精品解析：山东省聊城市2023-2024学年高一下学期期末教学质量抽测数学试题

2023—2024学年度第二学期期末教学质量抽测 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足 （i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 2. 一组数据6，4，a，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的（ ） A. 第50百分位数为8 B. 第50百分位数为6 C. 第75百分位数为8 D. 第75百分位数为9 3. 已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，任意一点P关于点A的对称点为M，关于点B的对称点为N，则等于（ ） A. B. C. D. 5. P是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.PMI高于时，反映经济总体较上月扩张；低于，则反映经济总体较上月收缩.根据我国2022年6月至2023年9月的PMI绘制出如下折线图. 根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于 B. 2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第三季度各月的PMI的方差 C. 2023年第三季度各月经济总体较上月扩张 D. 2023年第一季度各月经济总体较上月扩张 8. 某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 复数z在复平面内对应的点为，且（i为虚数单位）的实部为4，则（ ） A. 复数z的虚部为2 B. 复数z的共轭复数对应的点在第四象限 C. 若，则最大值为 D. 复数z是方程的一个根 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. 事件A与事件C互斥 C 事件A与C相互独立 D. 11. 长方体中，，点M，N分别在侧棱和底面ABCD上运动，且，则（ ） A. 直线BM与直线所成角的范围为 B. 存在直线MN，使MN∥平面 C. 设点P为线段MN的中点，则点P的轨迹与侧面的交线长度为 D. 设点P为线段MN的中点，则三棱锥的体积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数________. 13. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 14. 甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为________，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，点O坐标原点，. （1）若点P满足，求点P的坐标； （2）若点D满足，，求向量的坐标. 16. 体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间（单位：分钟），整理得到频率分布直方图，如下图所示. （1）求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数； （2）从所抽查的每天体育锻炼时间在内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选2人不在同一组的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且，侧面平面ABCD. （1）设M，N分别为PD，BC的中点，求证：MN∥平面PAB； （2）设，在线段PD上是否存在一点Q，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角C大小； （2）若点D为AB靠近点B的三等分点，且，，求的面积. 19. 如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角正弦值； （3）设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且∥平面，若点P的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末教学质量抽测 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足 （i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，代入结合复数的模长公式运算求解. 【详解】因为，则， 所以 故选：C. 2. 一组数据6，4，a，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的（ ） A. 第50百分位数为8 B. 第50百分位数为6 C. 第75百分位数为8 D. 第75百分位数为9 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数可得，将数据按升序排列，结合百分位数的定义运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 将数据按升序排列可得：. 对于选项AB：因为，所以第50百分位数为第4位数6，故A错误，B正确； 对于选项CD：因为，所以第75百分位数为第6位数10，故CD错误； 故选：B. 3. 已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系. 【详解】解：由，若，则可能平行或，充分性不成立； 由，，由面面垂直的判定知，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 设，，任意一点P关于点A的对称点为M，关于点B的对称点为N，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知∥，且，结合向量的线性运算求解. 【详解】由题意可知：分别为的中点，则∥，且， 所以. 故选：D. 5. P是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，可知点为的一个三等分点（靠近点A），即可得面积. 【详解】因为，则， 即点为的一个三等分点（靠近点A）， 所以的面积为. 故选：B. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得，再利用基本不等式结合面积公式运算求解. 【详解】因为，且，即， 整理可得， 由余弦定理可得，则， 且，可知，则， 又因为，当且仅当时，等号成立， 则，即， 所以面积的最大值为. 故选：C. 7. 采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.PMI高于时，反映经济总体较上月扩张；低于，则反映经济总体较上月收缩.根据我国2022年6月至2023年9月的PMI绘制出如下折线图. 根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于 B. 2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第三季度各月的PMI的方差 C. 2023年第三季度各月经济总体较上月扩张 D. 2023年第一季度各月经济总体较上月扩张 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数定义判断A，根据数据波动情况判断B，利用扩张和收缩情况判断CD. 【详解】对于选项A：根据图表可知，共有10个月的PMI小于， 所以各月的PMI的中位数小于50，故A错误； 对于选项B：2022年第四季度各月的PMI比2023年第一季度各月PMI的波动大， 即方差也大，故B错误； 对于选项C：因为2023年第七、八月PMI均小于， 所以反映经济总体反映经济总体较上月收缩，故C错误； 对于选项D：2023年第一季度各月PMI均大于，则各月经济总体较上月扩张，故D正确； 故选：D. 8. 某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合圆台和球的结构特征根据圆台的轴截面图，利用勾股定理用表示圆台的高，再利用圆台体积建立的方程，解出再求出球的半径即可得球的体积. 【详解】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为， 因为球与圆台的上，下底面及侧面均相切， 则圆台内切球的球心O在的中点处， 设球O与母线切于M点， 所以，且，， 则， 同理，所以， 过A作，垂足为G， 则， 所以， ，即圆台的高为， 该圆台的体积为， 解得， 则球的直径，半径为， 则球的体积为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 复数z在复平面内对应的点为，且（i为虚数单位）的实部为4，则（ ） A. 复数z的虚部为2 B. 复数z的共轭复数对应的点在第四象限 C. 若，则的最大值为 D. 复数z是方程的一个根 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：由题意可知：，根据复数的运算可得，进而分析判断；对于B：根据共轭复数以及复数的几何意义分析判断；对于C：根据复数模长的几何意义分析判断；对于D：直接解实数系方程即可. 【详解】对于选项A：由题意可知：，则， 可得，即复数的虚部为4，故A错误； 对于选项B：复数z的共轭复数为，对应的点为，在第四象限，故B正确； 对于选项C：设复数在复平面内对于的点分别为， 则，则， 且， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为，则，解得， 所以复数z不是方程的一个根，故D错误； 故选：BC. 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（ ） A B. 事件A与事件C互斥 C. 事件A与C相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据古典概型分析求解；对于BCD：利用列表法结合古典概型求，进而结合互斥事件、独立事件以及事件的运算分析求解. 【详解】对于选项A：因为第二次的点数有，共6个可能值， 事件B包含的点数有，共3个可能值，所以，故A正确； 因为第一次的点数有，共6个可能值，可得， 对于事件C，列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 2 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 3 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 4 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 5 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 6 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 可知共有个基本事件，且，则， 又因为事件，即，则. 对于选项B：因为，所以事件A与事件C不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，可知事件A与C相互独立，故C正确； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：ACD. 11. 在长方体中，，点M，N分别在侧棱和底面ABCD上运动，且，则（ ） A. 直线BM与直线所成角的范围为 B. 存在直线MN，使MN∥平面 C. 设点P为线段MN的中点，则点P的轨迹与侧面的交线长度为 D. 设点P为线段MN的中点，则三棱锥的体积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：分析可知直线BM与直线所成角为，结合长度关系分析求解；对于B：分别取的中点为，即可证明MN∥平面；对于CD：分析可知点的轨迹为以为球心，半径为1的球的，进而分析交线求轨迹长度判断C；根据球的性质结合锥体体积公式判断D. 详解】对于选项A：取，且，则线段，即， 因∥，且， 可知直线BM与直线所成角为， 若与重合，可知； 若与重合， 可知； 所以直线BM与直线所成角的范围为，故A错误； 对于选项B：分别取的中点为， 则，可得符合题意，此时∥， 因为∥，且，可知为平行四边形， 则∥，可得∥， 且平面，平面，可得∥平面， 所以存在直线MN，使MN∥平面，故B正确； 对于选项CD：因为平面，且平面，则， 且，点P为线段MN的中点， 则（点与点重合依然成立）， 可知点的轨迹为以为球心，半径为1的球的， 则点P的轨迹与侧面的交线为以为球心，半径为1的圆的， 所以交线长度为，故C正确； 在中，，边上的高为， 设点到平面的距离为， 由三棱锥的体积可得，解得， 由球的性质可知：点P到平面的距离最小值为， 所以三棱锥的体积的最小值为 ，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于选项CD：根据题意分析可得，进而可知点的轨迹为以为球心，半径为1的球的，进而分析求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义列式求解. 【详解】由题意可得：，解得. 故答案为：1. 13. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 【答案】90 【解析】 【分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】中，，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，（米）， 故答案为：90. 