精品解析：2024年河南省鹤壁市全市初中学业水平调研暨中考模拟测试数学试题

2024年初中学业水平调研暨中考模拟测试 数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 为加快义务教育优质均衡发展，2024年我国将持续增加教育支出，中央财政将安排723亿元补助经费资助学生，减轻困难家庭教育负担．将数据72300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 7. 关于x的方程的根的情况判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 视m的取值而定 8. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春．其数字谐音为，有关这一组数，下列说法错误的是（ ） A. 平均数为 B. 从中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大 C. 中位数为4.5 D. 众数是1 9. 已知抛物线的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 6 0 6 … 下列结论：①；②抛物线有最小值；③当时，随增大而减少；④当时，的取值范围是或．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ②④ 10. 如图1所示，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请任写一个与平行的一次函数解析式______． 12. 在实数范围内规定运算：，则不等式组的解集为______． 13. “中国古典四大名著”是中国文学史中的经典作品，是宝贵的世界文化遗产．小铭同学收集到中国古代四大名著卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀后，从中随机抽取两张，则抽到的两张卡片恰好是“三国演义”和“西游记”的概率是______． 14. 如图，中，，，在以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为________． 15. 如图，矩形，边，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F，当时，的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中， ， ， ，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91； 八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 91 a 95 m 八 91 93 b （1）填空：__________，__________，__________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”知识竞赛中，哪个年级学生的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校现有学生七年级1200名，八年级1000名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 18. 喜欢思考问题的小明在探究直角三角形斜边的中线，他的思路是：在中，先作出直角边的垂直平分线，并猜测它与斜边的交点是中点，于是他把交点与点C连接，通过垂直平分线的性质以及等角对等边的代换，他发现了直角三角形斜边的中线与斜边的数量关系． （1）请根据小明的思路完成以下作图与填空： ①用尺规作图作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） ②已知：在中，，垂直平分，垂足为点．求证：． 证明：垂直平分， ______． ． 在中，， ，______． ． ______． ． ． （2）通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，由此解决以下问题：若的周长为12，，，则边上的中线长为______． 19. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 20. 围棋起源于中国，被列为“琴棋书画”四大文化之一；象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚．国家“双减”政策实施后，某校为参加棋类社团的同学购买象棋和围棋，其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元． （1）求每副象棋和围棋的单价； （2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和副象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于的函数解析式； （3）请直接写出该校选择哪种方案购买更划算． 21. 停车楔（如图1所示），被誉为“防溜车神器”，是一种固定汽车轮胎的装置，在大型货车于坡道停车时，放停车楔的作用尤为重要．如图2所示是轮胎和停车楔的示意图，当车停于水平地面上时，将停车楔置于轮胎后方即可防止车辆倒退，此时弧紧贴轮胎，边与地面重合且与轮胎相切于点．为了更好地研究这个停车楔与轮胎的关系，小文在示意图2上，连接并延长交于点，连接后发现． （1）求证：； （2）如果此停车楔的高度为（点到所在直线的距离），支撑边与底边的夹角，求轮胎的直径． 22. 如图所示，篮圈中心到地面的距离为3.05米，一名同学在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当运行的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度3.5米，沿此抛物线可准确落入篮圈． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标是______； （2）求这条抛物线所对应的函数解析式； （3）该同学身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 23. 【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平调研暨中考模拟测试 数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 为加快义务教育优质均衡发展，2024年我国将持续增加教育支出，中央财政将安排723亿元补助经费资助学生，减轻困难家庭教育负担．将数据72300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据72300000000用科学记数法表示为； 故选：A． 3. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用主视图的定义进行判断即可，即从几何体的正面观察得出视图． 【详解】解：从几何体的正面看，共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题的关键．画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同分母分式的减法运算，解题的关键是根据同分母分式的减法运算法则将原式化为，然后化为最简分式即可． 【详解】解： ． ． 故选：A． 5. 把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点O作，则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 6. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．根据矩形的性质和菱形的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分； 菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：． 7. 关于x的方程的根的情况判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 视m的取值而定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春．其数字谐音为，有关这一组数，下列说法错误的是（ ） A. 平均数为 B. 从中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大 C. 中位数为4.5 D. 众数是1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是可能性的大小，中位数及众数，根据中位数，众数及概率公式解答即可． 【详解】解：A、1，1，4，5，1，4这一组数的平均数是，正确，不符合题意． B、∵1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性为，取得偶数的概率为， ∴取得奇数的可能性比较大，正确，不符合题意； C、 ∵1，1，4，5，1，4这一组数从小到大排列为：1，1，1，4，4，5，∴中位数为，原说法错误，符合题意； D、 ∵1，1，4，5，1，4这一组数中1最多， ∴众数是1，正确，不符合题意； 故选：C． 9. 已知抛物线的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 6 0 6 … 下列结论：①；②抛物线有最小值；③当时，随增大而减少；④当时，的取值范围是或．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可得答案． 【详解】解：由表中数据知，抛物线对称轴为直线， ， 故错误，不符合题意； ∵抛物线的顶点坐标是，图象开口向上，有最小值， 故正确，符合题意； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 故错误，不符合题意； 抛物线与轴交点坐标为和， 当时，的取值范围是或， 故正确，符合题意． 故选：D． 10. 如图1所示，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得．然后等面积法即可求解． 【详解】解：如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小， ，， ， 在中，，， ， ， ． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请任写一个与平行的一次函数解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的位置与系数的关系，明白函数图象中平行相等是关键．根据平行相等这个结论即可得出结论． 【详解】解：两解析式平行值相等， ， ∴解析式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在实数范围内规定运算：，则不等式组的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是新定义和解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先根据运算法则变形不等式，然后求不等式组的解集即可． 【详解】，不等式组， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为， 故答案为：． 13. “中国古典四大名著”是中国文学史中的经典作品，是宝贵的世界文化遗产．小铭同学收集到中国古代四大名著卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀后，从中随机抽取两张，则抽到的两张卡片恰好是“三国演义”和“西游记”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得． 【详解】解：“红楼梦”、“三国演义”、“水浒传”、 “西游记”分别用、、、表示， 根据题意画图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好是“三国演义”和“西游记”的有2种， 则抽到的两张卡片恰好是“三国演义”和“西游记”的概率是． 故答案为：． 14. 如图，中，，，在以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形，坐标与图形等知识点，先根据等腰直角三角形的性质求出，，由旋转的性质得到，解求出，进一步求得旋转角为，由，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，点O为的中点，， ∴， ∴， 绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处， ， ， ， 在中，， ， ，即旋转角为， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，矩形，边，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F，当时，的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，重点考查了矩形的性质、轴对称的性质，分两种情况讨论，一是点在线段上，设交于点，可证明，则，求得，求出；二是点在线段的延长线上，延长、交于点，可证明，则，求得，因为，，求得，即可解答，熟练作出辅助线是解题的关键。 【详解】如图1，点在线段上，设交于点， ，，， ， , ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2，点在线段的延长线上，延长、交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式的四则运算： （1）原式先化简，，，然后再计算加减法即可； （2）原式根据完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，合并即可 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中， ， ， ，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91； 八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 91 a 95 m 八 91 93 b （1）填空：__________，__________，__________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”知识竞赛中，哪个年级学生的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校现有学生七年级1200名，八年级1000名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1）； （2）解：八年级学生了解情况更好，理由如下： ， ∴八年级学生了解情况更好； （3）这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约为人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是正确理解中位数与众数的定义． （1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级组同学的分数可得； （2）对比优秀率求解即可； （3）求出七、八年级优秀人数，再相加可得． 【小问1详解】 解： ∵从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩 ∴中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在组， ， 观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级优秀人数为（人）， 八年级优秀人数为（人）， （人）， ∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约为人． 18. 喜欢思考问题的小明在探究直角三角形斜边的中线，他的思路是：在中，先作出直角边的垂直平分线，并猜测它与斜边的交点是中点，于是他把交点与点C连接，通过垂直平分线的性质以及等角对等边的代换，他发现了直角三角形斜边的中线与斜边的数量关系． （1）请根据小明的思路完成以下作图与填空： ①用尺规作图作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） ②已知：在中，，垂直平分，垂足为点．求证：． 证明：垂直平分， ______． ． 在中，， ，______． ． ______． ． ． （2）通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，由此解决以下问题：若的周长为12，，，则边上的中线长为______． 【答案】（1）①见解析；②，， （2）2.5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质． （1）①利用尺规作出的垂直平分线；②根据线段垂直平分线的性质结合等边对等角求得，再利用等角的余角相等，求得，可证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； （2）设，则，利用勾股定理求得斜边的长，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①作图如下： 证明：垂直平分， ． ． 在中，， ，． ． ． ． ． 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴边上的中线长为2.5． 故答案为：2.5． 19. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）厘米 （2）7.9厘米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； 【小问2详解】 解：过点C作过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时，； 当时，； ∴， ∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约． 20. 围棋起源于中国，被列为“琴棋书画”四大文化之一；象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚．国家“双减”政策实施后，某校为参加棋类社团的同学购买象棋和围棋，其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元． （1）求每副象棋和围棋的单价； （2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和副象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于的函数解析式； （3）请直接写出该校选择哪种方案购买更划算． 【答案】（1）每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元 （2）， （3）当时，选择方案一更划算；当时，两种方案一样划算；当时，选择方案二更划算． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程、一元一次不等式和列函数解析式，解题关键是准确把握题目中的数量关系，正确列出方程或不等式． （1）设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题目给出的优惠方案，列出关系式即可求解； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元； 【小问2详解】 解：根据购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋， 可得； 根据按购买总金额的八折付款， 可得． 【小问3详解】 解：当时，， 解得，， 所以，当时，选择方案一更划算； 当时，， 解得，， 所以，当时，两种方案一样划算； 当时，， 解得，， 所以，当时，选择方案二更划算． 综上，当时，选择方案一更划算；当时，两种方案一样划算；当时，选择方案二更划算． 21. 停车楔（如图1所示），被誉为“防溜车神器”，是一种固定汽车轮胎的装置，在大型货车于坡道停车时，放停车楔的作用尤为重要．如图2所示是轮胎和停车楔的示意图，当车停于水平地面上时，将停车楔置于轮胎后方即可防止车辆倒退，此时弧紧贴轮胎，边与地面重合且与轮胎相切于点．为了更好地研究这个停车楔与轮胎的关系，小文在示意图2上，连接并延长交于点，连接后发现． （1）求证：； （2）如果此停车楔的高度为（点到所在直线的距离），支撑边与底边的夹角，求轮胎的直径． 【答案】（1）证明：如图1所示，连接． 为的直径，与相切与点， ． ． 即． ， ． ． ∵， ． ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，再证明，可得，从而可得结论； （2）如图2所示，过点作，垂足为．求解，结合为直角三角形，且．可得，证明是等边三角形，再进一步可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2所示，过点作，垂足为． ，， ． ， ． ， 又点到所在直线的距离为， 为直角三角形，且． ． ， ． ． 又， 是等边三角形． ． 轮胎直径． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，含的直角三角形的性质，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22. 如图所示，篮圈中心到地面的距离为3.05米，一名同学在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当运行的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度3.5米，沿此抛物线可准确落入篮圈． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标是______； （2）求这条抛物线所对应的函数解析式； （3）该同学身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】（1） （2） （3）球出手时，他跳离地面的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，确定二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据图象即可求解； （2）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （3）设球出手时，他跳离地面的高度为米，则可得． 【小问1详解】 解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线与轴的交点坐标是 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 由图知图象过以下点：． ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：设球出手时，他跳离地面的高度为米， 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为， ∴， ∴． 答：球出手时，他跳离地面的高度为米． 23. 【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $