1.5有理数的乘除 学案2024-2025学年沪科版数学七年级上册

1.5有理数的乘除 一、有理数的乘法 1、知识点 有理数的乘法法则 (1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘; (2) 任何数与0相乘仍得 0. 有理数的乘法符号法则 (1)如果两个数的积为正数,那么这两个数同正或同负,反之亦然,即: ab>0 a>0, b>0 或 a<0, b<0; (2)如果两个数的积为负数,那么这两个数一正一负,反之亦然,即: ab<0 a>0, b<0 或 a<0, b>0; (3)如果两个数的积为 0,那么这两个数中至少有一个数是 0,反之亦然,即: ab=0 a=0 或 b=0. 2、问题1:在实验室中,用冷却的方法可将某种生物标本的温度稳定地下降,每1min下降2 。假设现在生物标本的温度是0 ,问3min后它的温度是多少? 1- 0- -——现在 -1- -2- ——1 min后 -3- -4- ——2min 后 -5- -6- ——3min 后 如果把温度下降记作“-”,那么,由示意图可得3min后生物标本的温度是-6 。 用算式表示,有两种表示方法: (-2)+ (-2)+(-2)= -6 (-2) 3 = -6 类似地, (-2) 2 = -4 (-2) 1 = -2 (-2) 0 = 0 结论:一般地,异号两数相乘(正数乘负数或负数乘正数),只要把它们的绝对值相乘,符号取“-”;负数与0相乘得0。 在问题1中,温度下降记为“-”;时间计量以“现在”为基准,以后时间记为“+”,所以问题1中,乘数都是正数。那么以前时间记为“-”,1min前记作-1,观察左边示意图,1min前生物标本的温度是2 ,用算式表示: (-2) (-1)= 2 2min前(记作-2)生物标本的温度是4 ,用算式表示: (-2) (-2)=4 类推:(-2) (-3)=6 结论:一般地,两个负数相乘,只要把它们的绝对值相乘,符号取“+”。 7- 6- ——3min前 5- 4- ——2min前 3- 2- ——1min前 1- 0- -——现在 -1- -2- ——1 min后 -3- -4- ——2min 后 -5- -6- ——3min 后 总结: 有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘; 例题:计算 (1)、(-6) (-5); (2)、 (3)、 (4)、 解:(1)、(-6) (-5)= +(6 5)= 30 (2)、 - =- (3)、 = + = 1 (4)、 练习:①、计算 (1)(-3) ; (2) ( - 0.25 ) ; (3) ( -2 ) 3 ( - 4 ) ;(4) ( - 1000 ) 0. (5) 答案:(1)1 (2)-2/3 (3)24 (4)0 (5)1 ②、回答: (1)一个数与+1相乘,得什么数? (2)一个数与-1相乘,得什么数? 答案:(1)原来的数;(2)原数的相反数 总结: 有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘; (2)任何数与0 相乘都得 0. (3)当因数中有带分数时,应先把带分数化为假分数; (4)任何数与1相乘都等于它本身,任何数与- 1相乘都等于它的相反数。 3、倒数 = + = 1 = + = 1 两个有理数的乘积为1,我们称这两个有理数互为倒数。 倒数与相反数间的关系 求一个数的倒数的方法: (1)一个不为 0 的整数的倒数就是用这个整数作分母,1 作分子的分数; (2)一个分数的倒数就是把这个分数的分子和分母交换位置; (3)求一个小数的倒数要先把小数化成分数,再求其倒数; (4)一个带分数的倒数要先把带分数化成假分数,然后交换分子、分母的位置。 例:求下列各数的倒数 (1) - 4; (2) - ; (3) 0.125; (4) 1 ; (5) - 1. 解:(1)、 (2)、 (3)、8 (4)、 (5)、-1 总结: ①求出一个数的倒数后可进行检验,其结果要符合两个特征: (1)原数与其倒数符号相同; (2)两者乘积为1. ② 0 没有倒数;倒数等于本身的数有 1。 练习: ①填表(想法则、写结果): 因数 因数 积的符号 积的绝对值 积 +8 -6 ― 48 ―48 -10 +8 ― 80 ―80 -9 -4 + 36 +36 20 8 + 160 +160 ②计算: (1) (-4.6) (+3); (2) ; (3) ; (4) (5)(+8.5) (-2); (6) (-12); (7)(-3.8) 0 ; (8)100 (-0.01) 答案:(1)-13.8 (2) (3)+ (4)+1 (5)-17 (6)+ (7)0 (8)-1 4、多个有理数相乘 几个不为 0 的数相乘的法则: 几个不为 0 的数相乘,积的符号由负因数的个数决定。当负因数有偶数个时,积为正;当负因数有奇数个时,积为负。确定符号后,再把这几个有理数的绝对值相乘 。 有因数 0 的几个数相乘的法则: 几个数相乘,有一个因数为 0,积为 0. 同样,若积为 0,则至少有一个因数为 0。 例题: (1)(-4) 5 0.25 = ; (2) (-16) (+0.5) (-0.8)= ; (3)(+2) (-8.5) (-100) 0 (+90)= 。 (4) 解:(1)(-4) 5 (0.25)= -(4 5 0.25)= - 5; (2) (-16) (+0.5) (-0.8) = - 16 0.5 0.8 = - 0.8 16 0.5 = - 0.3 8 = - 2.4 (3) (+2) (-8.5) (-100) 0 (+90)= 0 。 (4)) = - = - 总结: 多个有理数相乘,先看各因数中有无0,若有,则乘积的结果为 0;若无,则非 0 有理数相乘,应该先确定符号,再计算绝对值的乘积 。 在进行乘法运算时,当遇到带分数时,要化为假分数,以便于约分;分数与小数相乘时,要根据两个数的特点,统一成分数或小数 。 练习: ①若a, b, c在数轴上对应点的位置如图所示, 则必有( ) A. abc>0 B. a(b-c)>0 C. (a+b)c>0 D. (a-c)b>0 ②计算: (-12. 5) (-4) ③计算 的结果为( ) A. B. C. D. 答案:① B ② - 31.25 ③D 二、有理数的除法 1、知识点 有理数除法法则一: 除法是乘法的逆运算。 有理数除法法则二: 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除. 0 除以任何一个不等于 0 的数仍得 0。0 不能做除数 。 有理数除法法则三: 除以一个不为 0 的数,等于乘以这个数的倒数 。 用字母表示: a b = a (b ≠ 0)。 2、 例题:① 乘法 除法 ( + 2 ) ( + 4 )= + 8 ( + 8 ) ( + 2 )=+4 ( + 8 ) ( + 4 )=+2 ( - 2 ) ( - 4 )= + 8 ( +8 ) ( - 2 )= - 4 ( +8 ) ( - 4 )= - 2 ( - 2 ) ( + 4 )= - 8 ( - 8 ) ( - 2 )= +4 ( - 8 ) ( + 4 )= - 2 ②计算: ; ( - 5 ); 0 ; ( - 4.2 ) ( +6 ); 解: = + 4 = + 3 ( - 5 )= - = - 0 = 0 ( - 4.2 ) ( +6 )= - 4.2 = - 0.7 3、 练习: ⑴计算: ① 6; ②( - 8 ) ; ③( - 2 ) ( - 4 ); ④( - 0.75 ) ; ⑤( - 1 ) ( - 3 ) ; ⑥ 0 (- 3.72 ) ; ⑦ 1.5 (- 1.5 ) ; ⑧(- 4.7 ) (- 4.7 ). ⑵写出下列各数的倒数: , 0.25 , - 6 , 1 , - 1 答案: ⑴ ① -2 ; ② +; ③ + ; ④ ―; ⑤ ; ⑥0 ; ⑦-1 ; ⑧ +1 ⑵ , 4 , , 1 , -1 总结: 当能整除时,往往采用法则二直接除。 当不能整除时,特别是当除数是分数时,往往采用法则三,把除法转化为乘法再计算。 三、乘、除混合运算 例题1: 计算:(1) (―5) (―2); (2)(-6) (-4) 解:(1) (―5) (―2) = ― 2 = -1 (2)(-6) (-4) = - 6 = - 结论: 有理数的乘除混合运算顺序: 按照从左到右的顺序计算,有括号的先计算括号里面的 . 有理数的乘除混合运算法则: 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法,然后按照多个有理数相乘的法则计算。有理数乘、除的混合运算,可统一化为乘法运算。 例题2: 计算:(1)+ ― (2)―5+ 1―0.2 (-2) 解:(1)+ ― =+ ― ―1 = ――1 =― (2)―5+ 1―0.2 (-2) =―5+ 1― ― =―5+ 1― ― =―5+ ― =―5― =- 结论: 含加、减、乘、除的算式,如没有括号,应先做乘除运算,后做加减运算;如有括号,应先做括号里的运算。 例题3: 计算:(1) +― (―12); (2) (―0.1) (―100) 0.01 (―10) 解:(1) +― (―12) = (―12)+ (―12)― (―12)(分配律) =―3―2+6 =1 (2)(―0.1) (―100) 0.01 (―10) =―(0.1 100 0.01 10) (乘法符号法则) =―[(0.1 10) (0.01 100)] (乘法交换律、结合律) =―1 结论:乘法交换律:ab=ba 乘法结合律:(ab)c=a(bc) 分配律:a(b+c)=ab+ac 练习: 计算: (1)25 0.125 (-4) (- ) (-8) 1 ; (2)( -36) (- + - ) . (3)(-47.65) 2 +37.15 2 +10.5 ( - 7 ). (4)(- 3 ) ( - ) ( - ) ( - ) . 答:(1)25 0.125 (-4) (- ) (-8) 1 =25 (―4) 0.125 ― (―8)(交换律、结合律) =(―100) 0.125 (―1) (―8) =(―12.5) 8 =―100 (2)( -36) (- + - ) =(―36) ― +(―36) +(―36) ― =+16―30+21 =7 (3)(-47.65) 2 +37.15 2 +10.5 ( - 7 ) =2 (―47.65+37.15)―7 10.5 = (―10.5)― 10.5 =―10.5 + =―10.5 10 =―105 (4)(- 3 ) ( - ) ( - ) ( - ) =(―3) ― ― ― =1 4 =4 总结: 利用乘法的交换律和结合律都是为了简化运算,其中互为倒数的两个数乘积为 1,这是结合的一个原则。 简化有理数乘法的方法: 对于几个有理数相乘,先确定积的符号,再把能够凑整、便于约分的因数运用乘法交换律与结合律结合在一起。 综合练习: 1、若|a|=3, |b|=4, 且a+b<0, 则ab=_. 2、已知a与-3互为相反数, b与-互为倒数. (1) 求a, b的值; (2)若|m-a|+|n+b|=0, 求mn的值. 3、计算: (1) (-1. 2) ― (2) ― ― ― (3)(+9) (―10) ― 0 (―5.75) 4、计算: ― ― 5、某商店营业员每月的基本工资为4 000元, 奖金制度是每月完成规定指标10 000元营业额, 发奖金300元; 若营业额超过规定指标, 另奖超额部分营业额的5%, 该商店的一名营业员九月份完成营业额13 200元, 则他九月份的收入为_元. 6、已知a, b互为倒数, c, d互为相反数, |m|=3.根据已知条件解答下列问题: (1)ab=_, c+d=_, m=_, =_. (2)求+ab+-的值. 答案:1、 12 ;2、a =3 b=―2 ,mn=6 ; 3、(1) ;(2)― ;(3)0 ; 4、 ; 5、4000+300+3200 0.05=4460 ; 6、(1)ab=1 ;c+d=0 ; m= 3 ; =-1 (2)3和1 学科网(北京)股份有限公司 $$