第6章 概率初步 讲义 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

第6章 概率初步 知识点01：事件 1、事件分为必然事件、可能事件、确定事件。 2、必然事件：事先就能肯定一定会发生事件。也就是指该事件每次一定发生，可能发生，即发生可能是100%（或1）。 3、可能事件：事先就能肯定一定会发生事件。也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生可能性为零。 4、确定事件：事先无法肯定会会发生事件，也就是说该事件可能发生，也可能发生，即发生可能性在0和1之间。 5、三种事件都是相对于事件发生可能性来说，若事件发生可能性为100%，则为必然事件；若事件发生可能性为0，则为可能事件；若事件一定发生，即发生可能性在0∽1之间，则为确定事件。 6、简单地说，必然事件是一定会发生事件；可能事件是绝对可能发生事件；确定事件是指有可能发生，也有可能发生事件。 7、表示事件发生可能性方法通常有三种： （1）用语言叙述可能性大小。 （2）用图例表示。 （3）用概率表示。 知识点02：等可能性 1、等可能性：是指几种事件发生可能性相等。 2、游戏规则公平性：就是看游戏双方结果是否具有等可能性。 （1）首先要看游戏所出现结果两种情况中有没有必然事件或可能事件，若有一个必然事件或可能事件，则游戏是公平； （2）其次如果两个事件都为确定事件，则要看这两个事件发生可能性是否相同；即看双方获胜可能性是否相同，只有双方获胜可能性相同，游戏才是公平。 （3）游戏是否公平，并一定是游戏结果两种情况发生可能性都是二分之一，只要对游戏双方获胜事件发生可能性一样即可。 知识点03：概率 1、概率：是反映事件发生可能性大小量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现结果数/所有可能出现结果数。 2、必然事件发生概率为1，记作P（必然事件）=1； 3、可能事件发生概率为0，记作P（可能事件）=0； 4、确定事件发生概率在0∽1之间，记作0<P（确定事件）<1。 5、概率是对“可能性”定量描述，给人以更直接感觉。 6、概率并提供确定无误结论，这是由确定现象造成。 7、概率计算： （1）直接数数法：即直接数出所有可能出现结果总数n，再数出事件A可能出现结果数m，利用概率公式直接得出事件A概率。 （2）对于较复杂题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。 知识点04：几何概率 1、事件A发生概率等于此事件A发生可能结果所组成面积（用SA表示）除以所有可能结果组成图形面积（用S全表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=SA/S全，这是因为事件发生在每个单位面积上概率是相同。 2、求几何概率： （1）首先分析事件所占面积与总面积关系； （2）然后计算出各部分面积； （3）最后代入公式求出几何概率。 知识点05：设计概率模型（游戏或事件） 1、设计符合要求简单概率模型（游戏或事件）是对概率计算逆向运用。 2、设计通常分四步： （1）首先分析设计应符合什么条件； （2）其次确定选用什么图形表示更合理； （3）然后再按一定要求和操作经验来设计模型； （4）最后再通过计算或其他方法来验证设计模型是否符合条件。 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023春•莱芜区期中）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是绿球的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（2分）（2022春•东平县期末）分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最小的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）（2022春•龙岗区期末）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽5个、红枣粽3个、腊肉粽3个、鲜肉粽4个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2分）（2021秋•安新县期末）正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（2分）（2021春•项城市期末）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂色，再把它分割成棱长为1的正方体，从中任取一个小正方体，则取得小正方体恰好有两个面涂色的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（2分）（2021•顺德区二模）如图是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域的概率是（　　） A．1 B． C． D． 7．（2分）（2020秋•涪城区期末）如图，是一个质地均匀的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止；其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．则指针指向绿色或黄色的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（2分）（2021春•甘孜州期末）如图，半圆的直径为AB，圆心为点O，C、D是半圆的3等分点，在该半圆内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（2分）（2019春•市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（　　） A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大 B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多 C．她不可能吃到豆沙馅汤圆 D．她一定能吃到枣泥馅汤圆 10．（2分）（2019•云霄县一模）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（　　） A． B． C． D．1 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2022春•东平县期末）如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为 　 　． 12．（2分）（2021秋•苍溪县期末）一只蚂蚁在如图所示的正方形ABCD的图案内爬行（假设蚂蚁在图案内部各点爬行的机会是均等的），蚂蚁停留在阴影部分的概率为　 　． 13．（2分）（2022春•峡江县期末）如图，在4×4的正方形网格中，已将四个小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是　 　． 14．（2分）（2021•社旗县二模）二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是　 　． 15．（2分）（2021•滨海县二模）小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是　 　． 16．（2分）（2021春•郫都区期末）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都是60°的扇形．任意转动这个转盘1次，当转动停止时，指针指向阴影区域的概率为　 　． 17．（2分）（2020•平阴县一模）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数是　 　． 18．（2分）（2020春•萍乡期末）若小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是　 　． 19．（2分）（2020春•新都区期末）在一不透明的口袋中有4个为红球，3个蓝球，它们除颜色不同外其它完全一样，现从中任摸一球，恰为红球的概率为 　 　． 20．（2分）（2022•成都模拟）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率　 　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023春•莱芜区期中）一个不透明的盒子里装有20张红色卡片，15张黄色卡片，12张蓝色卡片和若干张黑色卡片，每张卡片除颜色外都相同，从中任意摸出一张卡片，摸到红色卡片的概率是0.25． （1）从中任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是多少？ （2）求盒子里黑色卡片的个数． 22．（6分）某校开展以学习“四史”（党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了如下统计图表： 主题 频数 频率 A党史 6 0.12 B新中国史 20 m C改革开放史 0.18 D社会主义发展史 15 n 合计 50 1 请结合上述信息完成下列问题： （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校要同时开设两门课程（例如，课程B，C和课程C，B代表同一种情况），请写出同时开设课程B，C的概率． 23．（8分）（2022春•碑林区校级期末）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． （1）任意摸出一球，摸到红球是一事件，摸到黄球是　 　事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） （2）从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ （3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 24．（8分）（2022•滦南县二模）我国农历年的岁首称为春节，是中华民族最隆重的传统节日，据记载，中华民族过春节已有4000多年的历史．每年的除夕夜，对所有中国人而言，能和家人一起看年味浓浓的春晚是一件幸福的事情．某社区就你对春晚的喜爱程度，进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图（图①，图②）． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的总人数为 　 　人，扇形统计图中B所对应的扇形圆心角的度数为 　 　； （2）补全条形统计图； （3）若该社区共有2000人，估计该社区中很喜欢春晚的有多少人； （4）在抽取的很喜欢春晚的5人中，刚好有3名男生，2名女生，从中随机抽取1人与大家分享“我与春晚的故事”，那么恰好抽到男生的概率是多少． 25．（8分）（2022春•濮阳期末）幻方是一种将数字排在正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等的模型．数学课上，老师在黑板上画出一个幻方如下所示，并设计游戏：一人将一颗能粘在黑板上的磁铁豆随机投入幻方内，另一人猜数，若所猜数字与投出的数字相符，则猜数的人获胜，否则投磁铁豆的人获胜．猜想的方法从以下两种中选一种： 8 1 6 3 5 7 4 9 2 （1）猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”； （2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；如果轮到你猜想，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎么猜？为什么？ 26．（8分）（2022春•城关区期末）某商场柜台为了吸引顾客，打出了一个小广告如下：本专柜为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率100%，最高奖50元．具体方法是：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准黄、红、绿、白色区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券．（转盘的各个区域均被等分）请根据以上信息，解答下列问题： （1）小亮的妈妈购物150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ （2）请在转盘的适当地方写上一个区域的颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在某一区域的事件发生概率为，并说出此事件． 27．（8分）（2020秋•路北区期末）甲袋里装有红球5个，白球2个和黑球12个，乙袋里装有红球20个，白球20个和黑球10个． （1）如果你取出1个黑球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由． （2）某同学说“从乙袋取出10个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙袋成功的机会大．”你认为此说法正确吗？为什么？ 28．（8分）（2021春•南海区期末）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的3倍多10个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）取走5个球（其中没有红球）求从剩余球中摸出球是红球的概率． