精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县莲花第一初级中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题

莲花一中八年级数学第三阶段试卷 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 二次根式中，字母a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图， 在长方形 中，的长为2，的长为1，在数轴上，点O表示数0，以点O为圆心，对角线长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. 2.5 B. C. D. 3. 若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. y随x的增大而增大 D. 时， 4. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 满足，的一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是（　　） A. 55 B. 30 C. 16 D. 15 7. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 8. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，垂足为，，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 9. 如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（共8小题，每题3分） 11. 甲、乙、丙、丁四名学生最近次数学考试平均分都是分，方差，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是________． 12. 已知一组数据的方差是3，那么数据的方差是______． 13. 若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是______． 14. 已知点，都在直线上， 则_______（填“>”， “=”或“<”）． 15. 如图，点E、F分别在正方形的边上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），，则__________________． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 已知一次函数与直线 平行，且过点 （1）求这个一次函数的解析式； （2）判断点 是否在这个函数图象上； （3）将这个一次函数图象向下平移1个单位长度，请直接写出平移后的函数解析式，并在给出的坐标系中画出平移后的函数图象． 18. 国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内的部分初中学生，根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中分组情况如下： 组：；组：；组：；组： 请根据上述信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人； （2）扇形统计图中，组所对应的圆心角度数是______，请补全条形统计图； （3）本次调查数据的中位数落在______组内； （4）若该市辖区内约有4000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的有多少人？ 19. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 20. 某教育科技公司销售A，两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示：该教育科技公司计划购进A，两种多媒体设备共50套，设购进A种多媒体设备套，利润为万元． 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）求与之间的函数关系式； （2）若公司要求购进种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 21. 如图， 在正方形中， ，P 是对角线上一个动点，连接，，过点 P向P点右侧作的垂线交射线于点，连接． （1）如图1， 求证： ； （2）如图2，连接，在点P 从点A 向点 C 运动过程中，求 周长的最小值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 已知点O是 斜边上的中点， ． （1）若，如图1，E、F分别在、边上， 且 则 ； （2）若与不等，如图2 ，E、F分别在、边上， 求证∶ ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莲花一中八年级数学第三阶段试卷 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 二次根式中，字母a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可确定a的取值范围． 【详解】∵二次根式有意义， ， 解得 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 如图， 在长方形 中，的长为2，的长为1，在数轴上，点O表示数0，以点O为圆心，对角线长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. 2.5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出的长． 由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【详解】解：，， ， 这个点表示的实数是． 故选：D． 3. 若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. y随x的增大而增大 D. 时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， ，故选项A错误，不符合题意； 当，时，故选项B正确，符合题意； 随的增大而减小，故选项C错误，不符合题意； 当时，，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象可知：当时，的图像在图像的上方，据此即可解答． 【详解】解：由函数图像可知：当时，，即不等式的解集为：． 故选：B． 5. 满足，的一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质来解答．根据和一次函数的性质，可得到函数的图像所经过的象限，从而可以判断答案． 【详解】解：，， 一次函数的图像经过第一、二、三象限， 故选：A． 6. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是（　　） A. 55 B. 30 C. 16 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】首先结合题意可得当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，则可得当BC=5，CD=6，继而求得答案． 【详解】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止， ∵当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程， ∴当5≤x≤11时，y不变，说明BC=5，AB=11-5=6， ∵四边形ABCD为矩形， ∴CD=AB=6， 由图像可知，当点P位于C、D之间时 △ABP的面积最大， ∴y最大为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象．注意解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，利用数形结合的思想解题，得到BC，CD的具体值． 7. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数和方差概念．根据中位数、众数、平均数和方差概念即可解答． 【详解】解：A选项：将这组数据从小到大排列为：17、19、22、26、26、30、35， 从中可以看出，一共7个数据，第4个数据为26，所以这组数据的中位数为26； B选项：这组数据中26出现的次数最多，所以这组数据的众数为26； C选项：（个），所以这组数据的平均数为25； D选项：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，垂足为，，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质．由在矩形中，于E，，易证得是等边三角形，继而求得的度数，由是等边三角形，求出的度数，又由，求得的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等边三角形， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质．在中可求得的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得，则可求得的长，则可求得的长． 【详解】解：四边形为矩形， ∴，，， ，， ， ， ∵， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE =AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）． ∴BE=DF．故结论①正确． 由Rt△ABE≌Rt△ADF得，∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°．即∠DAF=15°．故结论②正确． ∵BC=CD，∴BC－BE=CD－DF，CE=CF． ∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．故结论③正确． 设EC=x，由勾股定理，得EF=，CG=，AG=， ∴AC=．∴AB=．∴BE=． ∴BE+DF．故结论④错误． ∵，， ∴．故结论⑤正确． 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 二．填空题（共8小题，每题3分） 11. 甲、乙、丙、丁四名学生最近次数学考试平均分都是分，方差，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是________． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解可得． 【详解】解：因为甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是128分， 方差，，，， 所以甲的方差最小， 所以这四名学生的数学成绩最稳定的是甲， 故答案为：甲． 12. 已知一组数据的方差是3，那么数据的方差是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案． 【详解】解：一组数据的方差是3， 数据的方差是3． 故答案为：3． 13. 若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质． 14. 已知点，都在直线上， 则_______（填“>”， “=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“随的增大而增大；随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，再结合即可得出． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，点E、F分别在正方形的边上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），，则__________________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键；延长到，使，连接；证明，则可得；再证明，则；设，则；在中，利用勾股定理建立方程即可求得x，即可求解． 【详解】解：如图，延长到，使，连接； 四边形是正方形， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ，； 设，则； 在中，， 由勾股定理得， 解得：， 即， ； 故答案为：15． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，然后再计算加减即可； （2）先运用平方差公式与完全平方公式计算，再计算加减即可； （3）先计算乘除，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 17. 已知一次函数与直线 平行，且过点 （1）求这个一次函数的解析式； （2）判断点 是否在这个函数图象上； （3）将这个一次函数图象向下平移1个单位长度，请直接写出平移后的函数解析式，并在给出的坐标系中画出平移后的函数图象． 【答案】（1） （2）点不在函数图象上；点在函数图象上 （3），图象见解析 【解析】 【分析】（1）根据两函数图象平行，求出k值，再把点代入求出b值即可； （2）把点A、B的横坐标代入解析式，计算纵坐标，看是否相等即可判定； （3）根据平移规律：上加下减，左减右加，求出函数解析式，再用两点法画出图象即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与直线 平行， ∴， ∴ 把代入，得 ∴ ∴ 【小问2详解】 解：把代入，得 ∴点不在函数图象上； 把代入，得 ∴点在函数图象上． 【小问3详解】 解：将函数的图象向下平移1个单位长度， 平移后的函数解析式为：， 即． 平移后的函数图象如图所示， 【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数的图象平移，一次函数图象上点的坐标特征，画一次函数图象．熟练掌握一次函数图象平移规律是解题的关键． 18. 国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内的部分初中学生，根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中分组情况如下： 组：；组：；组：；组： 请根据上述信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人； （2）扇形统计图中，组所对应的圆心角度数是______，请补全条形统计图； （3）本次调查数据的中位数落在______组内； （4）若该市辖区内约有4000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的有多少人？ 【答案】（1）200 （2），见解析 （3）C （4）2400人 【解析】 【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据4组人数之和等于总人数求出C组人数，继而用乘以C组人数所占比例即可； （3）直接根据中位数的定义求解即可； （4）根据用样本估计总体求解即可 【小问1详解】 本次调查的总人数为（人）， 故答案为：200； 【小问2详解】 （人） ， 补全条形图，如图所示， 故答案为：； 【小问3详解】 200个数据按大小顺序排列，第100和101个数据的平均数是这组数据的中位数； 而A、B两组数据和为，A、B、C三组数据和为， 所以，本次调查数据的中位数落在C组内， 故答案为：C； 【小问4详解】 （人） 答：估计其中达到国家规定体育活动时间的约有2400人 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 19. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明； （2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明． 【详解】（1）略 （2） 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键． 20. 某教育科技公司销售A，两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示：该教育科技公司计划购进A，两种多媒体设备共50套，设购进A种多媒体设备套，利润为万元． 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）求与之间的函数关系式； （2）若公司要求购进种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）购进A种多媒体设备10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元 【解析】 【分析】（1）根据购进A种多媒体设备套，则购进种多媒体设备套，根据题意，列出函数解析式即可； （2）由，求出，再根据一次函数的增减性求出结果即可． 【小问1详解】 解：购进A种多媒体设备套，则购进种多媒体设备套， 由题意可得： 整理得：， ∴与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：， 在中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时最大利润， 答：购进A种多媒体设备10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出函数解析式． 21. 如图， 在正方形中， ，P 是对角线上一个动点，连接，，过点 P向P点右侧作的垂线交射线于点，连接． （1）如图1， 求证： ； （2）如图2，连接，在点P 从点A 向点 C 运动过程中，求 周长的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的对角线平分一组对角可得：，由角平分线的性质得：，证明，可得结论； （2）先确定周长的最小值时点的位置，因为的周长，这三条线段中，为定值，所以的最小值，就是周长的最小值，根据轴对称的最短路径先作辅助线，根据勾股定理可得的值，从而得结论． 【小问1详解】 证明：如图1， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：作关于的对称点，连接，当在上时，如图2，此时的周长最小， ， 中，， 的周长， 即周长的最小值是． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的最短路径问题等有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）分别令，可求得；令，可求得，根据，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得，可求，进而可求点坐标． 【小问1详解】 解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的长为5； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可知，，， ∴，即； 设，则，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∴存在，点坐标为或． 【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． 23. 已知点O是 斜边上的中点， ． （1）若，如图1，E、F分别在、边上， 且 则 ； （2）若与不等，如图2 ，E、F分别在、边上， 求证∶ ； 【答案】（1）5 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得出，求出，再由勾股定理即可得出答案； （2）延长至，使，连接、，证明，得出，，证出，由勾股定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：连接，如图1所示： ，，点是斜边上的中点， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ； 故答案为：5； 【小问2详解】 证明：延长至，使，连接、，如图2所示： 在和中，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $