1.4.2 利用空间向量研究距离、夹角问题（6大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 利用空间向量研究距离、夹角问题 知识点 1 用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）． 【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得. 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 知识点 2 用向量法求空间角 1、异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 2、直线与平面所成角 设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为．则． 3、平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决． 1、求一个点到平面的距离步骤 （1）求出该平面的一个法向量； （2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； （3）求出法向量与斜线段对应的项链的数量积的绝对值，再除以法向量的摸，即可求出点到平面的距离． 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 4、向量法求二面角步骤 （1）建立空间直角坐标系；（2）分别求出二面角的两个半平面所在的平面的法向量；（3）求两个法向量的夹角；（4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；（5）确定二面角的大小． 【注意】用向量法求二面角的大小时，注意根据图形分析二面角是锐角还是钝角，是两平面法向量的夹角还是其补角． 题型一 向量法求点到直线的距离 【例1】（22-23高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，，所以， 所以点C到直线AB的距离=，故选：C． 【变式1-1】（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在棱长为1的正方体中，以D为坐标原点，以为轴， 建立空间直角坐标系， 则， , 设平面的一个法向量为，则, 即，令，则， 则点到平面的距离为，故选：C 【变式1-2】（23-24高二下·甘肃·期中）将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， 所以点A到直线BC的距离.故选：A 【变式1-3】（23-24高二上·河南南阳·期末）在四面体中，，，，若点为的重心，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，在四面体中，，，两两互相垂直， 如图，以为原点，以射线，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. ∵，，，， ∴，，，，， ∴，， ， ， ∴点到直线的距离.故选：D 题型二 向量法求点到平面的距离 【例2】（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故A错误； 对于B，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故B错误；     对于C，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故C错误；     对于D，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故D正确.故选：D. 【变式2-1】（23-24高二下·甘肃·期中）已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则令，可得，所以， 即，又平面，所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又，所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为.故选：B 【变式2-2】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 . 【答案】 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)， F(2，4，4)，N(4，2，4). ∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)， ∴， ∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M. ∴平面AMN∥平面EFBD. 设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， 则解得 取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1). 平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离. ∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=. 【变式2-3】（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．    (1)求证：平面平面ABC； (2)求点C到平面PAB的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1），E为AC的中点， 又，且平面 ，故平面． 又平面ABC，所以平面平面ABC （2）在三角形ABC中：，    由（1）知平面．因平面． 又E为AC的中点，则垂直平分AC，， ，又 ，即，又平面，故得，平面. 故可以E为坐标原点，分别以、、所在方向为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，如图. 则，，，， ，，， 设平面PAB的一个法向量为，则 令，得． 设点C到平面PAB的距离，则． 题型三 向量法求异面直线所成角 【例3】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为，则， 直线与所成角的余弦值为．故选：B 【变式3-1】（23-24高三下·广东梅州·月考）直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点，在平面中过作的垂线交于， 以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，， 设， 所以，，，， ，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：. 【变式3-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设菱形对角线相交于点，则为的中点，， 又为矩形的边的中点.所以， 又面面，，面， 所以面，所以面， 又面，所以， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：    不妨设，， 则， 所以，所以， 所以直线与的所成的角为.故选：B. 【变式3-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为底面，平面， 所以， 而，所以、、两两互相垂直， 不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，， ，， 因为，所以，则； （2），， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 题型四 向量法求直线与平面所成角 【例4】（23-24高二上·福建福州·期中）若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则与所成角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】设与所成角为， 因为直线的一个方向向量，平面的一个法向量， 所以， 因为，所以.故选：A 【变式4-1】（23-24高二上·湖南郴州·期末）正方体中，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方体的棱长为1，,,,， ,,， 设平面的法向量为， 即，取，， 设与平面所成角为, ，故选：B. 【变式4-2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知平面，且四边形为正方形， 所以以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 设，则，，， 从而，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成的角为，则 ，故C项正确.故选：C. 【变式4-3】（23-24高二上·辽宁·期中）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶.如图所示的五面体的底面为一个矩形，，，，棱分别是的中点.求直线与平面所成角的正弦值（    ）     A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，为的中点，所以， 在矩形中，,，分别为，的中点， 故，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 在平面中，过作，为垂足， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，过点H作,交于S,交于Q， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 由题意得, 所以，，，， 所以，，. 设平面的法向量，则 ，即 ， 令，得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：C. 题型五 向量法求平面与平面所成角 【例5】（23-24高二上·湖北武汉·月考）如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（    ） A．－ B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系B­xyz，则M ，N，. 解法一  取MN的中点G，连接BG，AG，则G. 因为为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角． 又因为，， 所以，， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，则. 故所求两平面夹角的余弦值为. 解法二  设平面AMN的法向量 由于， ， 则，即， 令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是， 同理可求得平面BMN的一个法向量 . 所以 ， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，则. 故所求两平面夹角的余弦值为.故选：B. 【变式5-1】（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）已知是圆锥的底面直径，是底面圆周上的一点，，则二面角的余弦值为 ． 【答案】/ 【解析】如图，以点为坐标原点，分别为轴，过点垂直为轴，建立空间直角坐标系， 点为底面圆周上一点，则，又，， ，， ，，，， ，， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，得，，， 又易知平面的一个法向量为， ， 如图，锐二面角的余弦值为. 【变式5-2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角，所以平面平面， 因为是菱形，是的中点，所以，， 而平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 易得平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为．故选：A 【变式5-3】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）如图，已知菱形所在的平面与所在的平面互相垂直，且．则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ．    【答案】 【解析】取中点，连接，在菱形中，所以是正三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面. 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设面的法向量是，，， 则由，即，则令，得， 所以， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值是. 题型六 空间角的探索性问题 【例6】（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．    (1)求证：⊥平面； (2)已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见解析；(2) 【解析】（1）因为是正三角形，为的中点，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面； （2）连接，因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 因为底面是边长为4的正方形，则两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 则到平面的距离为，    解得，故，故. 【变式6-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2．    (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，且. 【解析】（1）在图1中，因为，、分别为、的中点， 则，， 翻折后，在图2中，因为为的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为平面，所以，. （2）取的中点，连接，翻折前，则、、三点共线， 又因为，为的中点，则，即， 翻折后，则有， 又因为平面，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 所以，， , 由题意可得， 整理可得，又因为，解得， 因此，线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为，且. 【变式6-2】（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点. (1)若为中点，证明：面； (2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，且或 【解析】（1），所以为等边三角形， 为中点，， 又，所以 以为原点，分别头轴，建立空间直角坐标系，如图， 则 ， 设平面的一个法向量， 则，，令，可得， ，， 又面，面. （2）设， 则, , 设平面的法向量， 则，即， 令，得平面的一个法向量， 设与平面所成的角为， 则， 解得或， 即存在点，且或. 【变式6-3】（23-24高二下·河北·开学考试）如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点． (1)证明：平面． (2)在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析. 【解析】（1）如图，取的中点，连接，，    因为，分别为，的中点，所以， 又，所以， 又，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）如图，取的中点，连接， 由且，得四边形是平行四边形， 所以，又，，所以， 所以， 由，得， 在中，，，， 由余弦定理得， 则，又，，所以， 所以，则， 又平面，所以平面， 在平面内作交于， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 假设存在点满足题意，设（）， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 整理得，解得或，与矛盾， 所以假设不成立，即不存在，使得平面与平面的夹角的余弦值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2 利用空间向量研究距离、夹角问题 知识点 1 用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）． 【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得. 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 知识点 2 用向量法求空间角 1、异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 2、直线与平面所成角 设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为．则． 3、平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决． 1、求一个点到平面的距离步骤 （1）求出该平面的一个法向量； （2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； （3）求出法向量与斜线段对应的项链的数量积的绝对值，再除以法向量的摸，即可求出点到平面的距离． 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 4、向量法求二面角步骤 （1）建立空间直角坐标系；（2）分别求出二面角的两个半平面所在的平面的法向量；（3）求两个法向量的夹角；（4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；（5）确定二面角的大小． 【注意】用向量法求二面角的大小时，注意根据图形分析二面角是锐角还是钝角，是两平面法向量的夹角还是其补角． 题型一 向量法求点到直线的距离 【例1】（22-23高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·甘肃·期中）将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·河南南阳·期末）在四面体中，，，，若点为的重心，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 题型二 向量法求点到平面的距离 【例2】（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·甘肃·期中）已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 . 【变式2-3】（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．    (1)求证：平面平面ABC； (2)求点C到平面PAB的距离． 题型三 向量法求异面直线所成角 【例3】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高三下·广东梅州·月考）直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 题型四 向量法求直线与平面所成角 【例4】（23-24高二上·福建福州·期中）若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则与所成角为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（23-24高二上·湖南郴州·期末）正方体中，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·辽宁·期中）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶.如图所示的五面体的底面为一个矩形，，，，棱分别是的中点.求直线与平面所成角的正弦值（    ）     A． B． C． D． 题型五 向量法求平面与平面所成角 【例5】（23-24高二上·湖北武汉·月考）如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（    ） A．－ B． C． D． 【变式5-1】（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）已知是圆锥的底面直径，是底面圆周上的一点，，则二面角的余弦值为 ． 【变式5-2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）如图，已知菱形所在的平面与所在的平面互相垂直，且．则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ．    题型六 空间角的探索性问题 【例6】（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．    (1)求证：⊥平面； (2)已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长． 【变式6-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2．    (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式6-2】（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点. (1)若为中点，证明：面； (2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式6-3】（23-24高二下·河北·开学考试）如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点． (1)证明：平面． (2)在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$