精品解析：浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，平分交于点，若，的周长等于24，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 点点同学对数据26，36，26，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差 5. 若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ） A. 至少有一个角是钝角或直角 B. 没有一个角是锐角 C. 每一个角都是钝角或直角 D. 每一个角是锐角 6. 若点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，已知正方形的面积为9．它的两个顶点，是反比例函数（，）的图象上两点，若点的坐标是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 9. 如图，在中，，，，以其三边为边向形外分别作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，使点，，，，恰好在长方形的边上，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 已知关于x的一元二次方程，及函数，（a，b，c为常数，且），则（ ） A. 若方程有解，则函数的图象一定有交点 B. 若方程有解，则函数的图象一定没有交点 C. 若方程无解，则函数的图象一定有交点 D. 若方程无解，则函数的图象一定没有交点 二.填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果有意义，那么x取值范围是__________． 12. 若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形是正______边形． 13. 关于x的方程有实数根，则a的取值范围 ____________________． 14. 如图，已知的顶点分别在反比例函数和的图像上，且轴．若的面积为3，则___________． 15. 已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝______． 16. 如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为 ______． 三.解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18 解方程： （1）； （2）． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以线段为一边，画一个矩形． （2）在图②中，以点E为顶点，画一个面积最大的正方形． 20. 6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，学校将某年级的八（1）班和八（2）班的成绩整理并绘制成统计图：根据提供的信息解答下列问题： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 8.76 9 1.06 八（2）班 8.76 8 1.38 （1）把八（1）班竞赛成绩统计图补充完整； （2）写出表中，的值； （3）依据数据分析表，有同学认为八（2）班的成绩比八（1）班好，但也有同学认为八（1）班的成绩更好，请你写出一条支持八（1）班成绩更好的理由． 21. 如图，，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=6，BD=8，过点D作于点H，求CH的长． 22. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请直接写出当时，x的取值范围． （3）设，当时，；当时，，方方说：“m一定大于n”，你认为方方的说法正确吗？为什么？ 23. 如图1，在正方形中，点P是对角线上的一点，连结． （1）求证：； （2）如图2，延长交线段于点Q，交延长线于点G，点M是的中点，连结．求证：； （3）如图3，延长交射线于点Q，交于点G，点M是的中点，连结．若，，的长度为 ． 24. 综合实践： 项目主题 “亚运主题”草坪设计 项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草 坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条路口宽度相等且等于规定宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案 驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？ ①直观猜想：我认为___________；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为_____和______； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为_____和____． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图． 驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长． ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示y关于x的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A、，无法合并，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，正确． 故选：D． 3. 如图，在中，平分交于点，若，的周长等于24，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠DEC=∠DCE，进而得出DE=DC=AB求出即可． 【详解】解：在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E， ∴∠DEC=∠ECB，∠DCE=∠BCE，AB=DC，AD=BC， ∴∠DEC=∠DCE， ∴DE=DC=AB， ∵ABCD的周长等于24，AE=2， ∴AB+AD=12， ∴AB+AE+DE=12， ∴AB=5． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出DE=DC=AB是解题关键． 4. 点点同学对数据26，36，26，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和标准差的概念． 利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与被涂污数字无关． 故选：B． 5. 若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ） A. 至少有一个角是钝角或直角 B. 没有一个角是锐角 C. 每一个角都是钝角或直角 D. 每一个角是锐角 【答案】D 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时， 首先应该假设这个四边形中每一个角是锐角， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 6. 若点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴A、B两点在第二象限，， ∵， ∴C点在第四象限，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大． 7. 已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据m+n=-2，m•n=-5，直接求出m、n即可解题． 【详解】∵m、n是方程x2+2x−5=0两个实数根， ∴mn=−5，m+n=−2， ∵m2+2m−5=0 ∴m2=5−2m ∴m2−mn+3m+n=(5−2m)−(−5)+3m+n=10+m+n=10−2=8， 故答案为C. 