1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（4知识点+10题型）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 点到直线和平面的距离 1.点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==. 2.点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=. 注意点： 实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 知识点2 两异面直线所成的角 知识梳理 若异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ=|cos〈u，v〉|==. 注意点： 两异面直线所成角的范围是两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系. 当方向向量的夹角为锐角或直角时，异面直线所成的角与方向向量的夹角相等； 当方向向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角与方向向量的夹角互补. 知识点3 直线与平面所成的角 知识梳理 设直线AB与平面α所成的角为θ， 直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ=|cos〈u，n〉|==. 注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. (2)线面角的范围为. (3)把斜线的方向向量与平面法向量的夹角记作α，当α为锐角时，直线和平面所成的角为-α；当α为钝角时，直线和平面所成的角为α-. 知识点4 两个平面的夹角 1.两个平面的夹角的概念：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 2.求夹角的方法： 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|==. 注意点： (1)两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角. (2)二面角与两平面的夹角是两个不同的概念，注意两者范围的不同. 思路方法总结 1.用向量法求点到直线的距离的一般步骤 ①求直线的单位方向向量u. ②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. ③利用公式d=. (2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解. 2.用向量法求点面距离的步骤 ①建系：建立恰当的空间直角坐标系. ②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标. ③求向量：求出相关向量的坐标(α内两不共线向量，平面α的法向量n). ④求距离d=. (2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l到平面α的距离. (3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离. 3.求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量. (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值. (3)得出两条异面直线所成的角. 4.利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ= . 5.求两平面夹角的两种方法 (1)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2或π-〈n1，n2. (2)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同. 典例·举一反三 题型一 点到直线的距离 1．已知空间中有三点，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量点到直线距离公式结合夹角余弦及模长公式计算求解. 【详解】因为，，所以. 因为，所以点到直线的距离为. 故选：C. 2．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到的距离为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离的向量公式即可求解. 【详解】由题意可得与同向的单位向量， 点到直线的距离． 故选：D． 3．已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 4．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 5．在空间直角坐标系中，点，已知直线l经过点，且l的方向向量． (1)求； (2)求点M到直线l的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间中两点间的距离公式求解即可. （2）根据向量和直线的方向向量的关系可求出点M到直线l的距离． 【详解】（1）因为点，点， 所以. （2）因为点，点，所以，   过点M作直线l的垂线，垂足为Q，，   点M到直线l的距离．    题型二 点到平面的距离 6．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】求出在方向上的投影的长度即得． 【详解】由已知， 点到平面的距离为， 故选：C． 7．如图，在长方体中，，，E为中点，则D到平面的距离为（   ）    A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】以为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用距离公式即可得到答案. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系， 则,， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以，， 则点到平面的距离为. 故选：C.    8．已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用点到平面距离的向量求法可得答案. 【详解】由， 所以到平面的距离为． 故答案为：. 9．如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，且，动点，分别在线段和上运动（不含端点），且.    (1)证明：平面. (2)当时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，利用空间向量的坐标运算证明即可；或者作交于，连接，构造面面平行，再用面面平行的性质定理得证；再或者作交于E，作交于F，借助相似平行先证四边形为平行四边形，借助线面平行的判定定理证明； （2）根据（1）中空间向量的坐标运算得平面的法向量，根据点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）法一：由平面得，， 又四边形为正方形，且，则，， 如图，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，    不妨设， 则，，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 因为平面，所以平面. 法二：作交于，连接    ∵，∴， 又∵，，∴， ∴，∴， 又∵，∴， ∴与中，，， ∴面面， 又∵面，∴面. 法三：作交于E，作交于F，    ∵，又，， ∴， 在与中，，， ∴，∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵面，面， ∴面. （2）当时，由（1）可得，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，代入解得，即平面的一个法向量， 点到平面的距离为. 10．如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和在上的投影长，利用点到直线公式，即可求出点到直线的距离； (2)先求出平面的法向量，再利用向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）由题可知两两相互垂直， 如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又分别是棱的中点，，得 因为 所以在上的投影长为 所以点到直线的距离为 （2）由知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 题型三 直线到直线的距离 11．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的最值即可求解. 【详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：. 12．在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为，，轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设直线与的公垂线的方向向量为， 则，取，则，， ，又， 异面直线与的距离是. 故选：A. 13．在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，把异面直线的距离问题转化为点到直线的距离求解，利用向量来求解点到直线的距离，利用二次函数的性质求解最小值，即可得到答案． 【详解】解：因为平面，，， 故以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 因为，，， 则，，，， 所以， 设，， ， 距离， 因为， 故 所以异面直线与之间的距离， 故选：A． 14．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论错误的是（   ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，由垂直关系的向量表示可得，利用公垂线的定义可得A正确，利用投影向量模长公式计算可得B错误，由点到直线距离的向量求法可得C正确，再由点到平面距离的向量求法可得D正确. 【详解】以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以，可得； 对于A，易知， 易知，即， 根据定义可知线段是异面直线与的公垂线段，即A正确； 对于B，因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 所以，异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为，即B错误； 对于C，所以在方向上的投影向量的模长为； 所以点到直线的距离为，即C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 则，取，则； 所以，又， 因此点到平面的距离为，即D正确. 故选：B 15．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 题型四 直线到平面的距离 16．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据正方体的性质结合已知条件得出直线平面，则点到平面的距离即为直线到平面的距离，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求解． 【详解】为的中点， ， 又平面， 平面， 点到平面的距离即为直线到平面的距离， 以点为原点，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，    则点，， 设平面的法向量为，则，令，则，， 平面的法向量为， ， ． 故答案为：． 17．已知正方体的棱长为1． (1)求平面与平面之间的距离． (2)若为的中点，为的中点，为的中点，为的中点． （ⅰ）求直线到直线的距离； （ⅱ）求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为平面平面，所以平面与平面之间的距离等于点到平面的距离，求出平面的法向量，利用向量法求解点面距离，即可得解. （2）（ⅰ）同（1）建立空间直角坐标系，先利用向量法判断，然后利用平行线的向量距离公式求解即可； （ⅱ）求出平面的法向量，先利用向量法证明平面，然后利用点面距的向量公式求解即可. 【详解】（1）在正方体中，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，平面， 所以平面平面. 所以平面与平面之间的距离等于点到平面的距离． 以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则 令，得故是平面的一个法向量． 所以点到平面的距离， 即平面与平面之间的距离为． （2）（ⅰ）同（1）建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，． 所以，，则，即，则， 所以直线到直线的距离可转化成点到直线的距离． 连接，因为， 所以点到直线的距离， 所以直线到直线的距离为． （ⅱ）易得，，． 设平面的法向量为，则 令，则，，得是平面的一个法向量． 因为，所以，又平面，所以平面， 所以直线到平面的距离可转化成点到平面的距离． 因为，所以直线到平面的距离． 18．如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 题型五 平行面间的距离 19．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 20．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 21．在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【分析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量求法可判断A；求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法可判断B；求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可判断C；利用点到平面的距离的向量求法可判断D. 【详解】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系， 对于A，，， 所以点到的距离，故A正确； 对于B，， ，， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，，， 设为平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，因为平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为，故D错误. 故选：AB. 22．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 23．已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量公式求解即可； （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可； （3）利用直线到平面距离的向量公式求解即可； （4）求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 题型六 线线角的向量求法 24．在直三棱柱中，，二面角的大小为，点B到平面的距离为，点C到平面的距离为，则直线与直线所成角的正切值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到，从而可得，利用向量法可求得，进而计算可求得结论. 【详解】直三棱柱中，底面， 又底面，则，， 则二面角的平面角即为，且为， 到面的距离等于，由于侧面和底面垂直， 由面面垂直的性质定理可得到的距离为， 同样到平面的距离等于，即为到的距离为， 在三角形中，可得， 由余弦定理可得 ，所以， 所以，所以， 所以， ， 所以， 所以， 所以，所以直线与直线所成角的正切值为. 故选：D. 25．如图，六面体由两个三棱锥和拼接而成，其中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角余弦值为 . 【答案】/ 【分析】作中点，则可得，，，则以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出异面直线所成角的余弦值 【详解】因为，， 所以,由于,所以， 作中点，则，，且， 由于，所以， 则以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，， 因为,,,所以，同理， 因为，平面，所以平面， 由于，，所以，则，所以，， 则异面直线与所成的角余弦值为. 故答案为： 26．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，，.    (1)用，，表示和. (2)求直线与夹角的余弦值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用平行六面体的性质及空间向量基本定理求解. （2）利用空间向量数量积及空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）在平行六面体中，， 由M为与的交点，得是的中点， 则， . （2）依题意，，，则， 于是， ， 因此， 所以直线AB与的夹角的余弦值为. 27．如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．    (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值； (3)求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理证明垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求两直线的夹角余弦值；（3）根据空间坐标系中两点距离公式求解. 【详解】（1）因正方体的棱长为1，所以，而是线段的中点，因此. 由勾股定理得，，，因是线段的中点，所以. 在直角三角形中，是其斜边上的中线，故. 由勾股定理得，. 因此，，故是直角三角形，其中，故. （2）以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.    则，，，. ，. 设直线与所成角，则 （3） 题型七线面角的向量求法 28．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用线面角的空间向量公式即可求解. 【详解】如下图，连接，因为，为中点， 所以，，又平面底面， 平面底面，平面，所以平面， 又因为平面，所以，故，，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由， 可得，，，， ，，，      设平面的一个法向量为，则有， 令，得，，得， 设所求角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故选：C 29．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，，，，平面．    (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先在底面梯形中证明对角线互相垂直，再由直线与平面垂直的判定定理可得； （2）直接用空间向量的方法求直线与平面所成的角的正弦值； 【详解】（1）因为，所以在中，，，所以. 又底面为直角梯形，，所以且， 所以在中，，，所以. 故在中，，， 所以，且，， 因为在上单调递增，所以，即， 所以，得. 又因为平面，平面，所以. 因为，，平面，平面，， 故平面 （2）以为空间直角坐标系的原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图.    则，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，，令，得，，得. 所以， 故与平面所成的角的正弦值为. 30．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； 【详解】（1）如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面．    （2）取的中点F， 因为在正中，D是的中点，故， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以平面ABC， 又因为D是的中点，F是的中点， 所以， 所以平面，所以，， 以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即． 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 31．如图1，在中，，D、E两点分别在、上，使．现将沿折起得到四棱锥，在图2中．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可． 【详解】（1）在图1的中，， 所以，且， 因为，所以，则， 在中，，，则， 在图2的中，， 满足，所以， 因为平面， 所以平面． （2）因为平面，， 以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 可得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， 所以， 因此，直线与平面所成角的余弦值为． 32．已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助余弦定理与勾股定理的逆定理可得，再利用等边三角形性质及线面垂直判定定理可得平面，即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系后求出直线方向向量与平面的法向量，再借助空间向量夹角余弦公式计算即可得. 【详解】（1）取的中点，连接，由， 所以， 所以，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直， 以所在直线为轴，以所在直线为轴， 以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以， ， ， 设平面的法向量为， 则即, 取，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则. 题型八 面面角的向量求法 33．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，先由余弦定理求出，再由勾股定理证明，结合平面，可得，最后根据线线垂直可证线面垂直，利用线面垂直的性质即得证； （2）由条件建系，写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）    如图，连接，设，则，因， 在中，由余弦定理，可得， 又，则．                         由平面，且平面，可得．                     又，且，平面， 故平面，平面， 所以． （2）因平面，由（1）得，即两两互相垂直．                  故可以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.    则，,,， 则，，    设平面的法向量为， 则故可取； 又因        设平面的法向量为， 则故可取.   于是，， 因 ,则， 故平面与平面夹角的正弦值为． 34．如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点． (1)求证：； (2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由勾股定理证明，再由得出平面，进而证明； （2）以点为坐标原点，建立坐标系，平面与平面所成的角为锐角二面角，利用向量法得出二面角的余弦值． 【详解】（1）（1）连接，由，为中点，得， 又∵四边形为直角梯形，，， 所以，则四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，， 则，则， 又平面，平面，， ∴平面， 又平面，∴． （2）由（1）可得，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，， 方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系． ，，，，， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，， ∴， 故平面与平面所成的锐角二面角的余弦值为． 35．在长方体中，点E，F分别在上，且.    (1)求证：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面得，又，可得平面，从而．由平面，得，又，可得平面，从而，进而可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可解决． 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以． 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面． （2）以A为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．    则， 所以，且是平面的一个法向量， ， 设平面的法向量为， 则，所以，令，得，则， 设平面与平面的夹角为， 所以， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 36．如图，在圆锥中，为底面的圆心，，，点是底面圆周上一点，是的中点，，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，取靠近点的四等分点，连接，，，易证四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判断求解即可. （2）以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）如图1，取的中点，取靠近点的四等分点，连接，，. 因为是的中点，所以是的中位线，所以，. 因为，所以，所以根据相似的性质可得，， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）根据圆锥的性质可得平面，因为平面，平面，所以，. 因为，所以以点为坐标原点， ，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图2所示， 则，，，，. 设平面的法向量为，则，取. 易得平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 因为平面与平面的夹角为为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为. 37．如图，在直三棱柱中，，，点，分别在线段，上，点在棱上，且，，.    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据线面垂直的性质定理得，根据勾股定理得，然后利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理求证即可. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，然后利用面面夹角的向量公式求解即可. 【详解】（1）如图，连接. ，平面，平面， 平面，.                      在中，由余弦定理可得 ， ，，             又，，平面， 平面，平面，，即，                 又，.                      （2）以为坐标原点，向量，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ，，.         设平面的法向量为，则， 令，得.           设平面的法向量为，则 令，得.               ，      平面与平面夹角的余弦值为. 题型九 向量法解决距离的探索性问题 38．如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点． (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与半面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)不垂直；证明见解析 (2)； (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明，，由此可得结论； （2）求平面的法向量，利用向量方法求直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，，求出的坐标，再求平面的法向量及，利用向量方法求点到平面的距离，列方程求即可. 【详解】（1）结论：直线与平面不垂直， 以为坐标原点，，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， ， 所以直线与平面不垂直． （2）设平面的一个法向量， ，， ， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）假设存在，，使得点到平面的距离是， 由（1）知，，，所以， 所以，又，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离是， 故在线段上不存在点，使得点到平面的距离是． 39．如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点，根据线线平行证明线面平行即可得； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出平面与平面的法向量后再借助空间向量夹角公式计算即可得； （3）设，再求出平面的法向量后结合空间中点到平面距离公式计算即可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，因为是的中点， 所以且， 又因为且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面；    （2）    由题意：平面，且， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，，，，是的中点． 故，，，， 所以平面的法向量为，设平面的法向量为， 又，，由，， 则有，令，则，，即， 所以， 所以，平面与平面夹角的余弦值为； （3）设，且，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，可得， 令，则，，所以， 因为点到平面的距离为． 所以，解得， 所以存在点，使得点到平面PAQ的距离为，此时． 40．如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明； （2）建系得出平面和平面的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函数关系求解正弦； （3）设再应用点到平面距离即可计算求参. 【详解】（1）取的中点N， 连接， 如图所示：   为棱的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面， 平面. （2）    由在等腰梯形中，，，为边上靠近点的三等分点，可得， 也即 又平面平面，交线为,平面， 所以平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点，    所在直线分别为轴建立直角坐标系，, 如图，则 为棱的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 所以二面角的正弦值为. （3）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 41．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的坐标为或，理由见解析， 【分析】（1）先证明，，由线面垂直判定定理证明平面，所以，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）先证明平面，由此可得，再证明，由此可得，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）设，，由此可得，根据点到平面的距离的向量求法结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以. 因为四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为为中点，，所以. 又，平面， 所以平面， （2） 由（1）平面，平面，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为四边形为正方形，所以， 平面，， 所以平面，平面，所以， 因为为的中点，，所以， ，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，所以平面，平面， 所以，故， 由（1）平面，平面， 所以，故，又， 所以，所以， 由已知，，， 所以，故， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，易知， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. 平面ABCD的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， （3）因为，，所以， 设，， 所以，所以，所以. 由（2）知平面的一个法向量为， 所以，解得或， 所以点的坐标为或. 42．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 题型十 向量法求角度的探索性问题 43．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，点在棱上．    (1)若为的中点，证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再应用线面垂直判定定理得平面，最后应用线面垂直性质即可证明； （2）先建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，设，最后应用线面角正弦公式计算求解. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 由，，可得， 因为，平面，所以平面，      因为平面，所以，     因为，为的中点，所以，        又因为、平面，，所以平面， 又因为平面，所以． （2）如图，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，    所以， 设平面的法向量为， 因为， 所以， 令，则，所以， 令，则，， 设直线与平面所成角为，则，                所以，整理得， 解得或，可得， 所以或． 44．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． (1)求证：． (2)求线段的中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，再计算出，后相乘即可得； （2）求出平面的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． 【详解】（1）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则,，，，， 则，， 有，故； （2）由，，则，又， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时． 45．如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设线段的中点为，线段的中点为，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证. （2）根据已知，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，令，，结合已知并利用线面角的向量求法列方程求参数，即可得. 【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接， 依题意，，则，由，得， 而，是梯形的中位线，于是， 而平面，则平面， 而平面，于是，又平面，且和相交， 因此平面，而平面，所以平面平面； （2）依题意，，则，即， 由（1）知平面，平面，则， 由，平面，可得平面， 过作平面，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，    则，， 令，，则， 由平面，则平面的一个法向量为， 由题设， 所以，可得（负值舍），所以时满足题设. 46．图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 47．如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】(1)由余弦定理求出，由勾股定理得，由面面垂直的性质定理可证得平面从而得到； (2)由（1）得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得点到平面的距离； (3)假设线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为.设根据（2）建立的空间直角坐标系，根据平面与平面夹角的向量求法，构建关于的方程，求出的值，即可求得的值. 【详解】（1）证明：在中，因为 所以 所以所以 又平面平面平面平面平面 所以平面 又平面所以. （2）由（1）知平面平面，所以又所以两两垂直. 以所在的直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 因为四边形是平行四边形，所以，所以，. 设平面的一个法向量 因为 所以即 令则所以 所以点到平面的距离. （3）假设线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为. 设由（2）知,则 所以 设平面的一个法向量因为 所以即 令则所以 由（2）知平面的一个法向量为： 设平面与平面的夹角为则 解得或（舍）. 所以存在点使得满足要求，此时即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 点到直线和平面的距离 1.点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==. 2.点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=. 注意点： 实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 知识点2 两异面直线所成的角 知识梳理 若异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ=|cos〈u，v〉|==. 注意点： 两异面直线所成角的范围是两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系. 当方向向量的夹角为锐角或直角时，异面直线所成的角与方向向量的夹角相等； 当方向向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角与方向向量的夹角互补. 知识点3 直线与平面所成的角 知识梳理 设直线AB与平面α所成的角为θ， 直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ=|cos〈u，n〉|==. 注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. (2)线面角的范围为. (3)把斜线的方向向量与平面法向量的夹角记作α，当α为锐角时，直线和平面所成的角为-α；当α为钝角时，直线和平面所成的角为α-. 知识点4 两个平面的夹角 1.两个平面的夹角的概念：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 2.求夹角的方法： 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|==. 注意点： (1)两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角. (2)二面角与两平面的夹角是两个不同的概念，注意两者范围的不同. 思路方法总结 1.用向量法求点到直线的距离的一般步骤 ①求直线的单位方向向量u. ②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. ③利用公式d=. (2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解. 2.用向量法求点面距离的步骤 ①建系：建立恰当的空间直角坐标系. ②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标. ③求向量：求出相关向量的坐标(α内两不共线向量，平面α的法向量n). ④求距离d=. (2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l到平面α的距离. (3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离. 3.求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量. (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值. (3)得出两条异面直线所成的角. 4.利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ= . 5.求两平面夹角的两种方法 (1)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2或π-〈n1，n2. (2)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同. 典例·举一反三 题型一 点到直线的距离 1．已知空间中有三点，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到的距离为（   ） A． B． C．3 D． 3．已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，点，已知直线l经过点，且l的方向向量． (1)求； (2)求点M到直线l的距离． 题型二 点到平面的距离 6．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（　　） A． B． C．5 D．10 7．如图，在长方体中，，，E为中点，则D到平面的距离为（   ）    A．1 B． C． D．2 8．已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到的距离为 ． 9．如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，且，动点，分别在线段和上运动（不含端点），且.    (1)证明：平面. (2)当时，求点到平面的距离. 10．如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 题型三 直线到直线的距离 11．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 12．在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 13．在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 14．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论错误的是（   ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 15．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 题型四 直线到平面的距离 16．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为 . 17．已知正方体的棱长为1． (1)求平面与平面之间的距离． (2)若为的中点，为的中点，为的中点，为的中点． （ⅰ）求直线到直线的距离； （ⅱ）求直线到平面的距离． 18．如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 题型五 平行面间的距离 19．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 20．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 21．在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 22．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 23．已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 题型六 线线角的向量求法 24．在直三棱柱中，，二面角的大小为，点B到平面的距离为，点C到平面的距离为，则直线与直线所成角的正切值为（   ） A．2 B． C． D． 25．如图，六面体由两个三棱锥和拼接而成，其中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角余弦值为 . 26．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，，.    (1)用，，表示和. (2)求直线与夹角的余弦值. 27．如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．    (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值； (3)求的长． 题型七 线面角的向量求法 28．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 29．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，，，，平面．    (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角的正弦值． 30．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 31．如图1，在中，，D、E两点分别在、上，使．现将沿折起得到四棱锥，在图2中．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 32．已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 题型八 面面角的向量求法 33．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 34．如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点． (1)求证：； (2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值． 35．在长方体中，点E，F分别在上，且.    (1)求证：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的正弦值． 36．如图，在圆锥中，为底面的圆心，，，点是底面圆周上一点，是的中点，，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 37．如图，在直三棱柱中，，，点，分别在线段，上，点在棱上，且，，.    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 题型九 向量法解决距离的探索性问题 38．如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点． (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与半面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 39．如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 40．如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 41．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 42．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 题型十 向量法求角度的探索性问题 43．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，点在棱上．    (1)若为的中点，证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 44．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． (1)求证：． (2)求线段的中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 45．如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 46．图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 47．如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $