精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

高一期末数学 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为复数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，表示两条不同直线，表示平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知、、，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 6. 已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 菱形边长为，，沿对角线折成一个四面体，使得平面平面，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 的内角，，的对边分别为，，，下列四个结论正确的是（ ） A. B. 若，则为120° C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若，则是钝角三角形 11. 如图，在长方体中，，，为的中点，是上一点，是平面上一点，则（ ） A. 长方体的外接球的表面积为 B. C 平面 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知复数，则__________. 13. 如图，四棱台侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为__________. 14. 若函数在上有个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角大小； （2）若角的角平分线与交于点，，，求的面积． 16. 在中，三个内角、、满足：、. （1）求； （2）若点为边上靠近点的三等分点，求的余弦值. 17. 已知复数，其中为虚数单位. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 18. Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题的概率． 19. 如图，在棱长为正方体中，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一期末数学 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为复数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及减法运算求出复数，再根据复数的模的公式即可得解. 【详解】解：， 所以. 故选：B. 2. 已知，表示两条不同直线，表示平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于，运用线面平行的性质和线线的位置关系，即可判断； 对于，运用线面垂直的性质，即可判断； 对于，运用线面垂直的性质和线线垂直，线面平行的位置关系即可判断； 对于，运用线面平行的性质和线面垂直的判定定理，即可判断. 【详解】对于，若，，则直线，可能相交或平行或异面，故错误； 对于，若，，则，故正确； 对于，若，，则或，故错误； 对于，若，，则或或，故错误. 故选：. 3. 已知、、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先表示出，，根据数量积的坐标表示及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、， 所以，， 所以， 即， 所以，即，所以. 故选：B 4. 如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全等以及余弦定理得，结合平方关系以及商数关系即可得解. 【详解】由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为，又由于为三等分点， 所以，又， 在中有余弦定理得：， 在中，利用余弦定理得：， 在中利用同角间的三角函数关系可知：． 故选：D. 5. 如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，结合圆柱的侧面积公式运算求解. 【详解】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为， 则石磨的侧面积为，解得. 故选：A. 6. 已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，设，，，，则，再利用基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题知，以原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 设，，且，，则， 则，，， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故的最大值为. 故选：B 7. 菱形的边长为，，沿对角线折成一个四面体，使得平面平面，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据已知条件找到四面体外接球的球心，再求出半径，即可得到球体的表面积. 【详解】如图所示，，分别为和的外接圆圆心， 因为菱形，，所以和为等边三角形. 设为的中点，连接，，则，， 又因为平面平面，所以平面. 分别过，作垂直平面和平面的直线， 则交点为四面体外接球的球心. 因为，四边形为矩形， 所以，. 所以外接圆半径为，表面积为. 故选：A 【点睛】本题主要考查四面体外接球的表面积，根据题意确定外接球的球心为解题关键，属于中档题. 8. 如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作的四等分点，使得，然后在三角形与三角形中，使用余弦定理表示出，再结合，两次使用余弦定理，从而解得所需要的边长，解出. 【详解】设在三角形与三角形中， 解得： 作的四等分点，且,由题意知，， 又因为，所以,, 又，所以, 在三角形与三角形中， 化简得: ,代入解得：, 从而解得： 故选：D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A：取特殊值否定即可，选项B：利用复数的模的性质求解即可，选项C：举特殊的复数否定即可,选项D：利用待定系数法设，，求证即可. 【详解】对于A，取，则， 故A错误； 对于B，结合复数模的性质可知，，故B正确； 对于C，令，则，而，故C错误； 对于D，设，，则时，.又， ，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 的内角，，的对边分别为，，，下列四个结论正确的是（ ） A. B. 若，则为120° C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若，则钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦定理化角为边可判断A；由余弦定理得，可判断B；利用两角和差的正弦公式求解可判断C；由正弦定理得，由余弦定理得为钝角，可判断D. 【详解】，故A正确； 由余弦定理得，而，则，故B正确； 若，即, 展开整理得， ∵，∴或， ∴为直角三角形或等腰三角形，故C错误； 若，由正弦定理得， 由余弦定理得，可得为钝角，则是钝角三角形，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在长方体中，，，为的中点，是上一点，是平面上一点，则（ ） A. 长方体的外接球的表面积为 B. C. 平面 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设长方体的外接球的半径为，得到，可判定A正确；根据线面垂直的判定定理结合条件，可判定B错误；连接交连接，利用线面平行的判定定理，可判定C正确；根据平面，得到点到平面的距离等于点到平面的距离，结合，可判定D正确. 【详解】由长方体中，，， 设长方体的外接球的半径为 可得长方体的对角线长为，则，可得， 所以长方体的外接球的表面积为，所以A正确； 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以 假设，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为在矩形中，与不垂直，所以假设不成立， 所以与不垂直，所以B错误； 连接交于点，连接，因为为的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面，所以C正确； 因为平面，且点在上的一动点， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设距离为， 因为长方体中，，， 可得，所以，所以， 所以， 又由，可得，所以， 即的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再计算其模即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 如图，四棱台侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】在四棱台中，分别是上下底面对角线的交点，即上下底面的中心，为四棱台的高， 过点作与交于点，则， 四边形和四边形都是正方形，且，则 ，，则，， ，即四棱台的高. 又上底面积，下底面积， 则该四棱台的体积为. 故答案为：. 14. 若函数在上有个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简得到，令，参变分离可得，令，，从而得到，分析，的单调性，从而得到在上有个解，结合正弦函数的性质求出的范围，即可求出的范围. 【详解】因为， 由，可得，所以， 因为，所以，所以， 令，则，所以，令，， 因与在上单调递减， 所以在上单调递减， 因为在上有个解， 则在上有个解， 则，则，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是换元，转化为在上有个解，确定的取值范围，由单调性确定的范围. 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若角的角平分线与交于点，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）根据三角形的面积公式结合等面积法求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以根据正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 因为，所以； 【小问2详解】 由， 得，解得， 所以的面积为. 16. 在中，三个内角、、满足：、. （1）求； （2）若点为边上靠近点的三等分点，求的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系将切化弦，结合两角和的正弦公式求出，再由和差角的余弦公式结合，求出、、，即可得解； （2）由（1）可设，则，利用余弦定理求出，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 在中，， ∵ ， 又，∴， ∵， ∴， 又，则， 当时，， 当时，（舍去）， ∴且，又，则，， 所以， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）可设，则， ∴， ∴. 17. 已知复数，其中为虚数单位. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的类型特征求参； （2）应用复数对应象限特征列不等式组即可求参数范围. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 所以 解得. 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以 解得. 18. Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3道题，只可能为甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，列式解得即可. 【小问1详解】 由题意可得 即解得或 由于，所以． 【小问2详解】 设甲同学答对了道题乙同学答对了道题． 由题意得，，． 设甲、乙二人共答对3道题，则． 由于和相互独立，与互斥， 所以 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为. 19. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的性质定理可得，结合线面垂直的判定定理可得平面，即可用面面垂直的性质定理得证； （2）借助平面与平面的夹角定义找出平面与平面夹角的夹角后，借助勾股定理计算各边长，结合余弦函数定义即可得解. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又四边形为正方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 如图，连接，取的中点，连接交于点，连接， 设交于点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以平面即为平面，且为中点， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，为的中点，所以， 所以为平面与平面的夹角， 由为直角三角形，可得， ，则， 即为等腰三角形，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$