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 第6章 概率初步 知识点01：事件 1、事件分为必然事件、可能事件、确定事件。 2、必然事件：事先就能肯定一定会发生事件。也就是指该事件每次一定发生，可能发生，即发生可能是100%（或1）。 3、可能事件：事先就能肯定一定会发生事件。也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生可能性为零。 4、确定事件：事先无法肯定会会发生事件，也就是说该事件可能发生，也可能发生，即发生可能性在0和1之间。 5、三种事件都是相对于事件发生可能性来说，若事件发生可能性为100%，则为必然事件；若事件发生可能性为0，则为可能事件；若事件一定发生，即发生可能性在0∽1之间，则为确定事件。 6、简单地说，必然事件是一定会发生事件；可能事件是绝对可能发生事件；确定事件是指有可能发生，也有可能发生事件。 7、表示事件发生可能性方法通常有三种： （1）用语言叙述可能性大小。 （2）用图例表示。 （3）用概率表示。 知识点02：等可能性 1、等可能性：是指几种事件发生可能性相等。 2、游戏规则公平性：就是看游戏双方结果是否具有等可能性。 （1）首先要看游戏所出现结果两种情况中有没有必然事件或可能事件，若有一个必然事件或可能事件，则游戏是公平； （2）其次如果两个事件都为确定事件，则要看这两个事件发生可能性是否相同；即看双方获胜可能性是否相同，只有双方获胜可能性相同，游戏才是公平。 （3）游戏是否公平，并一定是游戏结果两种情况发生可能性都是二分之一，只要对游戏双方获胜事件发生可能性一样即可。 知识点03：概率 1、概率：是反映事件发生可能性大小量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现结果数/所有可能出现结果数。 2、必然事件发生概率为1，记作P（必然事件）=1； 3、可能事件发生概率为0，记作P（可能事件）=0； 4、确定事件发生概率在0∽1之间，记作0<P（确定事件）<1。 5、概率是对“可能性”定量描述，给人以更直接感觉。 6、概率并提供确定无误结论，这是由确定现象造成。 7、概率计算： （1）直接数数法：即直接数出所有可能出现结果总数n，再数出事件A可能出现结果数m，利用概率公式直接得出事件A概率。 （2）对于较复杂题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。 知识点04：几何概率 1、事件A发生概率等于此事件A发生可能结果所组成面积（用SA表示）除以所有可能结果组成图形面积（用S全表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=SA/S全，这是因为事件发生在每个单位面积上概率是相同。 2、求几何概率： （1）首先分析事件所占面积与总面积关系； （2）然后计算出各部分面积； （3）最后代入公式求出几何概率。 知识点05：设计概率模型（游戏或事件） 1、设计符合要求简单概率模型（游戏或事件）是对概率计算逆向运用。 2、设计通常分四步： （1）首先分析设计应符合什么条件； （2）其次确定选用什么图形表示更合理； （3）然后再按一定要求和操作经验来设计模型； （4）最后再通过计算或其他方法来验证设计模型是否符合条件。 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023春•莱芜区期中）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是绿球的概率为（　　） A． B． C． D． 解：∵从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是绿球的有1种结果， ∴从袋中任意摸出一个球，是绿球的概率为， 故选：A． 2．（2分）（2022春•东平县期末）分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最小的是（　　） A． B． C． D． 解：A、小球落在阴影部分的可能性为； B、小球石子落在阴影部分的可能性为； C、小球落在阴影部分的可能性为； D、小球落在阴影部分的可能性为＝； ∵＞＞＞， ∴最小的为， 故选：A． 3．（2分）（2022春•龙岗区期末）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽5个、红枣粽3个、腊肉粽3个、鲜肉粽4个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（　　） A． B． C． D． 解：小明任意选取一个共有15种等可能结果，其中选到甜粽的有8种结果， 所以选到甜粽的概率为， 故选：B． 4．（2分）（2021秋•安新县期末）正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 解：∵由图可知，黑色方砖2块，共有9块方砖， ∴黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值＝， ∴米粒停在黑色区域的概率是． 故选：B． 5．（2分）（2021春•项城市期末）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂色，再把它分割成棱长为1的正方体，从中任取一个小正方体，则取得小正方体恰好有两个面涂色的概率为（　　） A． B． C． D． 解：将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到3×3×3＝27（个）， 在每条棱上只有1个两面涂色的小立方体，由于正方体有12条棱，因此，有12个两面涂色的小立方体， 所以，从27个小正方体中任意取1个，则取得的小正方体恰有两个面涂色的概率为， 故选：B． 6．（2分）（2021•顺德区二模）如图是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域的概率是（　　） A．1 B． C． D． 解：转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域的概率是＝， 故选：D． 7．（2分）（2020秋•涪城区期末）如图，是一个质地均匀的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止；其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．则指针指向绿色或黄色的概率为（　　） A． B． C． D． 解：∵转动转盘，停止后指正指向的位置共有7种等可能结果，其中指针指向绿色或黄色的有4种结果， ∴指针指向绿色或黄色的概率为， 故选：B． 8．（2分）（2021春•甘孜州期末）如图，半圆的直径为AB，圆心为点O，C、D是半圆的3等分点，在该半圆内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 解：∵C、D是半圆的3等分点， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°， ∴， ∴该点取自阴影部分的概率为＝， 故选：D． 9．（2分）（2019春•市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（　　） A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大 B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多 C．她不可能吃到豆沙馅汤圆 D．她一定能吃到枣泥馅汤圆 解：盛了1个汤圆盛到黑芝麻的概率为，盛到枣泥的概率为，盛到豆沙的概率为， ∴她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多， 故选：B． 10．（2分）（2019•云霄县一模）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（　　） A． B． C． D．1 解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个， ∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是＝， 故选：B． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2022春•东平县期末）如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为 　0.2　． 解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域， ∴圆被等分成10份，其中B区域占2份， ∴落在B区域的概率＝＝0.2； 故答案为：0.2． 12．（2分）（2021秋•苍溪县期末）一只蚂蚁在如图所示的正方形ABCD的图案内爬行（假设蚂蚁在图案内部各点爬行的机会是均等的），蚂蚁停留在阴影部分的概率为　　． 解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 因此一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是：． 故答案为：． 13．（2分）（2022春•峡江县期末）如图，在4×4的正方形网格中，已将四个小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是　　． 解：小虫落到阴影部分的概率＝＝， 故答案为：． 14．（2分）（2021•社旗县二模）二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是　　． 解：∵如图，此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明有3份， ∴指针落在惊蛰、春分、清明的概率是：． 故答案为： 15．（2分）（2021•滨海县二模）小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是　　． 解：∵阴影部分的面积＝4个小正方形的面积， 大正方形的面积＝9个小正方形的面积， ∴阴影部分的面积占总面积的， ∴飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是． 故答案为：． 16．（2分）（2021春•郫都区期末）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都是60°的扇形．任意转动这个转盘1次，当转动停止时，指针指向阴影区域的概率为　　． 解：设圆的面积为6， ∵圆被分成6个相同扇形， ∴每个扇形的面积为1， ∴阴影区域的面积为3， ∴指针指向阴影区域的概率＝． 故答案为：． 17．（2分）（2020•平阴县一模）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数是　22　． 解：设袋中黑球的个数为x， 根据题意得＝， 解得x＝22， 即袋中黑球的个数为22个． 故答案为：22． 18．（2分）（2020春•萍乡期末）若小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是　　． 解：黑色部分面积为12个小三角形，即6个小正方形； P＝＝， 故答案为． 19．（2分）（2020春•新都区期末）在一不透明的口袋中有4个为红球，3个蓝球，它们除颜色不同外其它完全一样，现从中任摸一球，恰为红球的概率为 　　． 解：袋子中球的总数为4+3＝7，而红球有4个， 则从中任摸一球，恰为红球的概率为． 故答案为． 20．（2分）（2022•成都模拟）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率　　． 解：将原方程整理可得ax＝4， ∴当a＝1、4时，方程的解为正整数， ∴使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023春•莱芜区期中）一个不透明的盒子里装有20张红色卡片，15张黄色卡片，12张蓝色卡片和若干张黑色卡片，每张卡片除颜色外都相同，从中任意摸出一张卡片，摸到红色卡片的概率是0.25． （1）从中任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是多少？ （2）求盒子里黑色卡片的个数． 解：（1）由题意，得卡片的总张数为＝80（张）， 则任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是＝． 答：摸到蓝色卡片的概率是． （2）盒子里黑色卡片的个数为80﹣15﹣20﹣12＝13． 答：盒子里黑色卡片的个数为13张． 22．（6分）某校开展以学习“四史”（党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了如下统计图表： 主题 频数 频率 A党史 6 0.12 B新中国史 20 m C改革开放史 0.18 D社会主义发展史 15 n 合计 50 1 请结合上述信息完成下列问题： （1）m＝　0.4　，n＝　0.3　； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校要同时开设两门课程（例如，课程B，C和课程C，B代表同一种情况），请写出同时开设课程B，C的概率． 解：（1）由统计图表可知：m＝＝0.4，n＝＝0.3， 故答案为：0.4，0.3； （2）学习改革开放史的人数为50×0.18＝9（人）， 补全频数分布直方图如下： （3）列表如下： ∴一共有12种情况，开设课程B，C的有2种情况， ∴开设课程B、C的概率为＝． 23．（8分）（2022春•碑林区校级期末）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． （1）任意摸出一球，摸到红球是一事件，摸到黄球是　不可能　事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） （2）从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ （3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 解：（1）∵在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同， ∴任意摸出一球，摸到红球是一事件，摸到黄球是不可能事件． 故答案为：不可能； （2）3÷（2+3+5）＝． 故摸到黑球的概率是； （3）设后来放入袋中的黑球的个数是x个，依题意有： ＝， 解得x＝18． 故后来放入袋中的黑球的个数为18个． 24．（8分）（2022•滦南县二模）我国农历年的岁首称为春节，是中华民族最隆重的传统节日，据记载，中华民族过春节已有4000多年的历史．每年的除夕夜，对所有中国人而言，能和家人一起看年味浓浓的春晚是一件幸福的事情．某社区就你对春晚的喜爱程度，进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图（图①，图②）． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的总人数为 　50　人，扇形统计图中B所对应的扇形圆心角的度数为 　72°　； （2）补全条形统计图； （3）若该社区共有2000人，估计该社区中很喜欢春晚的有多少人； （4）在抽取的很喜欢春晚的5人中，刚好有3名男生，2名女生，从中随机抽取1人与大家分享“我与春晚的故事”，那么恰好抽到男生的概率是多少． 解：（1）本次调查的总人数为5÷10%＝50（人）， B对应人数为50﹣（5+30+5）＝10（人）， ∴扇形统计图中B所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝72°， 故答案为：50、72°； （2）补全条形图如下： （3）估计该社区中很喜欢春晚的有2000×10%＝200（人）； （4）很喜欢春晚的有5人，其中有3名男生，随机抽取一名，恰好抽到男生的概率是． 25．（8分）（2022春•濮阳期末）幻方是一种将数字排在正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等的模型．数学课上，老师在黑板上画出一个幻方如下所示，并设计游戏：一人将一颗能粘在黑板上的磁铁豆随机投入幻方内，另一人猜数，若所猜数字与投出的数字相符，则猜数的人获胜，否则投磁铁豆的人获胜．猜想的方法从以下两种中选一种： 8 1 6 3 5 7 4 9 2 （1）猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”； （2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；如果轮到你猜想，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎么猜？为什么？ 解：为了尽可能获胜，我将选择（2），猜“不是3的倍数”， 理由：由幻方中的数据，可得 “是大于5的数”的概率是， “不是大于5的数”的概率是， “是3的倍数”的概率是， “不是3的倍数”的概率是， ∵＜＜＜， ∴为了尽可能获胜，我将选择（2），猜“不是3的倍数”． 26．（8分）（2022春•城关区期末）某商场柜台为了吸引顾客，打出了一个小广告如下：本专柜为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率100%，最高奖50元．具体方法是：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准黄、红、绿、白色区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券．（转盘的各个区域均被等分）请根据以上信息，解答下列问题： （1）小亮的妈妈购物150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ （2）请在转盘的适当地方写上一个区域的颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在某一区域的事件发生概率为，并说出此事件． 解：（1）转盘被等分为16份，黄色占1份，白色占11份，所以获得50元、5元购物券的概率分别是，． （2）根据概率的意义可知指针落在某一区域的事件发生概率为，那么应有16×＝6块，根据等级越高，中奖概率越小的原则，此处应涂绿色，事件为获得10元购物券． 27．（8分）（2020秋•路北区期末）甲袋里装有红球5个，白球2个和黑球12个，乙袋里装有红球20个，白球20个和黑球10个． （1）如果你取出1个黑球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由． （2）某同学说“从乙袋取出10个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙袋成功的机会大．”你认为此说法正确吗？为什么？ 解：（1）∵甲袋里装有红球5个，白球2个和黑球12个， ∴取出1个黑球的概率为：＝； ∵乙袋里装有红球20个，白球20个和黑球10个， ∴取出1个黑球的概率为：＝； ∵＞， ∴取出1个黑球，选甲袋子成功的机会大； （2）说法错误， 理由：∵从乙袋取出10个红球后，乙袋中的红球个数为10， ∴此时从乙袋中摸到红球的概率为：， 从甲袋中摸到红球的概率为：， ∴＞， ∴选甲袋成功的机会大． 28．（8分）（2021春•南海区期末）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的3倍多10个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）取走5个球（其中没有红球）求从剩余球中摸出球是红球的概率． 解：（1）根据题意得： 100×＝30（个）， 答：袋中红球的个数有30个． （2）设白球有x个，则黄球有（3x+10）个， 根据题意得x+3x+10＝100﹣30 解得x＝15． 则摸出一个球是白球的概率P＝＝； （3）因为取走5个球后，还剩95个球，其中红球的个数没有变化， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是＝ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$