第二章 相交线与平行线（单元重点综合测试） 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线（单元重点综合测试） 时间：90分 分数：100分 一、单项选择题（每题3分，共10题，共计30分） 1．如图所示,已知直线a,b被直线c所截,且a∥b,∠1=65°,那么∠2等于(　　) A．145° B．65° C．55° D．35° 2．如图，AB，CD交于点O，OE⊥AB于点O，则下列不正确的是(　　) A．∠AOC与∠BOD是对顶角 B．∠BOD和∠DOE互为余角 C．∠AOC和∠DOE互为余角 D．∠AOE和∠BOC是对顶角 3．如图所示，与∠α构成同位角的角的个数为(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠BOA∶∠AOD＝3∶4，则∠BOD的度数为(　　) A．120° B．125° C．150° D．157.5° 5．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果AB∥CD，那么（　　） A．∠1＞∠2 B．∠1=∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1+∠2=180° 6．下列作图语句的叙述正确的是（　　） A．以点O为圆心画弧 B．以AB、CD的长为半径画弧 C．延长线段BC到点D，使CD=BC D．延长线段BC=a 7．如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=45°,∠CEF=155°,则∠BCE等于( 　) A．10° B．15° C．20° D．25° 8．如图，下列说法中错误的是(     ) A．∠3与∠5是同位角 B．∠4和∠5是同旁内角 C．∠2和∠4是对顶角 D．∠1和∠5是同位角 9．下列语句叙述正确的有(　　) ①如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角; ②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角; ③连接两点的线段长度叫做两点间的距离; ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题2分，共6题，共计12分） 11．a、b、c是直线，且a∥b，b∥c，则 ． 12．如图，AB∥CD，∠D=75°，∠CAD：∠BAC=2：1，则∠CAD= 13．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠AOC＝ .    14．如图，沿虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，使∠1＝115°，则∠2＝ 15．如图，体育课上老师测量跳远的成绩是这样操作的： 用一块直角三角尺的一边附在踏跳板上，另一边与拉直的皮尺重合，并且使皮尺经过被测试同学的落点，这样做的理由是 . 16．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即AE∥CD)，若∠A=120°，∠B=150°,则∠C的度数是 三、综合题（共7题，共计58分） 17．（6分）如图所示，已知在三角形中，D是上的一点，以为一边，在三角形内作，使．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 18．（10分）如图，DG⊥BC，AC⊥BC，FE⊥AB，∠1＝∠2，试说明：CD⊥AB； 解：∵DG⊥BC，AC⊥BC(已知)， ∴∠DGB＝∠ACB＝90°(垂直定义)， ∴DG∥AC(__________________________)， ∴∠2＝∠________(____________________)． ∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠1＝∠________(等量代换)， ∴EF∥CD(________________________)， ∴∠AEF＝∠________(__________________________)． ∵EF⊥AB(已知)， ∴∠AEF＝90°(________________)， ∴∠ADC＝90°(________________)， ∴CD⊥AB(________________)． 19．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分，；求的度数. 20．（6分)如图，在四边形中，点E在的延长线上，与互为余角，若，，求的度数． 请把下面的解答过程补写完整，并在括号内填写相应的依据： 解：是的余角（已知）， ∴______°（余角的定义）． ∵（已知）， ∴．______°（等式的性质）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴______（______）， ∴______（两直线平行，同位角相等）， ∴______°． 21．（8分）如图，已知，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（8分）如图，在四边形中，，． (1)的度数； (2)平分交于点，，求证：． 23．（12分）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 第二章 相交线与平行线（单元重点综合测试） 时间：90分 分数：100分 四、单项选择题（每题3分，共10题，共计30分） 1．如图所示,已知直线a,b被直线c所截,且a∥b,∠1=65°,那么∠2等于(　　) A．145° B．65° C．55° D．35° 【答案】B 【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答． 【详解】∵直线a、b被直线l所截，且a∥b，∠1=65°， ∴∠2=65°． 故选B． 【点睛】本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等． 2．如图，AB，CD交于点O，OE⊥AB于点O，则下列不正确的是(　　) A．∠AOC与∠BOD是对顶角 B．∠BOD和∠DOE互为余角 C．∠AOC和∠DOE互为余角 D．∠AOE和∠BOC是对顶角 【答案】D 【分析】根据对顶角和余角的性质即可解题. 【详解】解：A. ∠AOC与∠BOD是对顶角,正确, B. ∠BOD和∠DOE互为余角,正确, C. ∠AOC和∠DOE互为余角,正确, D. ∠AOD和∠BOC是对顶角, ∠AOC与∠BOD是对顶角,∴D错误, 故选D. 【点睛】本题考查了对顶角和余角的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 3．如图所示，与∠α构成同位角的角的个数为(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】同位角就是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置的角，同位角呈“F”型；根据同位角的定义，找出图中所有所有与∠α构成“F”型的角，即可得到答案. 【详解】由同位角的定义知，能与∠α构成同位角的角有∠FAE、∠FAC、∠ACD，共3个. 故选C. 【点睛】本题考查了同位角的识别，熟练掌握同位角的定义是解题的关键； 4．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠BOA∶∠AOD＝3∶4，则∠BOD的度数为(　　) A．120° B．125° C．150° D．157.5° 【答案】C 【分析】直接利用垂直的定义结合∠BOA∶∠AOD＝3∶4求出即可． 【详解】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB =90°， ∵∠BOA∶∠AOD＝3∶4， ∴∠AOD=90°×=120°， ∵OC⊥OD， ∴∠DOC=90°， ∴∠AOC=∠AOD-∠BOC=120°-90°=30°， ∴∠BOD=360°-∠AOB-∠AOC-∠BOC=360°-90°-30°-90°=150°， 故选C． 【点睛】此题主要考查了垂线以及角的计算，正确得出∠AOC的度数是解题关键． 5．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果AB∥CD，那么（　　） A．∠1＞∠2 B．∠1=∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1+∠2=180° 【答案】B 【详解】如图，∵AB∥CD， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2． 故选B． 【点睛】平行线的性质：两直线平行，同位角相等. 6．下列作图语句的叙述正确的是（　　） A．以点O为圆心画弧 B．以AB、CD的长为半径画弧 C．延长线段BC到点D，使CD=BC D．延长线段BC=a 【答案】C 【详解】试题解析：A、以点O为圆心画弧，画弧应有半径，故此选项错误； B、以AB、CD的长为半径画弧，应有圆心，故此选项错误； C、延长线段BC到点D，使 此选项正确； D、延长线段 应等于具体长度，故此选项错误． 故选C． 7．如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=45°,∠CEF=155°,则∠BCE等于( 　) A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】C 【详解】根据平行线的性质得到∠BCD=∠ABC=45°，∠FEC+∠ECD=180°，求出∠ECD，根据∠BCE=∠BCD-∠ECD求出即可． 解：∵AB∥EF∥CD,∠ABC=45°,∠CEF=155°， ∴∠BCD=∠ABC=45°,∠FEC+∠ECD=180°， ∴∠ECD=180°−∠FEC=25°， ∴∠BCE=∠BCD−∠ECD=45°−25°=20°. 故选C. 点睛：本题主要考查平行线的性质.观察图形并应用平行线的性质求出相关角的度数是解题的关键. 8．如图，下列说法中错误的是(     ) A．∠3与∠5是同位角 B．∠4和∠5是同旁内角 C．∠2和∠4是对顶角 D．∠1和∠5是同位角 【答案】D 【详解】∠1和∠5不是同位角，D选项错误. 故选D. 点睛：掌握同位角、同旁内角、内错角、对顶角的概念. 9．下列语句叙述正确的有(　　) ①如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角; ②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角; ③连接两点的线段长度叫做两点间的距离; ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】试题解析：①如果两个角有公共顶点且它们的两边互为反向延长线,那么这两个角是对顶角;故错误. ②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;错误. ③连接两点的线段长度叫做两点间的距离;正确. ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离.错误. 故选B. 10．如图，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】延长DC交AB于点G， ∵CD∥BE，∴∠5=∠3， ∴∠3－∠1=∠5－∠1=∠4， ∴∠2+∠3－∠1=∠2+∠4=180°. 故选D. 点睛：本题关键在于辅助线的构造，结合平行线的性质、三角形外角的性质解题. 五、填空题（每题2分，共6题，共计12分） 11．a、b、c是直线，且a∥b，b∥c，则 ． 【答案】a∥c 【分析】根据平行公理推论，即可求解． 【详解】∵a、b、c是直线，且a∥b，b∥c ∴a∥c 故答案为：a∥c 【点睛】本题考查了平行公理及推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 12．如图，AB∥CD，∠D=75°，∠CAD：∠BAC=2：1，则∠CAD= 【答案】70 【分析】根据平行线的性质，求出再根据已知条件∠CAD：∠BAC=2：1，即可求解. 【详解】AB∥CD， ∠CAD：∠BAC=2：1， 故答案为70. 【点睛】考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键. 13．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠AOC＝ .    【答案】45°/45度 【分析】根据垂直定义得∠BOE=∠90°,由角平分线定义得∠BOD=∠BOE=45°，由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD=45°． 【详解】因为，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB， 所以，∠BOE=∠90°, 因为，OD平分∠BOE， 所以，∠BOD=∠BOE=45°， 所以，∠AOC＝∠BOD=45° 故答案为45°． 【点睛】本题考核知识点：垂直定义、角平分线、对顶角. 解题关键点：理解垂直定义、角平分线、对顶角性质． 14．如图，沿虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，使∠1＝115°，则∠2＝ 【答案】155° 【详解】过E作EF∥AB，如图所示： ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠1+∠3=∠2+∠4=180°， ∴∠3=180°-115°=65°， ∴∠4=90°-∠3=90°-65°=25°， ∴∠2=180°-∠4=180°-25°=155°， 故答案是：155°． 【点睛】主要运用了平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 15．如图，体育课上老师测量跳远的成绩是这样操作的： 用一块直角三角尺的一边附在踏跳板上，另一边与拉直的皮尺重合，并且使皮尺经过被测试同学的落点，这样做的理由是 . 【答案】垂线段最短 【详解】解：由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短”，可知体育老师这么做的理由是：垂线段最短. 故答案为：垂线段最短． 16．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即AE∥CD)，若∠A=120°，∠B=150°,则∠C的度数是 【答案】150° 【详解】解：如图，过点B作， 因为，所以. 所以∠A=∠2，∠1+∠C=180°. 因为∠A=120°，所以∠2=120°，所以∠1=150°-120°=30°. 所以∠C=180°-30°=150°， 故答案为：150°. 六、综合题（共7题，共计58分） 17．（6分）如图所示，已知在三角形中，D是上的一点，以为一边，在三角形内作，使．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】根据基本尺规作图-作一个角等于已知角的步骤作图即可． 【详解】解：如图所示． 【点睛】本题考查本尺规作图-作一个角等于已知角，熟练掌握作图步骤是解答的关键． 18．（10分）如图，DG⊥BC，AC⊥BC，FE⊥AB，∠1＝∠2，试说明：CD⊥AB； 解：∵DG⊥BC，AC⊥BC(已知)， ∴∠DGB＝∠ACB＝90°(垂直定义)， ∴DG∥AC(__________________________)， ∴∠2＝∠________(____________________)． ∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠1＝∠________(等量代换)， ∴EF∥CD(________________________)， ∴∠AEF＝∠________(__________________________)． ∵EF⊥AB(已知)， ∴∠AEF＝90°(________________)， ∴∠ADC＝90°(________________)， ∴CD⊥AB(________________)． 【答案】 同位角相等，两直线平行；∠ACD；两直线平行，内错角相等；ACD；同位角相等，两直线平行；ADC；两直线平行，同位角相等；垂直定义；等量代换；垂直定义 【分析】根据解题过程和平行线的性质与判定及垂直定义等填空． 【详解】解：∵DG⊥BC，AC⊥BC(已知)， ∴∠DGB＝∠ACB＝90°(垂直定义)， ∴DG∥AC(_同位角相等，两直线平行_)， ∴∠2＝∠ACD ___(_两直线平行，内错角相等__)． ∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠1＝∠ACD __(等量代换)， ∴EF∥CD(同位角相等，两直线平行_)， ∴∠AEF＝∠_ ADC _(_两直线平行，同位角相等_)． ∵EF⊥AB(已知)， ∴∠AEF＝90°(垂直的定义)， ∴∠ADC＝90°(_等量代换__)， ∴CD⊥AB(_垂直的定义__)． 【点睛】本题主要考查解题的依据，需要熟练掌握平行线的性质与判定． 19．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分，；求的度数. 【答案】120° 【分析】先根据角平分线的性质，求出∠BOF的角度，再根据∠AOF＝180－∠BOF即可． 【详解】解：因为OE平分∠BOD， 所以∠DOE＝∠EOB. 又因为∠AOD：∠DOE＝4：1，∠AOD＋∠DOE＋∠EOB＝180°， 所以∠DOE＝∠EOB＝180°×＝30°，∠AOD＝120°， 所以∠COB＝∠AOD＝120°， 因为OF平分∠COB， 所以∠BOF＝60°． 所以∠AOF＝180°－60°＝120°． 20．（6分)如图，在四边形中，点E在的延长线上，与互为余角，若，，求的度数． 请把下面的解答过程补写完整，并在括号内填写相应的依据： 解：是的余角（已知）， ∴______°（余角的定义）． ∵（已知）， ∴．______°（等式的性质）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴______（______）， ∴______（两直线平行，同位角相等）， ∴______°． 【答案】；；；同旁内角互补，两直线平行；； 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握逻辑推理的方法与依据是解本题的关键，根据推理的每一步的条件写出推理的过程与理由是解本题的关键． 【详解】解：是的余角（已知）， ∴（余角的定义）． ∵（已知）， ∴．（等式的性质）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴． 21．（8分）如图，已知，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)96° 【分析】（1）欲证明CE∥AD，只需推知∠ADC=∠C即可； （2）利用（1）中平行线的性质来求∠B的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴； （2）解：由（1）知． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 22．（8分）如图，在四边形中，，． (1)的度数； (2)平分交于点，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出； 根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质求出，得到，根据平行线的判定定理证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， ∵， ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 23．（12分）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行； (2)①，理由见解析；② (3) 【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案； （2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案； （3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作直线， （已作）， （两直线平行，内错角相等） 又，（已知）， ，（平行于同一直线的两直线平行）， ， ； （2）解：①. 理由：如图1，分别过点P，Q作，. 的平分线与的平分线交于点， ，. . 同（1）可证得， ②，， . 又，    （3）过点P、H作， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：    【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $$