精品解析：北京市北京大学附属中学行知学院2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷

2022—2023学年第一学期北大附中行知学院高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 3.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由求出倾斜角. 【详解】直线可化为，设倾斜角为， 则. 故选：A 2. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 3. 轴与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】是以为圆心为半径的圆，根据圆心到轴的距离可判断. 【详解】因为是以为圆心为半径的圆， 圆心到轴为， 所以与轴关系是相离. 故选：C 4. 已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线过,的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为3 D. 直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3 ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 5. 如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】,故本题正确答案 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，根据图形，根据离心率的计算公式求解即可. 【详解】 如图，因为是钝角三角形，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误. 故选：D. 7. 如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与直线夹角和二面角的范围求解即可. 【详解】由题意可知，， . 且由图可知二面角为锐角，. 故选：A 8. 过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可. 【详解】左焦点为，若直线垂直x轴，则直线为， 代入椭圆方程得，可得，此时通径长， 所以，由椭圆性质知：的直线有仅只有一条. 故选：B 9. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得答案. 【详解】因为， 所以可以转化为到距离， 同理，可以转化为到的距离， 因， 所以到两定点和的距离之和为， 所以在以点和为焦点的椭圆上， 设椭圆的标准方程为：， 则，， 即， 又， 所以， 所以椭圆的方程为：， 由， 得， 解得，. 故选：D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，给出下列结论： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③； ④在平面内，若以点，为焦点的椭圆过点，则椭圆的离心率为定值. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①证明平面可判断；对于②由到面的距离恒为正方体的棱长，的面积为定值可判断；对于③证明平面可判断；对于④取为的中点和端点即可判断. 【详解】对于①. 在正方体中，平面,平面则平面. ，平面,平面,则平面. 又, 平面,平面 故平面平面又平面 所以平面. 故①正确. 对于②. 在正方体中, ,平面，平面 所以平面 故在正方体中点到面的距离恒为正方体的棱长，为1. 又, 则，故②正确. 对于③. , , 平面,平面 所以平面, 平面,所以 又，, 平面,平面 所以平面，平面，所以 又. 平面，平面 所以平面,又平面 所以， 故③正确. 对于④，在平面内，若以点，为焦点的椭圆，其半焦距 若点在的中点处时，椭圆的长轴 若点在的端点处时，椭圆的长轴 显然此时椭圆的长轴不相等，而焦距始终相等，故离心率不相等. 所以椭圆的离心率不为定值，故④不正确. 故选：C 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知向量. ①请写出一个与共线的非零向量的坐标：__________； ②请写出一个与垂直的非零向量的坐标：__________. 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】由向量共线定理、向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】对于①：由向量共线定理可知，与共线的非零向量的坐标为（答案不唯一）； 对于②：取即所求向量为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）. 12. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 13. 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦线所在的直线方程为_________，公共弦AB的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将两圆的方程相减得两圆的公共弦所在的直线方程，再运用点到直线的距离公式可求得弦长. 【详解】解：圆与圆，两式相减可得：， 直线AB的方程为：； 圆C：的圆心为，半径为， 由圆心到直线AB的距离为， 弦长， 故答案为：； 14. 平面内，已知两点，及动点.给出下列结论： ①满足的点的轨迹为线段； ②若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为； ③若点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，则点的轨迹为椭圆. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由判断①；由斜率公式判断②；由距离公式判断③. 【详解】对于①：，则点的轨迹为线段； 对于②： 设，因为， 即，所以点的轨迹方程为； 对于③：设，则， ，整理得， 即点的轨迹为椭圆. 故答案为：①②③ 15. 在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆的形状，即用平面截圆柱面，当圆柱的轴与平面所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球，嵌入圆柱内，使它们分别位于平面的上方和下方，并且与圆柱的侧面相切，和平面相切于，两点，与交于点.过截线上的任意一点作圆柱的母线，设母线与上下两个球分别相切于点，（如有必要，需自己作出）.证明：截线是椭圆，且就是长轴长.请将下述证明补充完整. 证明：因为两球和平面分别相切于，两点，那么对于每个球来说，球外一点向球作切线，切线长相等，即，， ______，为定值， 在中，，在中，， 所以____________，所以截线上的点满足椭圆的定义， 所以截线是以，为焦点的椭圆，就是长轴长. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据切线长定理的空间推广，得，为定值，结合长度关系得，从而可证明题中结论. 【详解】根据题意，，分别为两球面的切线，切点为，， 又两球和平面分别相切于，两点，，， ，为定值. 在中，，在中，， ，即， 所以截线是椭圆，且就是长轴长. 故答案为：；. 三、解答题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设直线与椭圆相交于，两点，已知点. （1）直接写出椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率存在，求弦长关于斜率的表达式，并化简； （3）若设点的坐标为，求弦长关于的表达式，并化简； （4）直接写出弦长的最大值. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标，求出b，即得答案； （2）设直线方程，联立椭圆方程，可得交点坐标，根据弦长公式，即得答案； （3）由两点间距离公式，即可求得答案； （4）结合二次函数性质，即得答案. 小问1详解】 由题意知在椭圆上，则，故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由于直线的斜率存在，设其方程为，联立， 得，解得两根，不妨设， 故； 【小问3详解】 设点的坐标为，则，则， 则； 【小问4详解】 由于， 当时，取得最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 18. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，然后可得答案； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程消元，然后算出中点的坐标，然后可得线段的垂直平分线方程，然后可得，然后可求出答案. 【小问1详解】 因为椭圆经过点，所以 又因为离心率， 所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 联立可得， 则恒成立， 所以， 则， 所以中点坐标为的， 所以线段的垂直平分线方程为， 令，可得， 当时，， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 综上：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022—2023学年第一学期北大附中行知学院高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 3.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 轴与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 4. 已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线过,的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为3 D. 直线的一个方向向量的坐标是 5. 如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为 A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 8. 过椭圆左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，给出下列结论： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③； ④在平面内，若以点，为焦点的椭圆过点，则椭圆的离心率为定值. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知向量. ①请写出一个与共线的非零向量的坐标：__________； ②请写出一个与垂直的非零向量的坐标：__________. 12. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为________. 13. 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦线所在直线方程为_________，公共弦AB的长为_____． 14. 平面内，已知两点，及动点.给出下列结论： ①满足的点的轨迹为线段； ②若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为； ③若点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，则点的轨迹为椭圆. 其中所有正确结论的序号是______. 15. 在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆的形状，即用平面截圆柱面，当圆柱的轴与平面所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球，嵌入圆柱内，使它们分别位于平面的上方和下方，并且与圆柱的侧面相切，和平面相切于，两点，与交于点.过截线上的任意一点作圆柱的母线，设母线与上下两个球分别相切于点，（如有必要，需自己作出）.证明：截线是椭圆，且就是长轴长.请将下述证明补充完整. 证明：因为两球和平面分别相切于，两点，那么对于每个球来说，球外一点向球作切线，切线长相等，即，， ______，为定值， 在中，，在中，， 所以____________，所以截线上的点满足椭圆的定义， 所以截线是以，为焦点的椭圆，就是长轴长. 三、解答题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设直线与椭圆相交于，两点，已知点. （1）直接写出椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率存在，求弦长关于斜率的表达式，并化简； （3）若设点的坐标为，求弦长关于的表达式，并化简； （4）直接写出弦长的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆经过点，且离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $