精品解析：山东省聊城市东阿县第三中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题

2023-2024学年八年级（下）水平调研数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各数中是无理数的有（ ） ，，，，（每两个1之间依次多一个0） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 菱形的对角线互相垂直平分 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的四边形是矩形 4. 在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别是，，将点B向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点C，则点A，C关于（　　） A 轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D. 直线对称 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，D、E两点分别是边的中点，点F在的延长线上，使得四边形是平行四边形的条件可以是（　　） A. B. C. D. 7. 已知， 为直线上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A B. C. D. 9. 若关于的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 11. 如图，在中，，，以点C为中心，将 顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在一张无穷大的方格纸上，格点的位置可用坐标表示，如点的坐标为，点的坐标为．点从开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到，第2次向上移动2个单位到，第3次向右移动3个单位到，…，第次移动个单位（为奇数时向右，为偶数时向上），那么点第89次移动到的位置为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 不等式组的解集是__． 14. 已知3a-1与a-5是一个数的平方根，求这个数____________ 15. 如果把直线沿y轴向上平移2个单位，所得直线的解析式是_________． 16. 如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____． 17. 如图．在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至．然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则坐标是________． 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. （1）计算； （2）计算． 19. 解不等式（组），并把它的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，且． （1）在图中画出将沿轴向左平移6个单位后得到（点、、的对应点分别为点、、）； （2）在图中画出将绕原点顺时针旋转后得到的（点、、的对应点分别为点）． 21. 如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某些原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米． 22. 如图，在中，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）以上方案能得到四边形为平行四边形的是______，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由； （2）若，，求的面积． 23. 某水果店准备购进两种水果进行销售，若购进种水果和种水果各千克共花费元，购进种水果千克和种水果千克共花费元． （1）求购进种水果和种水果的单价； （2）若该水果店购进了两种水果共千克，其中种水果售价为元每千克，种水果售价为元每千克，设购进种水果千克，获得总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②要使销售水果的利润最大，且所获利润不低于进货价格的，请你帮该水果店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值． 24. 在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 （1）现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． （2）如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 25. （1）如图1，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，求证：四边形是正方形； （2）如图2，在中，，平分，过点D作于点E，于点F，点H是中点，连接，，． ①判断四边形的形状，并证明； ②已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级（下）水平调研数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得，进而可求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 故选D． 2. 在下列各数中是无理数的有（ ） ，，，，（每两个1之间依次多一个0） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的定义．无限不循环小数叫做无理数，常遇到的无理数有三类：开方开不尽的数的方根，如，等；特定结构的数，如；特定意义的数，如π． 【详解】解：，，都属于有理数， ，，（每两个1之间依次多一个0）是无理数，共3个； 故选：B． 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 菱形对角线互相垂直平分 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质，平行四边形与矩形，正方形的判定逐一分析即可得到答案； 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，所以A选项为真命题； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；所以B选项为真命题； C、有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形，所以C选项为真命题； D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以D选项为假命题． 故选D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．同时考查了菱形的性质，平行四边形与矩形，正方形的判定. 4. 在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别是，，将点B向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点C，则点A，C关于（　　） A. 轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D. 直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的平移规律以及点的对称性，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先把点向右平移2个单位，向上平移3个单位的点坐标写出来，然后根据对称规律作出判断即可． 【详解】将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点C， 点C坐标为， ， 点A，C关于轴对称． 故选：B． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案． 【详解】解：， 解不等式2x−1≤5，得：x≤3， 解不等式8−4x＜0，得：x＞2， 故不等式组的解集为：2＜x≤3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键． 6. 如图，在中，D、E两点分别是边的中点，点F在的延长线上，使得四边形是平行四边形的条件可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据三角形中位线定理得出，进而利用平行四边形的判定解答即可． 【详解】解：∵D、E两点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， A、，∴四边形是平行四边形，故符合题意； B、∵，不能使得四边形是平行四边形，故不符合题意； C、∵，不能使得四边形是平行四边形，故不符合题意； D、∵，不能使得四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：A． 7. 已知， 为直线上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两个点代入直线方程整理判断即可． 【详解】解：将A、B两点坐标分别代入直线方程，得，，则． ． ∵A、B两点不相同， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，比较简单，分别代入计算整理即可． 8. 如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，周角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合正方形的性质以及等边三角形的性质，可以知道，以及和为等腰三角形，利用三角形内角和求得和，最后利用周角求得的度数． 【详解】四边形是正方形 ， 为等边三角形 ， ，， 同理 故选：B． 9. 若关于的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴不等式组的解集为：， ∴ 解得：，则符合条件的所有整数的和为 故选：D． 10. 如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出直线和直线的比例系数k，即可求解． 【详解】解：将代入中得：， 解得， 当直线刚好过点B时，将代入中得：， 解得， ∴当直线与线段有交点时，k的取值范围为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数关系，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． 11. 如图，在中，，，以点C为中心，将 顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到，，，则可判断为等腰直角三角形，即可得到，然后根据三角形外角性质计算出的度数； 【详解】解：∵顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：C； 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 12. 如图，在一张无穷大的方格纸上，格点的位置可用坐标表示，如点的坐标为，点的坐标为．点从开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到，第2次向上移动2个单位到，第3次向右移动3个单位到，…，第次移动个单位（为奇数时向右，为偶数时向上），那么点第89次移动到的位置为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查用数对表示位置，数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行；当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变；当向上移动时，列的数字不变，行的数字变化；分析题意得，当点M移到89次时，列的数字应该是中所有的奇数的和，而行的数字应该是中偶数的和，据此即可得解。 【详解】.解：据分析可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变；当向上移动时，列的数字不变，行的数字变化， 所以点M第89次移动到的位置时，列的数字应该是中所有奇数的和，行的数字应该是中所有偶数的和， ； ， 因此M第89次移动到的位置为， 故选：D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 不等式组的解集是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解为， 故答案为：． 14. 已知3a-1与a-5是一个数的平方根，求这个数____________ 【答案】49或 【解析】 【分析】根据同一个数的平方根相等或互为相反数，可得a的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】根据题意知3a-1=a-5或3a-1+a-5=0， 解得：a=-2或a=， 则这个数为(3a-1)2=(-7)2=49或(3a-1)2=()2=， 故答案为：49或． 【点睛】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，熟记这些概念是解题关键． 15. 如果把直线沿y轴向上平移2个单位，所得直线的解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据函数平移的特点：上加下减，即可得到答案． 【详解】直线沿y轴向上平移2个单位所得直线的解析式为． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作于点，于点，，由四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，通过角平分线的性质证得四边形是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】如图，过作于点，于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 17. 如图．在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至．然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，规律型问题，解题的关键是根据第四象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意可知 ∴第四象限中点 ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. （1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的乘法法则、除法法则计算，再根据负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后合并即可； （2）先根据平方差和完全平方公式计算，再根据零指数幂的意义计算，然后合并即可． 【详解】解：（1）原式 ， ； （2）原式， ． 19. 解不等式（组），并把它的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1）；数轴见解析 （2）；数轴见解析 【解析】 【分析】题目主要考查求不等式及不等式组的解集及在数轴上表示，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键． （1）根据求不等式解集的方法步骤求解即可，在数轴上表示出来即可； （2）先分别求出各个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解： 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为得，， 在数轴上表示如下： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式得，； 解不等式得，， 故不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，且． （1）在图中画出将沿轴向左平移6个单位后得到的（点、、的对应点分别为点、、）； （2）在图中画出将绕原点顺时针旋转后得到的（点、、的对应点分别为点）． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 解：点，向左平移6个单位后得到的得到，依次连接，则即为所求的三角形，如图： 【小问2详解】 解：连接，将顺时针旋转后得到，则，依次连接，则即为所求的三角形，如图： ． 21. 如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某些原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）新路比原路少千米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）先根据勾股定理的逆定理说明即可作出判断； （2）设千米，借助勾股定理建立方程求解，再计算与差即可． 【小问1详解】 解：是，理由： 在中， ∴是从村庄到河边的最近路． 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 由（1）及勾股定理得 解得：， ， ∴ 新路比原路少千米． 22. 如图，在中，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）以上方案能得到四边形为平行四边形的是______，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）甲、乙两种方案，证明见解析 （2）48 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定等知识点，熟练地掌握平行四边形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意结合平行四边形的判定和全等三角形的性质与判定证明即可，甲方案：两条对角线相互平分的四边形为平行四边形；乙方案：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形； （2）根据，结合四边形为平行四边形的性质可得到，，即，已知，可求得，故． 【小问1详解】 证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：甲方案和乙方案； 【小问2详解】 ∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：的面积为． 23. 某水果店准备购进两种水果进行销售，若购进种水果和种水果各千克共花费元，购进种水果千克和种水果千克共花费元． （1）求购进种水果和种水果的单价； （2）若该水果店购进了两种水果共千克，其中种水果售价为元每千克，种水果售价为元每千克，设购进种水果千克，获得总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②要使销售水果的利润最大，且所获利润不低于进货价格的，请你帮该水果店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值． 【答案】（1）购进种水果的单价为10元每千克，购进B种水果的单价为18元每千克 （2）①②购进种水果17千克，种水果83千克，可以获得最大利润，最大利润是666元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用 （1）根据购进种水果和种各千克共花费元，购进种水果千克和种水果千克共花费元，可以列出相应的二元一次方程组求得； （2）①根据题意，可以写出关于的函数关系式； ②根据所获利润不低于进货价格的，可以得到，从而可以求得的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题． 【小问1详解】 解：设购进水果单价为元，水果的单价为元， ， 得 答：购进种水果的单价为元，购进B种水果的单价为元； 小问2详解】 解：①由题意可得， ， 即关于的函数关系式为； ②所获利润不低于进货价格的， ， 解得，， 为整数，， 当时，取得最大值，此时，， 答：购进种水果千克，种水果千克，可以获得最大利润，最大利润是元． 24. 在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 （1）现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． （2）如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设需要甲种原料，则需要乙种原料，然后根据要求至少含有4200单位的蛋白质列出不等式求解即可； （2）根据购买甲、乙两种原料的费用不超过72元结合（1）所求，建立关于x的不等式组进行求解即可． 【小问1详解】 解：设需要甲种原料，则需要乙种原料， 由题意得， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键． 25. （1）如图1，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，求证：四边形是正方形； （2）如图2，在中，，平分，过点D作于点E，于点F，点H是的中点，连接，，． ①判断四边形的形状，并证明； ②已知，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①菱形，见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据正方形的判定进行判定即可； （2）①根据直角三角形的性质得出，根据斜边的中线等于斜边的一半得出，，证明，得出结论即可； ②根据四边形为菱形，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，，， ∵， ∴四边形是正方形． （2）①四边形为菱形． 证明：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵点H是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形 ②设与的交点为O． ∵，点H是中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$