14. 甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为________，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2分，即甲得0分乙得2分、甲得2分乙得0分两个互斥事件的和事件，利用相互独立事件及互斥事件和事件的概率加法公式建方程可得 ；事件“‘梦队’在比赛中得分不低于6分”的概率，也转化为互斥事件的和事件，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】记事件“两人在自主传球环节得分之和为2分”，“甲在自主传球环节得分”，“乙在自主传球环节得分”， 由题意可知，与相互独立，且，事件与互斥， 故，解得； 记事件“‘梦队’在比赛中得分不低于6分”， “甲在自主投篮环节得分”，“乙在自主投篮环节得分”， 由题意可知相互独立， 则， 且事件两两互斥， 则. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，. （1）若点P满足，求点P的坐标； （2）若点D满足，，求向量的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点P的坐标为，根据向量的数乘列式求解即可； （2）设向量的坐标为，根据向量平行、垂直关系列式求解即可. 【小问1详解】 设点P的坐标为，则， 因为，则，解得， 所以点P的坐标为. 【小问2详解】 设向量的坐标为，即， 则，， 因为，，则，解得， 所以向量的坐标为. 16. 体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间（单位：分钟），整理得到频率分布直方图，如下图所示. （1）求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数； （2）从所抽查的每天体育锻炼时间在内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选2人不在同一组的概率. 【答案】（1）分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，求得，结合加权平均数公式求平均数； （2）先根据分层抽样求各层人数，再根据古典概型利用列举法求概率. 【小问1详解】 由题意可知：每组频率依次为， 则，解得； 可得， 估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数为分. 【小问2详解】 由题意可知：在内抽取人，记为； 在内抽取人，记为； 从这6人中任选2人，则样本空间为： ，则， 记“所选2人不在同一组”为事件A， 则，可知， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且，侧面平面ABCD. （1）设M，N分别为PD，BC的中点，求证：MN∥平面PAB； （2）设，在线段PD上是否存在一点Q，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见详解 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）由面面垂直的性质可得平面，根据垂直关系分析可知等价于，进而分析求解. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，， 又因为N为BC的中点，且ABCD是正方形，则∥，， 可得∥，且，可知为平行四边形，则∥， 且平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB. 【小问2详解】 因为ABCD是正方形，则， 且侧面平面ABCD，侧面平面，平面ABCD， 可知平面，由平面，可得， 且，，平面， 所以平面，由平面，可得， 反之，若，同理可证平面，即可得， 所以等价于， 不妨设，则，可知边上的高为， 由的面积可得，解得， 则， 所以在线段PD上是存在一点Q，使得，此时. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角C大小； （2）若点D为AB靠近点B的三等分点，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理边角转化可得结果； （2）根据题意利用正弦定理可得，结合三角形面积之间的关系分析求解. 【小问1详解】 因，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. 【小问2详解】 由题意可知：，，， 在中，由正弦定理可得， 在中，可得， 则，可得， 且，则，可得， 所以的面积. 19. 如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且∥平面，若点P的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得∥，进而可得结果； （2）根据长度关系可得，分析可知二面角的平面角为，进而可得结果； （3）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. 【小问1详解】 连接， 因为，M为的中点，则， 又因为平面，且平面，则， 由，平面，可得平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则∥，， 且∥，，可得∥，， 可知为平行四边形，则∥， 所以平面. 【小问2详解】 不妨设，则， 且平面，可知， 因为平面，平面，可得， 则，即，则， 可知为矩形，则， 由（1）可知：，则二面角的平面角为， 在中，可得， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 连接， 由（1）可知：∥，且平面，平面， 可得∥平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则∥，， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 且，平面，所以平面∥平面， 且平面平面，可知点P的轨迹为线段， 即，由题可知：，且为矩形， 则， 在中，因为，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 【点睛】方法点睛：探索性问题求解的途径和方法 1.对命题条件探索的三种途径： ①先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明； ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性； ③将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件． 2.对命题结论的探索方法： 从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，现寻找与条件相容或者矛盾的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$