所以Vw=号Vrm=号×号Sam·P0=号×号×2X2BXP0 2 3 解得PO=3.…………10分 又OCC平面ABCD,所以PO⊥OC 以点O为坐标原点，OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,之轴建立空间直角 坐标系，如图所示.所以A(-1,-23,0),B(1,0,0),C(0√5,0)， D(-1,00P0.03).F(o..2小所以亦=（-1.92小i (2,0,0).AD=(0,23,0).DP=(1,0,3),… …12分 设平面PAD的一个法向量为n= (y1,),所A n·Ad=23y=0, 以 m·Dp=x+321=0, 令x1=3,解得y=0,1=一1，所以平面PAD的一个法向量为n=(3,0,一1).…14分 设平面BDF的一个法向量为m=(x,2),则 m·萨=-+9+2=0， m·Di=2x2=0. 令y2=6,解得x2=0,1=一√5，所以平面BDF的一个法向量为m=(0.6.一3).…16分 设平面DBF与平面PAD的夹角的大小为0，所以os0=|cos(n,m|=Tn·m=√mX√丽 n·m 3 30,即平面DBF与平面PAD的夹角的余弦值为@ √130 130· …17分 19.解：1)因为osA=cosB士cosC,所以由正弦定理可得osA-cosBosC。 a b+c sin A sin B+sinC,…1分 所以sin Acos B+sin Acos C=cos Asin B+cos Asin C, 所以sin Acos B-cos Asin B=cos Asin C-sin Acos C,所以sin(A-B)=sin(C-A),·2分 【高一数学参考答案第4页（共5页）】 24721A 因为A-Be(-吾，受).C-A∈(-受，受) 所以A-B=C-A,即2A=B+C,又A+B+C=x,所以A= 3； ………4分 (2)①因为c≠26，所以B=受，又A=号，a=23,所以c=2,b=4 …5分 如图，设∠QBC=x∈[o,行]，则在△QBC中， 由正弦定理，得BQ BC sin C sin(C+r)·所以BQ= 3 in() 在△ABP中，由正弦定理，得B肥 BA 3 sin A ,所以BP …7分 sim(r+吾) sim(r+号） ∴S=2BP…BQsin若 3 3 3 6 4sim(x+晋)sim(x+受）-2[os(2x+受)-cos(-晋)】 √5+2sin2x 小小小…9分 因为x[0,号]所以2re[0,]放当2r=受，即x-受时，Sm=写32-3(2-5)…10分 4 w3+2 ⑧假设存在实者数0.，对于所有满足题意的a.都有im2a十sin29+k=2 pkea一+号成立， 即都有2sin(a+)cos(a-B)+k=2kcos(a-9)+写 2 …13分 由题意a十日=元一，所以2(sing一cos(。一8十k一=0对于所有满足题意的a3成立， sin -=0. 故有 k--0. 而长=号，即m0= 21 2 因为0e(0受]，所以0=吾k= 2 4…………17分 【高一数学参考答案第5页（共5页）】 24721A