【点睛】本题考查的是代数式求解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 8. 如图，已知正方形的面积为9．它的两个顶点，是反比例函数（，）的图象上两点，若点的坐标是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，然后表示出点B的坐标，再根据点，在反比例函数图象上列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为9， ∴， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是， ∵点，是反比例函数（，）的图象上两点， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出点的坐标是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，以其三边为边向形外分别作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，使点，，，，恰好在长方形的边上，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于，延长、分别交正方形两边于、，利用勾股定理求出，利用等面积求出，利用勾股定理求出、，证明得到，证明，得到，，即可解答． 【详解】解： 如图，过点作于，延长、分别交正方形两边于、， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形为长方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形、为矩形， ∴，，， ，，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 和中， ， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10. 已知关于x的一元二次方程，及函数，（a，b，c为常数，且），则（ ） A. 若方程有解，则函数的图象一定有交点 B. 若方程有解，则函数的图象一定没有交点 C. 若方程无解，则函数的图象一定有交点 D. 若方程无解，则函数的图象一定没有交点 【答案】C 【解析】 【分析】联立函数解析式，得到，得到，结合方程的根的情况，得到的符号，进行判断即可． 【详解】解：联立，得：， ∴， ∴当方程有解时，，无法判断的符号，函数的图象不一定有交点；故A，B选项错误； 当方程无解时，，则：，∴，即函数图象一定有交点，故选项正确，D选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的个数判断函数图象的交点问题．熟练掌握根与判别式的关系，是解题的关键． 二.填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果有意义，那么x的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求解，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． 12. 若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，设多边形有n条边，利用多边形的内角和公式列方程解题即可． 【详解】解：设正多边形有n条边， 则， 解得：； 故答案为：六． 13. 关于x的方程有实数根，则a的取值范围 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 根据关于x的方程有实数根，可知，然后即可求得a的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得． 所以a的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，已知的顶点分别在反比例函数和的图像上，且轴．若的面积为3，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，则，再由轴．若的面积为3，利用平面直角坐标系中三角形面积的求法列方程求解即可得到答案． 【详解】解：的顶点分别在反比例函数和的图像上， 设，则， 轴．若的面积为3， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与三角形综合，涉及反比例函数图像与性质、平面直角坐标系中三角形面积的求法及解方程等知识，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积的求法是解决问题的关键． 15. 已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线即可求得，根据三角形中位线的性质即可求得的长． 【详解】解：，点D是AC的中点， ∵点D、E分别是AC、BC的中点， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 16. 如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】设，连接，，则，由四边形是矩形，点为中点，得，，， ，所以，由折叠得，，，，所以，，，则，再证明，得，，可证明，则，所以，，则，由勾股定理得，则得到问题的答案． 【详解】解：设，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，点为中点， ∴，，，， ∴， 由折叠得，，，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 三.解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （）先把进行二次根式乘除法，然后合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程． 【小问1详解】 解：， 原方程可变为：， 因式分解得：， 或， 所以，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， ， 配方得： ， 开平方得：， 所以． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以线段为一边，画一个矩形． （2）在图②中，以点E为顶点，画一个面积最大的正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图——应用与设计作图、正方形和矩形的判定与性质： （1）根据矩形的性质按要求作图即可． （2）利用网格，结合勾股定理作边长为的正方形即可． 【小问1详解】 解：如图①，矩形即为所求． 【小问2详解】 解：如图②，正方形即为所求． 20. 6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，学校将某年级的八（1）班和八（2）班的成绩整理并绘制成统计图：根据提供的信息解答下列问题： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 8.76 9 1.06 八（2）班 8.76 8 1.38 （1）把八（1）班竞赛成绩统计图补充完整； （2）写出表中，的值； （3）依据数据分析表，有同学认为八（2）班的成绩比八（1）班好，但也有同学认为八（1）班的成绩更好，请你写出一条支持八（1）班成绩更好的理由． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）求出八（1）班C等级的人数，然后补全统计图即可； （2）根据中位数的定义求出a，根据众数的定义求出b的值即可； （3）根据表格中的中位数、众数、平均数和方差进行解答即可． 【小问1详解】 解：八（1）班C等级的人数为：（人），补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：将八（1）班25个同学的成绩从小到大进行排序，排在第13位的在B等级中，因此中位数； 八（2）班25个同学的成绩在A等级的人生最多，因此众数； 【小问3详解】 解：根据表格中的数据可知，八（1）班25个同学的成绩的中位数比八（1）班25个同学的成绩的中位数大，且八（1）班25个同学的成绩的方差比八（1）班25个同学的成绩的方差要小，说明八（1）班25个同学的成绩较稳定，因此八（1）班成绩更好． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，求一组数据的中位数和众数，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，条形统计图和扇形统计图的特点． 21. 如图，，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=6，BD=8，过点D作于点H，求CH的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，即可得出答案； （2）根据菱形的性质求出BC=AB=5，由菱形的面积等于对角线积的一半和底乘高即可求得结论． 【小问1详解】 ∵AEBF， ∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA， ∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线， ∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC， ∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB， ∴AB=BC，AB=AD， ∴AD=BC， ∵ADBC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD=AB， ∴四边形ABCD是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，， ∴AB=， ∴BC=AB=5， ∵DH⊥BF， ∴S菱形ABCD=， 即， ∴， ∵CD=AB=5， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性质和判定，能通过角的平分线和平行线的性质及等腰三角形的判定证得AB=BC，AB=AD是解决问题的关键． 22. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请直接写出当时，x的取值范围． （3）设，当时，；当时，，方方说：“m一定大于n”，你认为方方的说法正确吗？为什么？ 【答案】（1）， （2）或 （3）方方说法错误，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据一次函数过点代入求出b，可得点B坐标和一次函数解析式，再代入反比例函数解析式即可； （2）根据两个函数图象的交点，可直接得到时，x的取值范围； （3）根据反比例函数的增减性进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过点， ∴． ∴解得． ∴一次函数的关系式为． 由在图象上， ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式． 【小问2详解】 由题意，点在上， ∴． ∴． ∴． ∵与均经过一三象限，交于，， ∴当时，或． 【小问3详解】 方方的说法错误，理由如下： ∵，图象分布在一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∴当时，，，， ∴， ∴， 当时，，，， ∴， ∴． 当时，，，， ∴， ∴． ∴方方的说法错误． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与反比例函数的交点是两个函数值大小转化的转折点． 23. 如图1，在正方形中，点P是对角线上的一点，连结． （1）求证：； （2）如图2，延长交线段于点Q，交的延长线于点G，点M是的中点，连结．求证：； （3）如图3，延长交射线于点Q，交于点G，点M是的中点，连结．若，，的长度为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，再由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，即，再由平行线的性质得，则，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，则，证出，即可得出结论； （3）由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再证为等边三角形，得，然后证，得，证，得，设，则，由含角的直角三角形的性质得，最后由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 证明：∵为正方形的对角线， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得：， ∴， 即， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，M为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问3详解】 解：∵M为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 由勾股定理得： 即：， 解得：或（不合题意舍去）， ∴的长为：． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型． 24. 综合实践： 项目主题 “亚运主题”草坪设计 项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草 坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条路口宽度相等且等于规定宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案 驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？ ①直观猜想：我认为___________；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为_____和______； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为_____和____． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图． 驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长． ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示y关于x的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由． 【答案】（1）①四种方案小路面积的大小相等；②，；③，；（2）；（3）①；②甲和乙的说法都不正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过平移知识求解； （2）根据草坪的面积列方程求解； （3）先列出方程，再根据题意得出不等式求解． 【详解】解：（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等， 故答案为：四种方案小路面积的大小相等； ②甲：； 乙：， 故答案为：，； ③甲：， 乙：， 故答案为：，； （2）设小路的宽为，则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：小路的宽为； （3）①方法1：， ， 方法2：， ； ②由题意得：， 设方程的两个根分别为，，则，且， 则：，， ， ， 故甲和乙的说法都不正确． 【点睛】本题考查了平移的应用，一元二次方程的实际应用，根与系数的关系，掌握平移的作用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$