第一章 分式（单元重点综合测试，湘教版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第一章 分式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列各式中：，，，，，分式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（本题3分）若把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 3．（本题3分）下列分式中 最简分式是（      ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）化简的结果是 A． B． C． D． 6．（本题3分）若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）《九章算术》是我国古代数学专著，其方程篇中有这样一个问题：今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行尺，则列分式方程可整理为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时千米，下坡时的速度为每小时千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 9．（本题3分）已知，则常数，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（本题3分）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）① ②约分： ． 12．（本题3分）据世卫组织公布，新型冠状病毒属于属的冠状病毒，其直径约为，病毒颗粒呈球形或者椭圆形，将0.00000012用科学记数法表示为 ． 13．（本题3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 . 14．（本题3分）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 15．（本题3分）计算：   (1)＝ ； (2)＝ ． 16．（本题3分）10a=20,10b=,则a-b= . 17．（本题3分）若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 18．（本题3分）按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数） 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（1）计算： ； （2）化简： 20．（本题6分）解分式方程： (1)； (2)． 21．（本题8分）先化简，再从，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值。 22．（本题8分）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍． (1)甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天? (2)若已知甲乙合做完成此项工程共需费用102000元，并且乙公司每天费用比甲公司每天费用少1500元，分别计算甲、乙单独完成此项工程各需多少费用并选择合理的施工方案． 23．（本题9分）对于两个非零实数x、y，定义一种新的运算：． (1)若，求的值； (2)试判断“*”运算是否满足交换律，即是否成立？ 24．（本题9分）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步            第二步         第三步         　 第四步            　第五步                 　第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________； ②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 25．（本题10分）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 26．（本题10分）观察下列计算 ，，，…… （1）第5个式子是 ；第n个式是 ． （2）从计算结果中找规律，利用规律计算 （3）计算 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 分式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列各式中：，，，，，分式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义：分母含有未知数的式子即为分式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：，，是分式 ∴分式的个数是3个； 故选：C 2．（本题3分）若把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的性质，求出把分式中的x和y分别用和替换后的分式的值即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x和y分别用和替换后得， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 3．（本题3分）下列分式中 最简分式是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简分式，以及约分，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．找出分式分子分母没有公因式的即可． 【详解】解：A、原式为最简分式，符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：A． 4．（本题3分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、分式运算法则分别化简得即可． 【详解】解：A．，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项错误，不符合题意； C．，故此选项错误，不符合题意； D．，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的运算和分式的运算，解题关键是熟记相关运算法则，准确进行计算，注意运算顺序． 5．（本题3分）化简的结果是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：根据分式混合运算的步骤进行运算即可. 详解：原式 故选C. 点睛：考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的步骤是解题的关键. 6．（本题3分）若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂，分别计算，再比较大小，即可求解， 本题考查了，负整数指数幂和零指数幂，解题关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：B． 7．（本题3分）《九章算术》是我国古代数学专著，其方程篇中有这样一个问题：今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行尺，则列分式方程可整理为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，用时间作等量关系列出方程即可． 【详解】解：依题得 即． 故选：B． 8．（本题3分）在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时千米，下坡时的速度为每小时千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】本题考查分式及分式的化简，根据平均速度总路程总时间，可设坡路长是，根据路程和速度可求出时间，可求解，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 【详解】解：设坡路长是千米，则上坡的时间为：，上坡的时间为：，上下坡总路程为：，总时间为， 所以上、下坡平均速度为：， 故选：． 9．（本题3分）已知，则常数，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查异分母分式的加法，将等式左边利用异分母分式的加法进行求解，根据恒等式，求出的值即可． 【详解】解：， ∴， 解得：； 故选A． 10．（本题3分）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．把化为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 即， ∴ ， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）① ②约分： ． 【答案】 【分析】第一个根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 第二个式子约分时先把分子、分母进行分解因式，再约分． 【详解】解：①=（a≠0）； ②=＝． 故答案为6a2，． 【点睛】1、本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．2、分式的约分的依据是分式的基本性质，约分时分子、分母能分解因式的要先分解因式． 12．（本题3分）据世卫组织公布，新型冠状病毒属于属的冠状病毒，其直径约为，病毒颗粒呈球形或者椭圆形，将0.00000012用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将0.00000012用科学记数法表示为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 13．（本题3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 . 【答案】且 【分析】零次幂和负整数幂均不为0. 【详解】∵代数式有意义 ∴3x+3≠0,2x-1≠0 ∴且. 【点睛】本题考查的是代数式，熟练掌握零次幂和负整数幂均不为0是解题的关键. 14．（本题3分）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 【答案】 , 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为,. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 15．（本题3分）计算：   (1)＝ ； (2)＝ ． 【答案】 , 0 【详解】(1)原式=＝. (2)原式==0. 16．（本题3分）10a=20,10b=,则a-b= . 【答案】2 【详解】【分析】由10a=20，10b＝，根据同底数幂的除法法则可得10a-b=100，再根据乘方的意义即可得a-b的值. 【详解】∵10a=20，10b=， ∴10a÷10b=20÷=100， 即10a-b=100， ∴a-b=2， 故答案为2. 【点睛】本题考查了同底数幂的除法及有理数的乘方，属于基础题，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 17．（本题3分）若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．（本题3分）按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数） 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题，根据前四个分式总结出规律是解题关键．根据题意写出前四个分式的变形分别为，，，，即得出规律，从而得出第n个分式． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， ∴第n个数为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（1）计算： ； （2）化简： 【答案】（1）1 （2） 【分析】本题考查了幂的运算，分式的混合运算．熟练掌握积的乘方，负整指数幂、零指数幂、分式的混合运算法则是解题的关键． （1）先运用积的乘方计算，再运用同底数幂的运算法则计算，最后运用零指数幂法则计算即可； （2）先运用分式加法法则计算括号内的 ，再运用分式除法法则计算即可． 【详解】解（1）原式 ； （2）原式 ． 20．（本题6分）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要进行检验． （1）按照解分式方程的步骤和方法计算即可； （2）先将原式化为，再按照解分式方程的步骤逐一计算即可； 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 化系数为得：， 检验：将代入得：， 是原方程的根； （2）解：原式可化为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 检验：将代入得， 是原方程的增根，即原分式方程无解． 21．（本题8分）先化简，再从，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值。 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算顺序，先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，时，． 22．（本题8分）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍． (1)甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天? (2)若已知甲乙合做完成此项工程共需费用102000元，并且乙公司每天费用比甲公司每天费用少1500元，分别计算甲、乙单独完成此项工程各需多少费用并选择合理的施工方案． 【答案】(1)甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天 (2)甲100000元，乙105000元；从施工费用考虑，选择甲公司；从完工时间考虑，选择甲乙合作． 【分析】（1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程天，根据甲做的工作量＋乙做的工作量＝工作总量建立方程求出其解即可； （2）设甲公司每天的施工费元，则乙公司每天的施工费元，根据甲、乙两公司合做，12天可以完成共需费用102000元即可建立方程求出每天费用．再计算比较即可． 【详解】（1）解：设甲公司单独完成此工程天，则乙公司单独完成此项工程天， 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴乙公司单独完成需要的时间为天． 答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天； （2）解：设甲公司每天的施工费元，则乙公司每天的施工费元， 根据题意，得，解得，， ∴甲公司单独完成此工程所需施工费：（元）， 乙公司单独完成此工程所需施工费：（元）， 从施工费用考虑，选择甲公司； 从完工时间考虑，选择甲乙合作． 【点睛】本题主要考查了分式方程实际应用，找准等量关系，列出方程是关键． 23．（本题9分）对于两个非零实数x、y，定义一种新的运算：． (1)若，求的值； (2)试判断“*”运算是否满足交换律，即是否成立？ 【答案】(1) (2)当时，可能满足或不满足交换律；当时，满足交换律 【分析】(1)根据新定义运算法则进行运算，即可分别求出答案； (2)只需根据整式的运算，判断是否成立，即可判断． 【详解】（1）解： ， ，即， ； （2）解： ，， ∴当，即时，成立，即“*”运算满足交换律； 当，即，当，即时，成立，即“*”运算满足交换律； 当，即时，不成立，即“*”运算不满足交换律 故当时，可能成立或不成立，即“*”运算可能满足或不满足交换律． 【点睛】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算的法则，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 24．（本题9分）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步            第二步         第三步         　 第四步            　第五步                 　第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________； ②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析． 【分析】任务一：①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断； ②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可； 任务二：根据分式的混合运算法则解答； 任务三：可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明． 【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； 故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 故答案为：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 任务二：原式 ． 任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则、明确每一步计算的根据是解题的关键． 25．（本题10分）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【答案】(1)真分式 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可得到答案； （3）根据题意列出方程即可求出的值； （4）先化为，在计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 分式 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， 当为正整数时， 或， ， 故答案为：； （4）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 26．（本题10分）观察下列计算 ，，，…… （1）第5个式子是 ；第n个式是 ． （2）从计算结果中找规律，利用规律计算 （3）计算 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】试题分析：（1）根据规律直接写出关系式； （2）直接利用规律关系式计算即可； （3）结合上面规律可发现，其中各数值×后，即可符合规律，然后计算即可． 试题解析：（1）， （2）解：原式=（）+（）+（）+…+（） =+++…+ =1 = （3）原式= = = = 考点：规律探索 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$