精品解析：山东省泰安市新泰市宫里镇初级中学（五四制）2023-2024学年七年级下学第二次月考数学试题

七年级数学下册第二次阶段性作业 一、选择题（本题满分48分，共12道小题，每小题4分） 1. 一个不透明的盒子中装有9个白球和1个黑球，它们除了颜色外都相同.从中任意摸出一球，则下列叙述正确的是（ ）. A. 摸到白球是必然事件 B. 摸到黑球是必然事件 C. 摸到白球是随机事件 D. 摸到黑球是不可能事件 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（　　） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三边中垂线的交点 4. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A 3 B. C. D. 5 5. 若，则下列选项中正确的是（ ） A B. C. D. 6. 若不等式组的解集为，则&表示的不等式可以是（ ） A. B. C. D. 7. 若方程的两个解是，，则，的值为(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＜0，b＜0；③当x=3时，y1=y2；④不等式的解集是x＜3，其中正确的结论个数是( 　　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到的正确结论是（ ） A. 方程组的解为 B. C. 当时， D. 当时， 11. 如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC于E，延长BC到点F，连接DF，若∠F=30°，则EF的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 若实数a关于x的不等式组有解且最多有4个整数解，则符合条件的所有整数a的个数是（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 关于x的不等式3x﹣2a≥﹣1的解集如图所示，则a= ________ 14. 在围棋盒中有6颗黑色棋子和n颗白色棋子，随机地取出一颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是 ，则n＝ _____________ ． 15. 一元一次不等式组的最大整数解是________． 16. 若关于x一元一次不等式组的的解集为，则a的取值范围是___________． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是_____． 18. 定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为 ________. 三、解答题(23题10分， 24，25题每题12分，其余每题8分，共78分) 19. 计算： （1） （2）． 20. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 21. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=2cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 22. 社区超市促销活动前后，A，B两种商品的销售状况和营业额对比情况如下：打折前，A商品平均每天售出300件，B商品平均每天售出200件，营业额为6100元．商品打折后，A商品平均每天售出500件，B商品平均每天售出400件，营业额为8240元．已知A商品是按八折价格销售，其打折后的价格比B商品打折前的价格还要贵． （1）求每件A，B商品的原价分别是多少元？ （2）某同学在商品打折期间购买了8件A商品，10件B商品，比打折前节省了多少钱？ 23. 芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示：该厂制造A，B两种型号芯片若干件成本为320万元，制造后立刻被汽车厂抢购一空，经会计核算后共盈利44万元． 价格 型号 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 34 B 35 40 （1）芯片厂制造A，B两种型号芯片各多少万件？ （2）由于芯片畅销，该厂计划再制造A，B两种型号芯片共30万件，其中B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的2倍，那么该厂制造两种型号芯片各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 24. 如图，点A、B坐标分别为，直线与坐标轴交于C、D两点． （1）求交点E的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）求四边形的面积． 25. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，在中，，，直线经过点A，作直线，直线，垂足分别为点D，E．请说明． （2）组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么（1）中的结论是否会成立呢?如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题．如图3，D，E是直线上的两动点（D，A，E三点均在直线上且互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接BD，CE．若，请说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学下册第二次阶段性作业 一、选择题（本题满分48分，共12道小题，每小题4分） 1. 一个不透明的盒子中装有9个白球和1个黑球，它们除了颜色外都相同.从中任意摸出一球，则下列叙述正确的是（ ）. A. 摸到白球是必然事件 B. 摸到黑球是必然事件 C. 摸到白球是随机事件 D. 摸到黑球是不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念进行分析判断即可. 【详解】∵一个不透明的盒子中装有9个白球和1个黑球， ∴从中任意摸出一球，可能摸到白球也可能摸到黑球， ∴“摸到白球”和“摸到黑球”都是随机事件. 故选：C. 【点睛】本题考查事件的判断，明确随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题关键. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由a＜b，得a-b＜0，原变形正确，故此选项符合题意； B、由a＜b，得-5a＞-5b，原变形错误，故此选项不符合题意； C、不妨设a=1，b=2，则a+8＞b-8，原变形不一定成立，故此选项不符合题意； D、由a＜b，得，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（　　） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三边中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，为使游戏公平，则凳子到三人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：为使游戏公平，则凳子到三人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要将凳子放在三边中垂线的交点， 故选：D． 4. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入，即可转化为关于m的一元一次方程，解答即可．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】将代入， 得， 解得． 故选：A． 5. 若，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：、将左右两边同时减去，不等号的方向不变，故错误； 、将左右两边同时乘以，分两种情况讨论：如果，则；如果，则．故错误； 、，，，故正确； 、如果，，，则，故错误． 故选：． 【点睛】本题考查不等式的基本性质．性质1：不等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6. 若不等式组的解集为，则&表示的不等式可以是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出已知不等式的解集，根据不等式组取解集的方法判断即可得到结果． 【详解】解：解不等式， 得：， ∵不等式组的解集为， ∴表示的不等式可以是． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7. 若方程的两个解是，，则，的值为(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】把，代入方程得出方程组，再求出方程组的解即可． 【详解】解：把，代入方程得 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能根据二元一次方程的解得出关于、的方程组是解此题的关键． 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠A=90°-60°=30°， ∴三角形的顶角为30°； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠BAD=90°-60°=30°， ∵∠BAD+∠BAC=180°， ∴∠BAC=150° ∴三角形的顶角为150°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 9. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＜0，b＜0；③当x=3时，y1=y2；④不等式的解集是x＜3，其中正确的结论个数是( 　　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据一次函数的图象可得：a＜0，b＞0，k＜0，则①正确，②错误； 根据两个函数图象交点横坐标为3可得③正确； 当x＜3时，y1＞y2，④正确； 故选：D. 【点睛】本题考查一次函数的图象及一次函数与不等式，解题关键是树立数形结合思想，利用图象解决问题．. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到的正确结论是（ ） A. 方程组的解为 B. C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质与图象，根据函数图象依次判断选项，即可得；掌握一次函数的性质与图象即可得． 【详解】解：根据函数图象得，方程组的解为， 故选项A说法错误，不符合题意； 根据函数图象得，，， ∴， 故选项B说法正确，符合题意； 根据函数图象得，当时，， 故选项C说法错误，不符合题意； 根据函数图象得，当时，， 故选项D说法错误，不符合题意； 故选：B． 11. 如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC于E，延长BC到点F，连接DF，若∠F=30°，则EF的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=60°，AC=BC=4，由直角三角形的性质即可得出CE，则可求出答案． 【详解】在等边△ABC中，有AC=BC=4，∠ACD=60°， ∵∠F=30°， ∴∠CDF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°， ∴∠CDF=∠F=30°， ∴CD=CF， 由∵D为AC中点， ∴AD=DC=AC=2， ∴CF=2， 在Rt△DEC中，∠DCE=60°，DC=2， ∴EC=DC=1， ∴EF=EC+CF=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定和解含特殊角的直角三角形等知识，灵活运用定理进行推理是解答本题的关键． 12. 若实数a关于x的不等式组有解且最多有4个整数解，则符合条件的所有整数a的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式组，根据题意确定a的范围，有解且最多有4个整数解，进一步即可求得符合条件的a的个数． 【详解】解：由不等式1得：x≤﹣3， 由不等式x﹣1得，x≥a+2， ∴不等式组的解集为：a+2≤x≤﹣3， ∵关于x的不等式组有解且最多有4个整数解， ∴﹣7＜a+2≤﹣3， ∴﹣9＜a≤﹣5， ∴所有满足条件的整数a的个数为4， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 关于x的不等式3x﹣2a≥﹣1的解集如图所示，则a= ________ 【答案】-1 【解析】 【详解】解不等式3x﹣2a≥﹣1得，x≥ ， ∵由数轴上不等式的解集可知x≥﹣1， ∴=﹣1， 解得a=﹣1． 故答案是：﹣1． 14. 在围棋盒中有6颗黑色棋子和n颗白色棋子，随机地取出一颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是 ，则n＝ _____________ ． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵围棋盒中有6颗黑色棋子和n颗白色棋子， ∴棋子的总个数为6+n， ∵随机地取出一颗棋子，如果它是白色棋子的概率是， ∴， 解得，n=4．经检验符合题意． 故答案：4 15. 一元一次不等式组的最大整数解是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法． 求出不等式组的解集为，即可求出最大整数解． 【详解】解：解不等式，得 解不等式，得， 不等式组的解集为 不等式组的整数解有， 不等式组的最大整数解为2． 故答案为：2． 16. 若关于x的一元一次不等式组的的解集为，则a的取值范围是___________． 【答案】. 【解析】 【分析】不等式待定系数的取值范围就是已知不等式或不等式组的解集或特殊解，确定不等式中未知数的系数的取值范围. 【详解】由得 因解集为 所以 故答案为： 【点睛】考核知识点：不等式组解集.会解不等式组是关键. 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可. 【详解】解：如图：连接BE ∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F， ∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠F+∠CEF＝90°， ∵∠AED＝∠FEC， ∴∠A＝∠F＝30°， ∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， ∴∠CBE＝∠F， ∴BE＝EF， 在Rt△BED中，BE＝2DE＝2×1＝2， ∴EF＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键. 18. 定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为 ________. 【答案】x＞﹣1 【解析】 【详解】解：3⊕x＜13， 3（3-x）+1＜13， 解得：x＞-1． 故答案为：x＞﹣1 ． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解题意进行计算是本题的解题关键． 三、解答题(23题10分， 24，25题每题12分，其余每题8分，共78分) 19 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组， （1）方程组整理后，利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可； 掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程组整理得：， ①＋②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为； 【小问2详解】 ②－①×得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 20. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组解集是，数轴表示见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 故不等式组解集是， 在数轴上表示是： ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=2cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 【答案】（1）；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可知DE=CD=2cm，由于∠C=90°，可推出∠B=∠BDE=45°，则可得BE=DE=2cm，由勾股定理得可得BD，即可求得AC的值． （2）AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB可得∠EAD=∠CAD，∠AED=∠ACD=90°，CD=ED则证得△AED≌△ACD ，并推出AC=AE，结合BE=DE=CD即可证得结论． 【详解】（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB ， ∴ DE=CD=2cm． ∵AC=BC ，∠C=90°， ∴∠B=∠BAC =45° ． ∴∠BDE=90°-45°=45° ． ∴BE=DE=2cm． 由勾股定理得，BD=cm ， ∴AC=BC=CD+BD=2+（cm）． （2）证明∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴∠EAD=∠CAD，∠AED=∠ACD=90°，CD=ED． ∴△AED≌△ACD ． ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的性质及全等三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 22. 社区超市促销活动前后，A，B两种商品的销售状况和营业额对比情况如下：打折前，A商品平均每天售出300件，B商品平均每天售出200件，营业额为6100元．商品打折后，A商品平均每天售出500件，B商品平均每天售出400件，营业额为8240元．已知A商品是按八折价格销售，其打折后的价格比B商品打折前的价格还要贵． （1）求每件A，B商品的原价分别是多少元？ （2）某同学在商品打折期间购买了8件A商品，10件B商品，比打折前节省了多少钱？ 【答案】（1）每件A商品的原价为每件15元，B商品的原价为每件8元． （2）比打折前节省了48元． 【解析】 【分析】（1）设每件A商品的原价为每件x元，B商品的原价为每件y元，根据A商品是按八折价格销售，其打折后的价格比B商品打折前的价格还要贵．可得，再根据打折前，A商品平均每天售出300件，B商品平均每天售出200件，营业额为6100元．，再建立方程组，解方程组即可； （2）设打折后B商品的单价为每件a元，由商品打折后，A商品平均每天售出500件，B商品平均每天售出400件，营业额为8240元．可得，解得：，再分别计算购买了8件A商品，10件B商品，打折前与打折后的费用，从而可得答案． 【小问1详解】 解：设每件A商品的原价为每件x元，B商品的原价为每件y元， ∵A商品是按八折价格销售，其打折后的价格比B商品打折前的价格还要贵． ∴， ∵打折前，A商品平均每天售出300件，B商品平均每天售出200件，营业额为6100元． ∴， ∴， 解得：， 答：每件A商品原价为每件15元，B商品的原价为每件8元． 【小问2详解】 ∵A商品是按八折的价格销售， ∴打折后A商品的价格为每件（元）， 设打折后B商品的单价为每件a元， ∵商品打折后，A商品平均每天售出500件，B商品平均每天售出400件，营业额为8240元． ∴， 解得：， ∴打折后B商品的单价为每件元， ∴同学在商品打折期间购买了8件A商品，10件B商品的费用为： （元）， ∵不打折，购买这些商品的费用为：（元）， ∴（元）， ∴比打折前节省了48元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，确定相等关系列方程组与方程是解本题的关键． 23. 芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示：该厂制造A，B两种型号芯片若干件成本为320万元，制造后立刻被汽车厂抢购一空，经会计核算后共盈利44万元． 价格 型号 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 34 B 35 40 （1）芯片厂制造A，B两种型号芯片各多少万件？ （2）由于芯片畅销，该厂计划再制造A，B两种型号芯片共30万件，其中B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的2倍，那么该厂制造两种型号芯片各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）A种型号芯片6万件， B种型号芯片4万件 （2）制造A型芯片10万件，B型芯片20万件；最大利润是140万元 【解析】 【分析】（1）设芯片厂制造A种型号芯片x万件，制造B种型号芯片y万件，根据等量关系式：A型号芯片成本价+B型号芯片成本价=320万，A型号芯片获利+B型号芯片获利=44万，列出方程组，解方程组即可，可解得芯片厂制造A种型号芯片6万件，制造B两种型号芯片4万件； （2）设制造这批芯片获得利润为w万元，制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片（30−m）万件，根据B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的2倍，得30−m≤2m，解得m≥10，而w＝（34−30）m＋（40−35）（30−m）＝−m＋150，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设芯片厂制造A种型号芯片x万件，制造B两种型号芯片y万件，根据题意得： ， 解得：， 答：芯片厂制造A种型号芯片6万件，制造B种型号芯片4万件； 【小问2详解】 解：设制造这批芯片获得利润为w万元，制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片（30−m）万件， ∵B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的2倍， ∴30−m≤2m， 解得m≥10， 根据题意得w＝（34−30）m＋（40−35）（30−m）＝−m＋150， ∵−1＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴m＝10时，w取最大值，最大值为−10＋150＝140（万元）， 此时30−m＝20， 答：制造A型芯片10万件，B型芯片20万件，会获得最大利润，最大利润是140万元． 【点睛】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式． 24. 如图，点A、B的坐标分别为，直线与坐标轴交于C、D两点． （1）求交点E的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）点的坐标是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，利用二元一次方程组求出点的坐标； （2）根据函数图象写出不等式的解集； （3）根据坐标轴上点的特征求出两点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ，解得 ， 故直线的解析式是, 则 解得 ， 故点的坐标是； 【小问2详解】 解：由图象可知，时，的图象在的图象的上方， 故不等式 的解集是； 【小问3详解】 解：当时，，当时，, 则点的坐标是，点的坐标是， ∴． 【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式、利用二元一次方程组求两条直线的交点、利用函数图象解不等式，掌握待定系数法的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 25. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，在中，，，直线经过点A，作直线，直线，垂足分别为点D，E．请说明． （2）组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么（1）中的结论是否会成立呢?如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题．如图3，D，E是直线上的两动点（D，A，E三点均在直线上且互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接BD，CE．若，请说明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，，等量代换可得； （2）根据可证，再根据证明，得出，，等量代换可得； （3）同（2）可得，推出，再根据和均为等边三角形，推出，，进而可得，根据证明，即可得出． 【详解】（1）证明：， ， 直线，直线， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，理由如下： ，，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）证明：同（2）可得， ， 和均为等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，熟练运用“一线三等角”模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$